1、第三节 平面向量数量积及平面向量应用举例时间：45 分钟 分值：100 分基础必做一、选择题1已知向量 a，b 满足|a|3，|b|2 3，且 a(ab)，则 a 与b 的夹角为()A.2 B.23C.34D.56解析 a(ab)a(ab)a2ab|a|2|a|b|cosa，b0，故 cosa，b 32，故所求夹角为56.答案 D2已知 A，B，C 为平面上不共线的三点，若向量AB(1,1)，n(1，1)，且 nAC2，则 nBC等于()A2B2C0D2 或2解析 nBCn(BAAC)nBAnAC(1，1)(1，1)2022.答案 B3已知点 A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,
2、4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.3 22B.3 152C3 22D3 152解析 AB(2,1)，CD(5,5)，|CD|25255 2，则|AB|cosAB，CDABCD|CD|3 22.答案 A4(2015昆明质检)在直角三角形 ABC 中，C2，AC3，取点 D 使BD2DA，那么CDCA()A3B4C5D6解析 如图，CDCBBD，又BD2DA，CDCB23BACB23(CACB)，即CD23CA13CB，C2，CACB0，CDCA23CA13CBCA23CA213CBCA6，故选 D.答案 D5(2014浙江“六市六校”联盟)若|ab|ab|2|a|，则向量ab 与 a
3、的夹角为()A.6B.3C.23D.56解析 由|ab|ab|两边平方，得 ab0，由|ab|2|a|两边平方，得 3a22abb20，故 b23a2，则(ab)aa2aba2，|ab|a22abb22|a|，设向量 ab 与 a 的夹角为，则有 cosaba|ab|a|a22a212，故 3.答案 B6AD，BE 分别是ABC 的中线，若|AD|BE|1，且AD与BE的夹角为 120，则ABAC()A.89B.49C.13D.23解析|AD|BE|1，且AD与BE的夹角为 120，ADBE|AD|BE|cos12012.由AD12ABAC，BE12ACAB，得AB23ADBE，AC43AD2
4、3BE，ABAC23(ADBE)43AD23BE2343AD223BE223ADBE2343232312 23，选 D.答案 D二、填空题7已知向量 a，b 夹角为 45，且|a|1，|2ab|10，则|b|_.解析 a，b 的夹角为 45，|a|1，ab|a|b|cos45 22|b|，|2ab|244 22|b|b|210，|b|3 2.答案 3 28(2014湖北卷)若向量OA(1，3)，|OA|OB|，OAOB0，则|AB|_.解析|OA|OB|，OAOB0OAB 是以 O 为顶点的等腰直角三角形，又|OA|1232 10|AB|2|OA|2 5.答案 2 59已知直角梯形 ABCD
5、中，ADBC，ADC90，AD2，BCCD1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小值为_解析 建立如图所示的直角坐标系，设 P(0，t)，由题意可知，A(2,0)，B(1,1)，PA(2，t)，PB(1,1t)，PA3PB(5,34t)，|PA3PB|5234t216t34225.当 t34时，|PA3PB|取得最小值 5.答案 5三、解答题10如图，平面四边形 ABCD 中，AB13，AC10，AD5，cosDAC35，ABAC120.(1)求 cosBAD；(2)设ACxAByAD，求 x，y 的值解(1)设CAB，CAD，cos ABAC|AB|AC|1201301213，c
6、os35，sin 513，sin45.cosBADcos()coscossinsin121335 513451665.(2)由ACxAByAD得ACABxAB2yADAB，ACADxABADyAD2，120169x16y，3016x25y，解得x4063，y5063.11已知向量 a(4,5cos)，b(3，4tan)，0，2，ab，求：(1)|ab|；(2)cos4 的值解(1)因为 ab，所以 ab435cos(4tan)0，解得 sin35，又因为 0，2，所以 cos45，tansincos34，所以 ab(7,1)，因此|ab|72125 2.(2)cos(4)coscos4sins
7、in445 22 35 22 210.培优演练1(2014浙江卷)设 为两个非零向量 a，b 的夹角已知对任意实数 t，|bta|的最小值为 1.()A若 确定，则|a|唯一确定B若 确定，则|b|唯一确定C若|a|确定，则 唯一确定D若|b|确定，则 唯一确定解析|bta|2(bta)2|b|2|a|2t22abt，令 f(t)|a|2t22abt|b|2，由于|bta|的最小值为 1，所以函数 f(t)的最小值也为 1，即4|a|2|b|24ab24|a|21.又 a，b 均为非零向量，且夹角为，因此|b|2|b|2cos21，于是|b|211cos2，因此当 确定时，|b|2 的值唯一确
8、定，亦即|b|唯一确定答案 B2(2014重庆卷)已知向量 a 与 b 的夹角为 60，且 a(2，6)，|b|10，则 ab_.解析 由题意得|a|2 10，所以 ab|a|b|cosa，b2 10 101210.答案 103(2014天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC3BE，DCDF，若AEAF1，则 的值为_解析 四边形 ABCD 为菱形，且边长为 2，BAD120，BCAD，DCAB.由题意得AEABBEAB13AD，AFADDFAD1AB.AEAFAB13AD1ABAD14ABAD 13ABAD13441 13 2212
9、 431.42 23431.1423 343，2.答案 24已知向量OA(cos，sin)(0)，OB(sin，cos)，其中 O 为坐标原点(1)若 6且 1，求向量OA与OB的夹角；(2)若|BA|2|OB|对任意实数，都成立，求实数 的取值范围解(1)当 1 时，OA(cos，sin)，故|OA|cos2sin21，|OB|sin2cos21.又OAOBcos(sin)sincossin()sin612，故 cosOA，OB OAOB|OA|OB|12.因为OA，OB0，所以OA，OB3.(2)BAOAOB(cossin，sincos)，故|BA|2|OB|对任意实数，都成立，即(cossin)2(sincos)24 对任意实数，都成立整理得 212sin()4 对任意实数，都成立因为1sin()1，所以0，2124 或0，2124，解得 3 或 3.所以实数 的取值范围为(，33，)