1、扬州中学2015届高三8月开学考试【试卷综析】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.一、填空题：（每小题5分，共14题，总分70分）【题文】1的单调减区间为 【知识点】正弦函数的单调性C3 【答案解析】 解析：y=sinx在上递减，故y=3sinx在0，2的单调减区间为故答案为：【思路点拨】直接代入正弦函数在0，2的单调减区间即可得到
2、结论【题文】2若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是 【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算菁优L4 【答案解析】 解析：复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，即：1+a24即a23可得 a故答案为：【思路点拨】由于复数的模不大于2，可得不等式，然后求解即可【题文】3若方程的解为，则大于的最小整数是 【知识点】函数的零点与方程根的关系B9 【答案解析】5 解析：由条件：lnx+2x10=0得lnx=102x，分别作出函数y=lnx和y=102x的图象：观察交点在（4，5）内则大于的最小整数是5故答案为：5【思路点拨】由条件：lnx+2x10=0得
3、lnx=102x，欲求出方程的近似解，利用图解法，分别作出函数y=lnx和y=102x的图象，观察交点在（4，5）内，从而得出结论【题文】4设A、B是非空集合，定义已知，则 【知识点】元素与集合关系的判断；函数的值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域A1 B1 B6 【答案解析】 解析：，A=x|0x2；又，B=y|y1又AB=x|xAB且xAB，AB=x|0x1或x2故答案为【思路点拨】根据集合A、B中元素的特点先明确此两个集合中的元素，然后根据给出的定义确定集合AB的元素即可【题文】5将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象
4、的函数解析式为 【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换C4 【答案解析】解析：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数=sin2x，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为故答案为：【思路点拨】按照左加右减的原则，求出函数的图象上的所有点向右平移个单位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的倍时的解析式即可【题文】6下列说法中，正确的有 （写出所有正确命题的序号）若f（x0）0，则f（x0）为f（x）的极值点；在闭区间a，b上，极大值中最大的就是最大值；若f（x）的极大值为f（x1），f（x）的极小值为f（x2），则f（x1）f（x2
5、）；有的函数有可能有两个最小值；已知函数,对于定义域内的任意一个都存在唯一个成立 【知识点】命题的真假判断与应用菁A2【答案解析】解析：若f（x0）=0，f（x0）不一定为f（x）的极值点，例如函数y=x3，当x=0时y=0，但x=0不是它的极值点故错误；在闭区间a，b上，函数的最大值可能是极大值，也可能是端点函数值，故错误；函数的极大值不一定大于极小值，故错误；在闭区间a，b上，函数的最小值有且仅有一个，故错误；已知函数，对于定义域内的任意一个都存在唯一个，则ex1ex2=1x1+x2=0，故正确故答案为：【思路点拨】根据极值和最值的概念逐一判断，函数的极值是与它附近的点比较，比附近其他点的
6、函数值都小的叫极小值，比附近其它点都大的叫极大值，所以，而且极大值左侧导数大于0，右侧导数小于0，极小值左侧导数小于0，右侧导数大于0函数在区间a，b上有且仅有一个最大值，在极大值处或端点处取得，区间a，b上有且仅有一个最小值，在极小值处或端点处取得即可判断错，错，错，错对于，ex1ex2=1x1+x2=0，即可判断【题文】7设向量a，b的夹角为，a=（2，1），a+3b=（5，4），则sin= 【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角F3 【答案解析】 解析：根据题意，由，可得，则，则【思路点拨】根据题意，易得的坐标，进而由向量模的计算可得、的模，再根据向量的数量积的计算，可得，最后由同
7、角三角函数基本关系式，计算可得答案【题文】8若一次函数满足，则的值域为 【知识点】函数的值域B3 【答案解析】 解析：设= 依题意：比较和的系数可得：；，由得：k=1，b=，k=1（舍去）f（x）=x+，则.当且仅当x=时取等号，的值域为.故答案为：.【思路点拨】函数的形式是一次函数，利用待定系数先设出，代入等式，解方程求出得到的解析式，然后利用基本不等式可求出函数的值域【题文】9设函数在处取极值，则= 【知识点】函数在某点取得极值的条件B12 【答案解析】2 解析：则f（x）=sinxxcosx，令sinxxcosx=0，化得tanx=x，x02=tan2x0，=（tan2x0+1）（cos
8、2x0+1）=.故答案为2【思路点拨】先根据函数在x=x0处取得极值可得出x02=tan2x0，代入化简求值即可得到所求答案.【题文】10在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知。若，则 【知识点】正弦定理的应用菁C8 【答案解析】 解析：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，故a，b，c成等差数列，由a，b，c成等差数列可得c=2ba，由余弦定理可得化简可得 5ab=3b2，故答案为：【思路点拨】由条件利用二倍角公式可得，再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列通过，利用
9、c=2ba，由余弦定理可得，化简可得 5ab=3b2，由此可得的值【题文】11函数y=sinx与y=cosx在内的交点为P，在点P处两函数的切线与x轴所围成的三角形的面积为 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B11 【答案解析】 解析：联立方程解得与在0，内的交点为P坐标是（，），则易得两条切线方程分别是y=（x）和y=（x），y=0时，x=1，x=+1，于是三角形三顶点坐标分别为 （，）；（1，0）；（+1，0），s=2=，即它们与x轴所围成的三角形的面积是故答案为：【思路点拨】先联立与求出在0，内的交点为P坐标，然后求出该点处两切线方程，从而求出三角形的三个顶点坐标，最后根据面积公式
10、解之即可【题文】12已知是边长为4的正三角形，D、P是内部两点，且满足，则的面积为 【知识点】向量在几何中的应用F3 【答案解析】 解析：取BC的中点E，连接AE，根据ABC是边长为4的正三角形AEBC，而，则点D为AE的中点，AD=.取，以AD，AF为边作平行四边形，可知而APD为直角三角形，,APD的面积为故答案为：. 【思路点拨】根据题意找出点D与点P的位置，然后利用三角形的面积公式求出APD的面积即可【题文】13设是定义在R上的奇函数，且当，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是 【知识点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质B4 【答案解析】 解析：当,函数是奇函数,当x0时，在
11、R上是单调递增函数，且满足，不等式在恒成立，在恒成立，即：在恒成立，解得：，故答案为【思路点拨】由当，函数是奇函数，可得当x0时，从而在R上是单调递增函数，且满足，再根据不等式在恒成立，可得在恒成立，即可得出答案【题文】14已知函数对任意的，恒有.若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，则M的最小值为 【知识点】利用导数研究函数的单调性B12 【答案解析】解析：，由题设对任意的，即恒成立，所以，从而，于是，且，当时，有，令，则1t1，而函数（1t1）的值域是；因此，当时，M的取值集合为；当时，由（）知，b=2，c=2，此时f（c）f（b）=8或0，c2b2=0，从而f（c）f（b）（c2b
12、2）恒成立；综上所述，M的最小值为 故答案为：【思路点拨】，由题设恒成立，从而（b2）24（cb）0，进而，由此利用导数性质能求出M的最小值为二、解答题：（共6小题，总分90分）【题文】15（本题14分）已知且,且为偶函数.（1）求; (2) 求满足，的x的集合【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角F3 【答案解析】（1） (2) ， 解析：（1）=+=sin（2x+）+（cos（2x+）+1）=2sin（2x+），且f（x）为偶函数，0；+=，解得=；（2）f（x）=2sin（2x+）=2cos2x，当f（x）=1时，2cos2x=1，cos2x=；2x=+2k，kZ，x=+k，kZ；
13、在x，时，x的取值是，；x，【思路点拨】（1）利用平面向量的数量积化简f（x），由f（x）是偶函数，且0求出的值；（2）由（1）得f（x）的解析式，f（x）=1时，求出x，时，x的取值即可【题文】16（本题14分）已知命题指数函数在上单调递减，命题关于的方程的两个实根均大于3.若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.【知识点】复合命题的真假A2 【答案解析】或解析：若p真，则在R上单调递减，若q真，令，则应满足，又由题意应有p真q假或p假q真若p真q假，则，a无解若p假q真，则或【思路点拨】根据指数函数的单调性求出命题p为真命题时a的范围，利用二次方程的实根分布求出命题q为真命题时a的范围
14、；据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p或q为真，p且q为假”转化为p q的真假，列出不等式解得【题文】17（本题14分）在中，内角所对的边分别为.已知，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【知识点】正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦C8 【答案解析】（1）（2）解析：（1）由题意得，即，由得，又，得，即，所以；（2）由，得，由，得，从而，故，所以的面积为【思路点拨】（1）ABC中，由条件利用二倍角公式化简，求得，可得A+B的值，从而求得C的值（2）由求得cosA的值再由正弦定理求得a，再求得的值，从而求得ABC的面积为的值【题文】18（本题16分）一走廊拐角处的横截面如图所示，
15、已知内壁和外壁都是半径为1m的四分之一圆弧，分别与圆弧相切于两点，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点设试用表示木棒的长度（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值。【知识点】解三角形的实际应用；函数模型的选择与应用C8 【答案解析】（1）；（2） 解析：（1）如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线与于S，并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W在RtNWS中，因为NW=2，SNW=，所以因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQMN，在RtQPS，因为PQ=
16、1，PQS=，所以，若M在线段TD上，即S在线段TG上，则TS=QTQS，在RtSTM中，因此MN=NS+MS=若M在线段CT上，即若S在线段GT的延长线上，则TS=QSQT，在RtSTM中，因此MN=NSMS=f（）=MN=（2）设，则，因此因为，又，所以g（t）0恒成立，因此函数在是减函数，所以，即所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为【思路点拨】（1）如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线与于S，并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W在RtNWS中用NW和SNW表示出NS，在RtQPS中用PQ和PQS表示出QS，然
17、后分别看S在线段TG上和在线段GT的延长线上分别表示出TS=QTQS，然后在RtSTM中表示出MS，利用MN=NS+MS求得MN的表达式和f（）的表达式（2）设出sin+cos=t，则sincos可用t表示出，然后可得f（）关于t的表达式，对函数进行求导，根据t的范围判断出导函数小于0推断出函数为减函数进而根据t的范围求得函数的最小值.【题文】19（本题16分）设函数，曲线在点（1，处的切线为. ()求； （）证明：.【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程B12 【答案解析】（1）（2）见解析解析：（）函数f（x）的定义域为（0，+），由题意可得故（）由（）
18、知，从而等价于，设函数，则当时，；当时，故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为设函数，则当时，；当时，故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为综上，当时，即【思路点拨】（）求出定义域，导数，根据题意有，解出即可；（）由（）知，等价于，设函数，函数，只需证明g（x）minh（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；【题文】20（本题16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质.(1)设函数，其中为实数求证：函数具有性质，求函数的单调区间。(2)已知函数具有性质，给定，且，若|，求的取值范围。【知
19、识点】不等式比较大小；利用导数研究函数的单调性菁L4 【答案解析】（1）见解析；当b2时，f（x）在区间（1，+）上递增；当b2时，f（x）在 （1，）上递减；f（x）在，+）上递增（2）（0，1）解析：（1）时，恒成立，函数具有性质；当b2时，对于x1，（x）=x2bx+1x22x+1=（x1）20所以f（x）0，故此时f（x）在区间（1，+）上递增；当b2时，（x）图象开口向上，对称轴 x=1，方程（x）=0的两根为：，而，当 x（1，）时，（x）0，f（x）0，故此时f（x）在区间 （1，）上递减；同理得：f（x）在区间，+）上递增综上所述，当b2时，f（x）在区间（1，+）上递增；当b
20、2时，f（x）在 （1，）上递减；f（x）在，+）上递增（2）由题设知，函数g（x）得导数g（x）=h（x）（x22x+1），其中h（x）0对于任意得x（1，+）都成立当x1时，g（x）=h（x）（x1）20，从而g（x）在（1，+）上单调递增m（0，1），=mx1+（1m）x2mx1+（1m）x1=x1mx2+（1m）x2=x2（x1，x2）同理可得（x1，x2）由g（x）得单调性可知，g（），g（）（g（x1），g（x2）从而有|g（）g（）|g（x1）g（x2）|符合题意m0时，=mx1+（1m）x2mx2+（1m）x2=x2=（1m）x1+mx2（1m）x1+mx1=mx1于是由1，1
21、及g（x）得单调性可知g（）g（x1）g（x2）g（）|g（）g（）|g（x1）g（x2）|与题设不符m1时，同理可得x1，x2，进而可得|g（）g（）|g（x1）g（x2）|与题设不符，综合可得m（0，1）【思路点拨】（1）先求出函数f（x）的导函数f（x），然后将其配凑成f（x）=h（x）（x2bx+1）这种形式，再说明h（x）对任意的x（1，+）都有h（x）0，即可证明函数f（x）具有性质P（b）；根据第一问令（x）=x2bx+1，讨论对称轴与2的大小，当b2时，对于x1，（x）0，所以f（x）0，可得f（x）在区间（1，+）上单调性，当b2时，（x）图象开口向上，对称轴 x=1，可求出
22、方程（x）=0的两根，判定两根的范围，从而确定（x）的符号，得到f（x）的符号，最终求出单调区间（2）由题设知，函数g（x）得导数g（x）=h（x）（x22x+1），其中h（x）0对于任意得x（1，+）都成立，当x1时，g（x）=h（x）（x1）20，从而g（x）在（1，+）上单调递增分m（0，1）m0m1三种情况讨论求解m得范围即可数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)【题文】21.（本题满分10分）两条曲线的极坐标方程分别为,它们相交于A,B两点，求线段AB的长。【知识点】简单曲线的极坐标方程；圆方程的综合应用菁优网版权所有N3 H3 【答案解析】解析：由=1得，（2分）又，（4分）由
23、得，（8分）（10分）【思路点拨】先将原极坐标方程中的三角函数式利用和角公式化开后，两边同乘以后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断【题文】22. （本题满分10分）已知曲线：，直线：（为参数）.(1)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；(2)过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.【知识点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系N3 H8 【答案解析】（1）2x+y6=0（2） 解析：（1）对于曲线C：，可令x=2cos、y=3sin，故曲线C的参数方程为，（为参数）对于直线：由得：t=x2，代入并整理得：2x+y6=0；（2）设曲线C上任意一点P（2cos，
24、3sin）P到直线l的距离为则，其中为锐角当sin（+）=1时，|PA|取得最大值，最大值为当sin（+）=1时，|PA|取得最小值，最小值为【思路点拨】（1）联想三角函数的平方关系可取x=2cos、y=3sin得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（2）设曲线C上任意一点P（2cos，3sin）由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值【题文】23. （本题满分10分）抛掷A,B,C三枚质地不均匀的纪念币，它们正面向上的概率如下表所示；纪念币ABC概率aa将这三枚纪念币同时抛掷一次，设表示出现
25、正面向上的纪念币的个数。（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率中，若的值最大，求a的最大值。【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差K6 【答案解析】（1）分布列见解析；（2）解析：（1）由题意知个正面向上，3个背面向上的可能取值为0，1，2，3根据独立重复试验的概率公式得到变量的分布列，的分布列为的数学期望为（2），由和0a1，得，即a的取值范围是【思路点拨】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，看出变量的所有可能取值，根据独立重复试验的概率公式写出变量取不同值时的概率，写出分布列和期望（2）由题意知本题要使的P（=1）的值最大，题目最容易考虑到的一种方法是把P（=1
26、）的值同其他几个变量的概率值进行比做差比较，使得差大于零，解不等式组，得到a的取值范围【题文】24. （本题满分10分）如图，在长方体中，是棱的中点，点在棱上，且（为实数）。（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；（2）试问：直线与直线能否垂直？请说明理由。【知识点】直线与平面所成的角G5 【答案解析】（1）（2）见解析解析：（1）分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A（2，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），E（0，2），F（1，4，0），当时，E（0，1，2），=（1，3，2），设平面D1AC的一个法向量为，由解得取，则，因为，所以因为，所以是锐角，是直线与平面所成角的余角，所以直线与平面所成角的正弦值为假设，则，因为，所以，化简，得，因为，所以该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线垂直【思路点拨】（1）分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出直线EF与平面D1AC所成角的正弦值（2）假设EFEA，则，由此推导出，假设不成立，从而得到直线EF不可能与直线EA垂直