1、专题08 反比例函数一、单选题1（2021北京中考真题）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系B反比例函数关系，二次函数关系C一次函数关系，反比例函数关系D反比例函数关系，一次函数关系【答案】A【解析】解：由题意得：，整理得：，y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；故选A二、解答题2（2022北京中考真题）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为(1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；(2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围【答
2、案】(1)（0，2）；2(2)的取值范围为，的取值范围为【解析】(1)解：当时，当x=0时，y=2，抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；，点关于对称轴为对称，；(2)解：当x=0时，y=c，抛物线与y轴交点坐标为（0，c），抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，13，2t3，即（不合题意，舍去），当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，解得：，13，2t3，即，对称轴为， ，解得：，的取值范围为，的取值范围
3、为3（2022北京中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系某运动员进行了两次训练(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一
4、次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则_（填“”“=”或“0，则x3其中所有正确的结论为（）ABCD【答案】D【解析】解：由表格可得，该函数的图象经过（-1，0），（3，0），该函数图象的对称轴是直线x=1，该函数图象的顶点坐标是（1，-2），有最小值，开口向上，二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x1) 22的形式，故选项正确，选项错误；该函数的图象经过（0，-1.5），其关于对称轴直线x=1的对称点为（2，-1.5），关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1.5的两个根为0或2，故选项正确；该函数的图象经过（-1，0），（3，0），若y0，则x3或x-1
5、，故选项错误；综上，正确的结论为，故选：D5（2022北京北理工附中模拟预测）现有函数如果对于任意的实数，都存在实数，使得当时，那么实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】解：联立方程组 解得 ， 即直线y=x+4与抛物线的交点坐标为（-1，3），（4，8），如图，所以，抛物线的顶点坐标为（1，-1），当直线y=x+4的y值取-1时，x=-5，根据图象可知：当a-5时，直线y=x+4-1，抛物线-1故y不能取所有实数，舍去；当-5a4时，函数的y值可取所有实数，当a4时，函数y=x+4，不符合题意，舍去；故选：A二、填空题6（2022北京朝阳模拟预测）将直线y2x向下平移3个单位长度后，
6、得到的直线经过点（m+2，5），则m的值为 _【答案】-3【解析】解：直线y2x向下平移3个单位长度后的函数解析式是y2x3，把xm+2，y5代入y2x3，可得：2（m+2）35，解得：m3，故答案为：37（2022北京模拟预测）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是_【答案】，.【解析】依题意，得：，解得：，所以，关于x的一元二次方程a(x1)2cbbx为：，即：，化为：，解得：，故答案为，.三、解答题8（2022北京市三帆中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(1)若抛物线与y轴交于，求a的值，并在坐标系中画出此时的函数图象；(2)横、纵坐标都为整数的点叫做整点直线与抛
7、物线围成的区域（不包含边界）记作W在（1）的条件下，结合图象，区域W中的整点坐标为_；当区域W中恰好有3个整点时，直接写出a的取值范围【答案】(1)，函数图像见解析(2)（2，1）；3a4【解析】(1)令，则，解得：，抛物线解析式为：，如图所示：(2)当时，直线为：，抛物线为：，联立直线和抛物线可得：，整理得：，解得：或，将代入，得：，将代入，得：，直线为：，抛物线为：得交点为：（1，0），（3，3），区域W是，当x=2时，在此区域W中的整点只有点（2，1），故答案为：（2，1）；联立直线和抛物线可得：整理得：，解得：或，将代入直线，得：，将代入直线，得：，直线和抛物线的交点为：（1，0），（
8、3，2a），抛物线顶点坐标为：（，），且a0，区域W是，当，与直线交点为（2，a），与抛物线的交点为（2，0），只有（2，4）在区域W边界上时，才满足区域W中恰好有3个整点，即（2，1），（2，2），（2，3）此时3a4，当30a 对称轴 a ，又 的中点 在对称轴的右侧，即离对称轴较近，离对称轴较远，又a0，抛物线的开口向上，则自变量x离对称轴距离越近函数值越小13（2022北京东城一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究下面是小红的探究过程，请补充完整：(1)
9、经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h这两个变量中，_是自变量，_是这个变量的函数；(2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：桥墩露出水面的高度AE为_米；公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_米（精确到0.1米）【答案】(1)d，h(2)见解析(3)0.8
10、8；则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米【解析】(1)解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；故答案为：d，h；(2)解：描点，连线，画出图象如图：；(3)解：观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米；故答案为：0.88；设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88，把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：，解得：，二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88，令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2，解得d3.3或d0.7，则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米14（2022北京市广渠门中学模拟预测）已知抛物线(1)
11、该抛物线的对称轴为_；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；(3)设点该抛物线上，若，求m的取值范围【答案】(1)直线x=-1；(2)或(3)当a0时，m-4或m2；当a0时，-4m2【解析】(1)由则对称轴为直线故答案为：直线x=-1；(2)抛物线顶点在x轴上，即当x=-1时，y=0，3a2-a-4=0，解得a1或a(3)抛物线的对称轴为直线x=-1，N（2，y2）关于直线x=-1的对称点为N（-4，y2）（）当a0时，若y1y2，则m-4或m2；（）当a0时，若y1y2，则-4m215（2022北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点和点B(1)用含a的式子表
12、示b；(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(3)分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n当时，求的最小值；若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围【答案】(1)(2)，(3)1；或【解析】(1)解：把点代入得：，；(2)解：由（1）知抛物线为，抛物线的对称轴为直线，而关于直线的对称点是，由抛物线对称性得：点坐标；(3)解：如图：当时，抛物线与轴交点坐标为，与轴交点坐标为，顶点坐标为，由图象知：当图象为对称图形时有最小值，又，过点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点，顶点坐标为，的最小值为；
13、点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点，由（1）知抛物线为，又抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，根据、点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论的取值：（）当，且时，即图象在对称轴左侧时，此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，解得，又，且，；（）当，且时，即图象在对称轴右侧时，此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，解得，又，且，（）当，且时，即最低点是抛物线顶点且点纵坐标大时，此时，解得，又，；（）当，且时，即最低点是抛物线顶点时且点纵坐标大，此时，解得，又，综上所述，当时，同理可得：当时，也符合条件，的取值范围为或16（2022北京东城一模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A点是抛物线上
14、的任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若点，在抛物线上，则a_b（用“”填空）；(3)若对于时，总有，求m的取值范围【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)解：，抛物线的顶点坐标为(2)解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，关于对称轴对称的点坐标为，故答案为：(3)解：将代入，得，将代入，解得，当时，由题意知，当时，随的增大而减小，即，解得，；当时，由题意知，当时，随的增大而减小，点关于直线的对称点为，对于时，总有，解得，；综上所述，的取值范围为17（2022北京房山二模）已知二次函数(1)二次函数图象的对称轴是直线_；(2)当时，
15、y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；(3)若，对于二次函数图象上的两点，当时，均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围【答案】(1)2；(2)或；(3)0t4【解析】(1)解：（1）由题意可得：对称轴是直线x=2，故答案为：2；(2)，二次函数的顶点坐标为（2，-4a），当a0时，在0x5中，最大值是当x=5时y的值，即，最小值是当x=2时y的值，即-4a，5a-（-4a）=9，a=1，该二次函数的解析式为，当a0时，在0x5中，最大值是当x=2时y的值，即-4a，最小值是当x=5时y的值，即，-4a-5a=9，a=-1，该二次函数的表达式为，综上所述，该二次函数的表达式为或
16、；(3)由（2）知抛物线的对称轴为x=2，当x=5时，y15a，由抛物线的对称性知x=-1时，y=5a，又a0，-1t-1，t+15，0t418（2022北京市十一学校模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为D(1)直接写出函数图象的对称轴：_；(2)若是等腰直角三角形，求的值；(3)当时，y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3，求a的取值范围【答案】(1)直线(2)或(3)当时，当时，；当时，；当时，当时，；当时，【解析】(1)，对称轴为直线，故答案为：直线；(2)由题意得，D坐标为，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，此时，令，则，解得，整理得，解得或或
17、或，二次函数，且当时，二次函数与x轴只有一个交点，故不符合题意；综上，或；(3)当时，当时，y的最大值为时，y的最小值为时，解得，；当时，y的最大值为时，y的最小值为时，解得，；当时，当时，y的最大值为时，y的最小值为时，解得，；当时，y的最大值为时，y的最小值为时，解得，；综上，当时，当时，；当时，；当时，当时，；当时，19（2022北京石景山一模）在平面直角坐标xOy中，点在抛物线上(1)求抛物线的对称轴；(2)抛物线上两点，且，当时，比较，的大小关系，并说明理由；若对于，都有，直接写出t的取值范围【答案】(1)(2)，理由见详解；或【解析】(1)解：对于抛物线，令，可得，即该抛物线与y轴的交点为点（0，2），又点也在抛物线上，根据抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为；(2)根据题意，大致画出抛物线图象，如下图，当时，根据题意可知，即有，由图象可知，；若对于，都有，可分情况讨论，如下图：当时，由图象对称性可知，成立；当时，区域向左移动，区域向右移动且都移动t个单位，由图象对称性可知，成立；当时，区域、区域相向移动，两区域相遇时，有，解得，在时，成立；相遇后，再继续运动，两区域分离时，有，解得；分离后，即时，随着t的增大，由图象对称性可知，成立；综上所述，满足条件的t的取值范围为：或
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