1、专题08 十字模型综合应用（知识解读）【专题说明】 “十字架模型”十数学平面几何中比较重要的一个模型。常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。围绕着这两种模型的条件之下，可以推导出一些比较实用的结论。这些结论对我们分析一些几何问题会比较大的帮助。【方法技巧】类型一：【十字架模型】-正方形第一种情况：过顶点在正方形ABCD中，AEBF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明BAFADE（ASA）所以AE=BF第二种情况：不过顶点在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EGFH，可得EG=FH也可以如下证明在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、
2、BC、CD、DA边上的点，其中：EGFH，可得EG=FH类型二：【十字架模型】-矩形在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AEBF，探究AE与BF的关系；可证：ADEBAF 所以在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EGFH，探究EG与FH的关系【解答】可证：ADNBAM但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中EGFH，探究EG与FH的关系可证EOHGOF【典例分析】【典例1-1】基本模型如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD，DC边
3、上，且AFBE结论：ABEDAF； AFBE；请证明【基本模型】中的结论求证：ABEDAF；AFBE自主探究：若将已知条件AFBE改为AFBE，是否可以得到AFBE？进而是否可以探究AF与BE交点的轨迹？【典例1-2】模型演变如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在DC，AD，BC边上，且AEGF结论：AEGF模型演变如图，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，DC，BC，AD边上，且EFGH结论：EFGH请证明【模型演变】的结论，求证：EFGH自主探究：在【模型演变】和【模型演变】中，若将已知条件中两线段垂直与结论中两线段相等互换，判断结论是否还成立？请选择其中一个图形进行证明
4、【典例2-1】模型演变如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且CEBD结论：DCEADB请证明【模型演变】的结论求证：DCEADB【典例2-2】模型演变如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在AD，BC，AB，DC 边上，且EFGH结论：请证明【模型演变】的结论求证：【变式1-1】如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，BF交于点O若BE3，DF1，则OB的长为 【变式1-2】如图，在面积为16的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，F是CB上一点，CFAE，连接EF，过点D作DGEF于点H，若SBEF6，则CF ，DG 【变式1-3】如图，在矩形AB
5、CD中，点E是边AB上一点，将BCE沿CE折叠，使点B落在AD边上的点F处，连接BF交CE于点G已知AD5，AB3，则折痕CE的长为 【变式1-4】如图，在四边形ABCD中，ABC90，ABAD10，BCCD5，点M，N分别在边BC，AB上，且AMDN，的值【变式1-5】【教材背景】课本上有这样一道题目；如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF发现其中CEDF【拓展延伸】如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD上一点，连接AO并延长，交DC于点E，过点B作BFAE于点G，交AD于点F，连接FE，BE【问题解决】（1）若DODE，求证：ABGOBG；（2）若B
6、F6，求四边形AFEB的面积；（3）如图，连接CG，若CGBC，求证：E是边DC的中点【变式1-6】如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8点E，F分别在边AD，BC上，将该矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点B落在CD边上，点A的对应点为A，连接BB（1）如图，当点B与点D重合时，连接BE，试判断四边形BEBF的形状，并证明；（2）求折痕EF的最大值；（3）如图，过点E作EMBC于点M，当四边形EMCD为正方形时，求CF的长【变式1-7】（滕州市校级模拟）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G（1）如图，若四边形ABCD是矩形，且DECF，求证：；（2）如图，若
7、四边形ABCD是平行四边形，试探究：当B与EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图，若BABC2，DADC，BAD90，DECF，试求的值专题08 十字模型综合应用（知识解读）【专题说明】 “十字架模型”十数学平面几何中比较重要的一个模型。常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。围绕着这两种模型的条件之下，可以推导出一些比较实用的结论。这些结论对我们分析一些几何问题会比较大的帮助。【方法技巧】类型一：【十字架模型】-正方形第一种情况：过顶点在正方形ABCD中，AEBF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明BAFADE（ASA）所以AE=BF第二种情况：不过顶点在正
8、方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EGFH，可得EG=FH也可以如下证明在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EGFH，可得EG=FH类型二：【十字架模型】-矩形在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AEBF，探究AE与BF的关系；可证：ADEBAF 所以在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EGFH，探究EG与FH的关系【解答】可证：ADNBAM但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立在矩形ABCD中，
9、AB=a，AD=b，其中EGFH，探究EG与FH的关系可证EOHGOF【典例分析】【典例1-1】基本模型如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD，DC边上，且AFBE结论：ABEDAF； AFBE；请证明【基本模型】中的结论求证：ABEDAF；AFBE自主探究：若将已知条件AFBE改为AFBE，是否可以得到AFBE？进而是否可以探究AF与BE交点的轨迹？【解答】基本模型：证明：四边形ABCD为正方形，BAED90，ABAD，ABE+BEA90，AFBE，DAF+BEA90，ABEDAF，在ABE和DAF中，ABEDAF（ASA），ABEDAF（ASA），AFBE；自主探究：解：四边形ABC
10、D为正方形，BAED90，ABAD，在RtABE和RtDAF中，RtABERtDAF（HL），ABEDAF，ABE+BEA90，DAF+BEA90，AGE90，则BEAF如图，设AF、BE交于点H，AC、BD交于点O，BEAF，AHB90，点H在以AB为直径的圆上，点E、F分别在AD，DC边上，AF与BE交点的轨迹为【典例1-2】模型演变如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在DC，AD，BC边上，且AEGF结论：AEGF模型演变如图，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，DC，BC，AD边上，且EFGH结论：EFGH请证明【模型演变】的结论，求证：EFGH自主探究：在【模型演变
11、】和【模型演变】中，若将已知条件中两线段垂直与结论中两线段相等互换，判断结论是否还成立？请选择其中一个图形进行证明【解答】证明：过点E作EMDC于点M，过点H作HNBC于点N，四边形ABCD是正方形，EMADDCHN，EMHN，EFHG，MEFNHG，在MEF与NHG中，MEFNHG（ASA），EFGH；自主探究：解：不成立，证明：选择模型演变，设AE与FG相交于点O，过点O作DC的平行线l，将FG沿直线l对称得到FG，则FGFG，由（1）可得：AEFG，FG与AE不垂直，若条件与结论互换，结论不成立【典例2-1】模型演变如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且CEBD结论：DCEADB请证
12、明【模型演变】的结论求证：DCEADB【解答】证明：四边形ABCD是矩形，AADC90，ADB+CDO90，CEBD，DOC90，DCE+CDO90，ADBDCE，AEDC90，DCEADB【典例2-2】模型演变如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在AD，BC，AB，DC 边上，且EFGH结论：请证明【模型演变】的结论求证：【解答】证明：如图，过点G作GMCD于M，过点E作ENBC于点N，GMHENF90，四边形ABCD是矩形，BC90，EFGH，BGH+BFE180，BGH+GHM90，BFEGHM，EFNGHM，【变式1-1】如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD上
13、的点，连接AE，BF交于点O若BE3，DF1，则OB的长为 【解答】解：正方形ABCD的边长为4，ABC90BCD，ABBCCD4，BE3，DF1，BECF3，ABEBCF（SAS），AEBBFC，BFC+FBC90，AEB+FBC90，BOE90，BOAE，2SABEABBEAEOB，AB4，BE3，AE5，OB，故答案为：【变式1-2】如图，在面积为16的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，F是CB上一点，CFAE，连接EF，过点D作DGEF于点H，若SBEF6，则CF ，DG 【解答】解：正方形ABCD的面积为16，正方形ABCD的边长为4，设CFx，则BF4x，BE4+x，SBEF
14、6，（4x）（4+x）6，x2（负值舍去），CF2AE，BFBCCF422，BEAB+AE4+26，EF2，DGEF，AGD90EBFE，又B90DAG，EBFDAG，即，解得DG，故答案为：2【变式1-3】如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将BCE沿CE折叠，使点B落在AD边上的点F处，连接BF交CE于点G已知AD5，AB3，则折痕CE的长为 【解答】解：由翻折的性质可知，BEEF，BCFCAD5，在RtCDF中，CF5，CDAB3，DF4，AFADDF541，设BEx，则EFx，AE3x，在RtAEF中，由勾股定理得，AF2+AE2EF2，即1+（3x）2x2，解得x，即BE，在
15、RtBCE中，由勾股定理得，CE，故答案为：【变式1-4】如图，在四边形ABCD中，ABC90，ABAD10，BCCD5，点M，N分别在边BC，AB上，且AMDN，的值【解答】解：过点D作AB的平行线，交过点A作BC的平行线于G，交BC的延长线于H，过点D作DPAB于P，则四边形ABHG是矩形，ABAD，CBCD，ADCABC90，ADG+CDH90，ADG+DAG90，DAGHDC，又GH，ADGDCH，设CHx，则DG2x，DH102x，AG5+x，5+x2（102x），解得x3，BH8，NDPBAM，DPNABM，ABMDPN，【变式1-5】【教材背景】课本上有这样一道题目；如图，在正方
16、形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF发现其中CEDF【拓展延伸】如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD上一点，连接AO并延长，交DC于点E，过点B作BFAE于点G，交AD于点F，连接FE，BE【问题解决】（1）若DODE，求证：ABGOBG；（2）若BF6，求四边形AFEB的面积；（3）如图，连接CG，若CGBC，求证：E是边DC的中点【解答】【教材背景】证明：如图1中，ABCD是正方形，ABBCCD，EBCFCD90，又E、F分别是AB、BC的中点，BECF，在CEB和DFC中，CEBDFC，CEDF；【问题解决】（1）证明：如图中，四边形ABCD是正方形，AB
17、CD，BAOAED，DODE，DOEDEO，AOBDOE，BAOAOB，BABO，BFAE，AGOG，在BAG和BOG中，ABGOBG（SSS）；（2）解：如图中，过点E作EHAB于点HAEBF，AGB90，ABF+BAG90，DAE+BAG90，ABFDAE，BAAD，BAFADE90，BAFADE（ASA），BFAE6，AEBF，S四边形AFEBAEBF6618；（3）证明：过点C作CTBG交AB于点T，连接GTCGCB，BTBG，CT垂直平分线段BG，TBTG，TBGTGB，TBG+BAG90，AGT+TGB90，TAGTGA，TATG，ATTB，AEBF，CTBF，AECT，ATCE，
18、四边形ATCE是平行四边形，ATCE，ABCD2AT，CD2CE，DEEC【变式1-6】如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8点E，F分别在边AD，BC上，将该矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点B落在CD边上，点A的对应点为A，连接BB（1）如图，当点B与点D重合时，连接BE，试判断四边形BEBF的形状，并证明；（2）求折痕EF的最大值；（3）如图，过点E作EMBC于点M，当四边形EMCD为正方形时，求CF的长【解答】解：（1）四边形BEBF是菱形，理由如下：由折叠的性质得：BFEBFE，EF垂直平分BB，BEBE，BFBF，四边形ABCD是矩形，ADBC，BEFBFE，BEFBFE，BEBF
19、，BEBEBFBF，四边形BEBF是菱形；（2）过点E作EGBC于G，设EF与BB交于点O，如图所示：则EGF90，四边形ABGE为矩形，GEF+EFG90，EGAB6，由折叠的性质得：EFBB，BOF90，EFG+BBF90，GEFBBF，四边形ABCD为矩形，CDAB6，C90，CEGF，EGFBCB，EFBB，当BB取最大值，EF取得最大值，此时，点B与点D重合，连接BD，在RtBCD中，BD10，EF最大BD10；（3）连接BE、BE，如图所示：由折叠的性质得：EF垂直平分BB，BFBF，BEBE，四边形EMCD是正方形，EMMCCDED6，AEBM862，在RtEMB和RtEDB中，
20、RtEMBRtEDB（HL），DBBM2，CBCDDB624，设CFx，则BFBF8x，在RtCBF中，由勾股定理得：CF2+CB2BF2，即x2+42（8x）2，解得：x3，CF的长为3【变式1-7】（滕州市校级模拟）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G（1）如图，若四边形ABCD是矩形，且DECF，求证：；（2）如图，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当B与EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图，若BABC2，DADC，BAD90，DECF，试求的值【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，AFDC90，CFDE，DGF90，AD
21、E+CFD90，ADE+AED90，CFDAED，ACDF，AEDDFC，；（2）当B+EGC180时，成立当B+EGC180时：四边形ABCD是平行四边形，BADC，ADBC，B+A180，B+EGC180，AEGCFGD，FDGEDA，DFGDEA，BADC，B+EGC180，EGC+DGC180，CGDCDF，GCDDCF，CGDCDF，即当B+EGC180时，成立（3）解：过C作CNAD于N，CMAB交AB延长线于M，连接BD，设CNx，BAD90，即ABAD，AMCNA90，四边形AMCN是矩形，AMCN，ANCM，在BAD和BCD中，BADBCD（SSS），BCDA90，ABC+ADC180，ABC+CBM180，MBCADC，CNDM90，BCMDCN，CMx，在RtCMB中，CMx，BMAMABx2，由勾股定理得：BM2+CM2BC2，（x2）2+（x）222，x0（舍去），x，CN，AFGD90，AED+AFG180，AFG+NFC180，AEDCFN，ACNF90，AEDNFC，
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