1、专题08 与过定点的直线相关的最值【方法点拨】1. 选择直线方程的适当形式，若设为截距式，实质是引入了双元；若设为斜截式，则是引入了单元.无论那种形式，都有注意参数的范围.2. 当求线段被定点分成两条线段之积的最值时，转化为向量的数量积的坐标形式求解较简单，也可引入角为变量，建立关于角的目标函数，利用三角函数的有界性求解.【典型题示例】例1 已知直线过定点，且交轴负半轴于点交轴正半轴于点，点为坐标原点，则取得最小值时直线的方程为 .【答案】【解析一】设直线的方程为（其中）直线过点，当且仅当，时取等号，所以直线的方程为.【解析二】设直线的方程为（其中）令，；令，当且仅当，即时取等号，所以直线的方
2、程为.例2 已知直线过定点，且交轴负半轴于点交轴正半轴于点，则取得最小值时直线的方程为 .【答案】【解析一】（截距式+向量+基本不等式中的“1”的代换）设直线的方程为（其中）直线过点，三点共线，当且仅当，时取等号，所以直线的方程为【解析二】（斜截式+向量+基本不等式）设直线的方程为（其中）令，；令，三点共线，当且仅当，即时取等号，所以直线的方程为【解析三】（作垂线，利用直角三角形边角关系，三角函数有界性）过点分别向轴、轴作垂线，设（其中）则，当且仅当，即时取等号，此时直线的斜率为1直线的方程为例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当AOB
3、面积最小时，则直线l的方程是 【答案】x2y40【解析一】设直线l的方程为y1k(x2) （其中k0）则可得A，B(0,12k)SAOB|OA|OB|(12k)4当且仅当4k，即k时，AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y1(x2)，即x2y40.【解析二】设所求直线l的方程为1(a0，b0)，则1.又2ab4，当且仅当，即a4，b2时，AOB面积Sab有最小值为4.此时，直线l的方程是1，即x2y40.【解析三】过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别是设（其中）则，当且仅当，即时取等号，此时直线的斜率为直线l的方程是x2y40.例4 已知直线，且与轴、轴分别交于、两点若使的面积为的直线共有
4、四条，则正实数的取值范围是 【答案】【分析】由于直线过定点（2,3），故直线与第二、四象限围成的的面积可以取任意实数，换言之，当给定一正实数时，直线与第二、四围成的面积为的直线有且仅有两条，故只需考虑与第一象限围成的的面积为的直线有两条即可，由于与第一象限围成的的面积有最小值，根据对称性，大于该最小值的直线有两条，故问题转化为求与第一象限围成的的面积的最小值.【解析一】直线与轴，轴交点的坐标分别是，当时，当且仅当时取等号当时，在时，有两值；当时，当且仅当时取等号当时，仅有一条直线使的面积为；当时，仅有两条直线使的面积为；当时，仅有三条直线使的面积为；当时，仅有四条直线使的面积为故答案是：【解析
5、二】直线过定点（2,3），先求直线l与第一象限围成的的面积的最小值，则所求m大于该最小值时，满足题意，（）当且仅当，即时取等号当时，仅有四条直线使的面积为故答案是：【巩固训练】1. 直线 （ 且不同时为0）经过定点_2.过点P(2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有_条3.已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，则当|取得最小值时，直线l的方程为_4.已知直线l：kxy12k0(kR)，若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，则S取得最小值时直线l的方程是 5. 一直线过点且与轴、轴的正半轴分别相
6、交于、两点，为坐标原点则的最大值为 6.已知直线，与两坐标轴分别交于、两点当的面积取最小值时为坐标原点），则的值为ABCD【答案或提示】1. 【答案】【解析】直线过定点，则意味着定点坐标使得参数“失去作用”即无论参数取何值，不会影响表达式的值，能够达到此功效的只有让参数与“0”相乘，所以考虑将已知直线进行变形，将含的项与含的项分别归为一组，可得：，若要让“失去作用”，则，解得，即定点为 .2.【分析一】直接设点斜式或截距式求出.【解析一】设过点P(2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k，则有直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，它与坐标轴的交点分别为M(0，2k3)
7、、N再由12OMON|2k3|2|，可得|4k12|24，即4k1224，或4k1224解得k或k或k，故满足条件的直线有3条【分析二】求出与x轴负方向、y轴正方向所围成三角形面积的最小值，若大于12，满足条件的直线有二条；若小于12，满足条件的直线有四条；若大于12，满足条件的直线有三条.已知直线l1：axy10，l2：xay10，aR，以下结论正确的是()A不论a为何值时，l1与l2都互相垂直B当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(1,0)C不论a为何值时，l1与l2都关于直线xy0对称D如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是答案ABD解析对于A，a1a0恒成立，l1与
8、l2互相垂直恒成立，故A正确；对于B，直线l1：axy10，当a变化时，x0，y1恒成立，所以l1恒过定点A(0,1)；l2：xay10，当a变化时，x1，y0恒成立，所以l2恒过定点B(1,0)，故B正确对于C，在l1上任取点，关于直线xy0对称的点的坐标为，代入l2：xay10，则左边不等于0，故C不正确；对于D，联立解得即M，所以|MO|，所以|MO|的最大值是，故D正确.故选ABD.3.【答案】xy30【解析】设A(a,0)，B(0，b)，则a0，b0，直线l的方程为1，所以1.|(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)54，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.4.【答案】x2y40【解析】由题意可知k0，再由l的方程，得A，B(0,12k)依题意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.5. 【答案】【解析】设，则直线方程的截距式为，由在直线上可得：，即，因为，所以，当且仅当，时取等号，所以故答案为：6.【答案】C【解析】由直线，可得，当的面积，令，当，即时，取得最小值故选C
