1、专题08 一元二次方程 【专题目录】技巧1：一元二次方程的解法归类技巧2：根的判别式的六种常见应用技巧3：根与系数的关系的四种应用类型【题型】一、一元二次方程的概念【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法【题型】三、解一元二次方程：配方法【题型】四、解一元二次方程：公式法【题型】五、解一元二次方程：因式分解法【考纲要求】1、理解一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的解法2、会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用3、会列一元二次方程解决实际问题.【考点总结】一、一元二次方程一元二次方程方程一元二次方程概念（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不
2、为0的整式方程，叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a0.解法（降次） 直接开平方法:(x+m)2=n(n0)的根是 配方法:将ax2+bx+c=0(a0)化成的形式，当b2-4ac0时，用直接开平方法求解公式法:ax2+bx+c=0(a0)的求根公式为因式分解法:将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解根的判别式（1）当b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根;（2）当b2-4a
3、c=0时,方程有两个相等的实数根;（3）当b2-4ac0时,方程无实数根.【注意】判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是用配方法解一元二次方程ax2bxc0(a0)的一般步骤1、 一化：化二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；2、 二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；3、三配：配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程化为 的形式；方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；
4、4、四解：用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数。 分别解这两个一元二次方程，求出两根。一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）)的解法选择（1）当b=0时，首选直接开平法（2）当c=0时，首选因式分解法或配方法（3）当a=1,b0,c0时，首选配方法或因式分解法（4）当a1,b0,c0时，首选公式法或因式分解法一元二次方程根与系数关系的两类应用（1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果（2）构造以两数为根的一元二次方程：:由已知两数x1+x2和x1x2的值，然
5、后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0写出方程【技巧归纳】技巧1：一元二次方程的解法归类【类型】一、限定方法解一元二次方程题型1：形如(xm)2n(n0)的一元二次方程用直接开平方法求解1方程4x2250的解为()Ax Bx Cx Dx2用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为()Ax255 B3x20 Cx240 D(x1)20题型2：当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解3用配方法解方程x234x，配方后的方程变为()A(x2)27 B(x2)21 C(x2)21 D(x2)224解方程：x24x20.5已知x210xy216y890，求的值题型3：能化
6、成形如(xa)(xb)0的一元二次方程用因式分解法求解6一元二次方程x(x2)2x的根是()A1 B0 C1和2 D1和27解下列一元二次方程：(1)x22x0； (2)16x290； (3)4x24x1.题型4：如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8用公式法解一元二次方程x22x，方程的解应是()Ax Bx Cx Dx9用公式法解下列方程(1)3(x21)7x0； (2)4x23x5x2.【类型】二、选择合适的方法解一元二次方程10方程4x2490的解为()Ax Bx Cx1，x2 Dx1，x211一元二次方程x293x的根是()Ax1x23 Bx1x24 Cx13和x24
7、 Dx13和x24 12方程(x1)(x3)5的解是()Ax11，x23 Bx14，x22 Cx11，x23 Dx14，x2213解下列方程(1)3y23y60； (2)2x23x10.【类型】三、用特殊方法解一元二次方程题型1：构造法14解方程：6x219x100.15若m，n，p满足mn8，mnp2160，求mnp的值题型2：换元法a整体换元16解方程：(x1)(x2)(x3)(x4)48.17x2210.b降次换元18解方程：6x435x362x235x60.c倒数换元19解方程：2.题型3：特殊值法20解方程：(x2 013)(x2 014)2 0152 016.参考答案1C2.C3.
8、C4解：x24x20， x24x 2， (x2)2 6， x2 ，x12，x22.5解：x210xy216y890， (x210x25)(y216y64) 0， (x5)2(y8)2 0，x5，y8.6D7解：(1)x22x0，x(x2)0，x10，x22.(2)16x290，(4x3)(4x3)0，x1，x2.(3)4x24x1，4x24x10，(2x1)20，x1x2.8B9解：(1)3(x21)7x0，3x27x30，b24ac(7)243313.x.x1，x2.(2)4x23x5x2，4x24x30，b24ac(4)244(3)64.x.x1，x2.10C11.C12.B13解：(1)
9、3y23y60，y2y20，y，y12，y21.(2)2x23x10，b24ac(3)24211，x，即x11，x2.14解：将原方程两边同乘6，得(6x)219(6x)600.解得6x15或6x4.x1，x2.15解：因为mn8，所以mn8.将mn8代入mnp2160中，得n(n8)p2160，所以n28n16p20，即(n4)2p20.又因为(n4)20，p20，所以解得所以mn84.来源:学科网ZXXK所以mnp4(4)00.16解：原方程可变为(x1)(x4)(x2)(x3)48，即(x25x4)(x25x6)48.设yx25x5，则原方程变为(y1)(y1)48.解得y17，y27.
10、当x25x57时，解得x1，x2；当x25x57时，(5)24112230，方程无实数根原方程的根为x1，x2.17解：x2210，设xy，则原方程为y22y30.y13，y21.当y3时，x3，x1，x2.当y1时，x1，无实数解经检验，x1，x2都是原方程的根，原方程的根为x1，x2.18解：经验证x0不是方程的根，原方程两边同除以x2，得6x235x620，即635620.设yx，则x2y22，原方程可变为6(y22)35y620.解得y1，y2.当x时，解得x12，x2；当x时，解得x33，x4.经检验，均符合题意原方程的解为x12，x2，x33，x4.19解：设y，则原方程化为y2，
11、整理得y22y30，y13，y21.当y3时，3，x1；当y1时，1，x1.经检验，x1都是原方程的根，原方程的根为x11，x21.20解：方程组的解一定是原方程的解，解得x4 029.方程组的解也一定是原方程的解，解得x2.原方程最多有两个实数解，原方程的解为x14 029，x22.点拨：解本题也可采用换元法设x2 014t，则x2 013t1，原方程可化为t(t1)2 0152 016，先求出t的值，进而求出x的值技巧2：根的判别式的六种常见应用【类型】一、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1已知方程x22xm0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x22mxm(m1)0有无实数根2已知
12、关于x的方程x22mxm210.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值【类型】二、利用根的判别式求字母的值或取值范围3已知关于x的一元二次方程mx2(m2)x20，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根【类型】三、利用根的判别式求代数式的值4已知关于x的方程x2(2m1)x40有两个相等的实数根，求的值【类型】四、利用根的判别式解与函数综合问题5yx1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx22x10的根的情况为()A没有实数根 B有一个实数根C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根【类型】五、利用根的判别式确定
13、三角形的形状6已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(ac)x2bx0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状【类型】六、利用根的判别式探求菱形条件7已知ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2mx0的两个根(1)m为何值时，ABCD是菱形？并求出菱形的边长(2)若AB的长为2，求ABCD的周长是多少？参考答案1解：x22xm0没有实数根，1(2)24(m)44m0，即m4，方程x22mxm(m1)0有两个不相等的实数根2解：(1)b24ac(2m)241(m21)4m24m2440，方程有两个不相等的实数根(2)将x3代入方程中，得92m3m210，即m26m91，(m
14、3)21.m31.m12，m24.3(1)证明：(m2)28mm24m4(m2)2.不论m为何值，(m2)20，即0.不论m为何值，方程总有实数根(2)解：解关于x的一元二次方程mx2(m2)x20，得x.x1，x21.方程的两个根都是正整数，是正整数，m1或m2.又方程的两个根不相等，m2，m1.4解：关于x的方程x2(2m1)x40有两个相等的实数根，(2m1)24140，即2m14.m或m.当m时，；当m时，.5A点拨：yx1是关于x的一次函数，0.k10，解得k1.又一元二次方程kx22x10的判别式44k，0.一元二次方程kx22x10无实数根，故选A.6解：方程(ac)x2bx0有
15、两个相等的实数根，b24(ac)b2(a2c2)0.即b2c2a2，此三角形是直角三角形7解：(1)ABCD是菱形，ABAD.0，即m24m22m10，m1.此时原方程为x2x0，x1x2，当m1时，ABCD是菱形，菱形ABCD的边长为.(2)AB2，将x2代入原方程得42m0，解得m，故原方程为x2x10，解得x12，x2，AD.故ABCD的周长为25.技巧3：根与系数的关系的四种应用类型【类型】一、利用根与系数的关系求代数式的值1设方程4x27x30的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值(1)(x13)(x23)； (2)； (3)x1x2.【类型】二、利用根与系数的关系构造一元二次方
16、程2构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x22x30各根的负倒数【类型】三、利用根与系数的关系求字母的值或取值范围3已知关于x的一元二次方程x24xm0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x12x22，求实数m的值【类型】四、巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由参考答案1解：根据一元二次方程根与系数的关系，有x1x2，x1x2.(1)(x13)(x23)x1x23(x1
17、x2)9393.(2).(3)(x1x2)2(x1x2)24x1x24，x1x2.2解：设方程5x22x30的两根为x1，x2，则x1x2，x1x2.设所求方程为y2pyq0，其两根为y1，y2，令y1，y2.p(y1y2)，qy1y2.所求的方程为y2y0，即3y22y50.3解：(1)方程x24xm0有实数根，b24ac(4)24m0，m4.(2)方程x24xm0的两实数根为x1，x2，x1x24，又5x12x22，联立解方程组得mx1x22612.4解：不存在理由如下：一元二次方程4kx24kxk10有两个实数根，k0，且(4k)244k(k1)16k0，k0.来源:学*科*网Z*X*X
18、*Kx1，x2是方程4kx24kxk10的两个实数根，x1x21，x1x2.(2x1x2)(x12x2)2(x1x2)29x1x2.又(2x1x2)(x12x2)，.k.经检验，k是该分式方程的根又k0，不存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)成立【题型讲解】【题型】一、一元二次方程的概念例1、若方程是一元二次方程，则m的值为（ ）A0B1C1D1【答案】D【详解】因为方程是一元二次方程,所以,解得且所以,故选D.【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法例2、解下列方程：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用直接开平方法求解即可【详解】解：（
19、1）方程变形得，开平方，得，；（2）由原方程，得，开平方，得，【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a0）的形式，利用数的开方直接求解【题型】三、解一元二次方程：配方法例3、用配方法解方程（1）；（2）【答案】（1），；（2），【分析】（1）直接利用配方法进行求解；（2）直接利用配方法进行求解【详解】解：(1)方程变形为x2-4x=2两边都加4，得x2-4x+4=2+4利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6解这个方程，得，或于是，原方程的根为，或(2)将常数项移到方程右边
20、x2+6x=-8两边都加“一次项系数一半的平方”，得x2+6x+32=-8+32，(x+3)2=1用直接开平方法，得x+3=1，x=-2或x=-4【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的基本步骤【题型】四、解一元二次方程：公式法例4、解方程【答案】，【分析】先求出 ， ， ，根据一元二次方程判别式，可得到方程有两个不相等的实数根，然后代入求根公式即可解答【详解】解： ， ， ， ，方程有两个不相等的实数根 ，【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法公式法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式，即【题型】五、解一元二次方程：因式分解法例5、用因式分解法解下列方程
21、：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）移项后利用完全平方公式得到，然后利用直接开方法解方程；（2）先变形得到，然后利用因式分解方法解方程【详解】解：（1）移项，合并同类项，得，因式分解，得，所以，原方程的根为；（2）移项，得，即，提公因式，得，于是，得或，所以，原方程的根为【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法一元二次方程（达标训练）一、单选题1（2022四川泸州一模）方程x26x0的解是（）Ax6Bx0Cx16，x20Dx16，x20【答案】C【分析】利用因式分解法解方程即可【详解
22、】解：因式分解得：x（x6）0，则x60或x0，所以x16，x20，故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键2（2022福建省福州第十九中学模拟预测）一元二次方程在用求根公式求解时，a，b，c的值是（）A3，1，2B2，1，3C2，3，1D2，3，1【答案】D【分析】先按照未知数x的降幂排列，据此可得答案【详解】，则a =-2，b =3，c =-1,故选： D 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键3（2022浙江温州一
23、模）用配方法解方程时，配方结果正确的是（）ABCD【答案】C【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断【详解】解：只有选项C符合题意；故选C【点睛】此题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键4（2022广东深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）方程的两个根为（）A3，3B9，9C1，9D9，1【答案】A【分析】先将9移到方程右边，再开平方解方程即可【详解】解：，x3，所以3，3故选：A【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键5（2022广东深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x的一元二次方程a5ax+40，有一
24、个根为1则a的值为（）A1B1C1或1D不能确定【答案】A【分析】根据方程的解代入方程满足等式关系，将方程的根代入一元二次方程计算求值即可；【详解】解：将x1代入到方程可得：a5a+40，-4a=-4，a1，故选： A【点睛】本题考查了一元二次方程的解，等式的性质，掌握方程的解的意义是解题关键二、填空题6（2022江苏南京市花园中学模拟预测）设，是关于x的方程的两个根，则_【答案】【分析】运用根与系数关系定理，具体化求解即可【详解】解：是关于x的方程x2kx+k20的两个根，k，k2，121故答案为1【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键7（2022广
25、东乐昌市新时代学校二模）比亚迪汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，由于该型汽车既环保，又经济，销量快速上升，5月份该公司销售该型汽车达18辆设该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率为x，可列方程为：_【答案】【分析】汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，设该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率为x，则4月份的销售额是8（1+x），5月份的销售额是，据此即可列出方程【详解】解：根据题意可列方程：，故答案为：【点睛】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程增长用“+”，下降用“-”三、解答题8（2022四川南充一模）已知关于x的方程：x2（m2
26、）xm0(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根(2)设非0实数m，n是方程的两根，试求mn的值【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根的判别式为，将系数代入即可证得（2）把代入方程可求得，由根与系数的关系可求得n值，即可求解(1)证明：无论m取何实数时，总有方程总有两个不相等的实数根(2)把代入方程，得即，由根与系数的关系，【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键一元二次方程（提升测评）一、单选题1（2022广东深圳市宝安第一外国语学校三模）关于的一元二次方程两个相等的实数根，则关于的一元二次方程的根的情况是()A有两个不相
27、等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法判定【答案】C【分析】根据两个相等的实数根，计算出k的值，再根据k的取值范围计算出方程的根的判别式，即可进行解答【详解】解：方程两个相等的实数根，解得：k=5，一元二次方程中，a=1，b=-4，c=k，k=5，=-40，无实数根故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关内容的解题的关键时，方程有两个不相等的实数根，时，方程有两个相等的实数根，时，方程没有实数根2（2022云南昆明八中模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）ABCD【答案】C【分析】根据一元二次方程跟的判别式进行判断即可【详解】解：A选项实数根为，故
28、该一元二次方程有两个相等的实数根；B选项实数根为和，故该一元二次方程有两个不相等的实数根；C选项依题意得：，则，故该一元二次方程没有实数根；D选项实数根为，故该一元二次方程有两个相等的实数根故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式， 时一元二次方程有实数根3（2022贵州仁怀市教育研究室三模）若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（）A3B3C5D5【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得到关于b的方程，求出b的值即可【详解】解：和是关于x的方程的两根， 故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-，两根之积为是解题的关键4（2022广东深圳市龙
29、华区丹堤实验学校模拟预测）关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（）Ak9Bk3C9k6Dk【答案】A【分析】设，再把原方程化为，结合根的判别式可得，再由原方程有两个实数根，可得从而可得答案【详解】解：设t|x3|，则原方程变形为，所以14（k9）0，解得，原方程有两个解，方程有一正根和负根， 解得k9，k的取值范围是k9故选：A【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由原方程有两个解得到方程有一个正根与一个负根是解本题的关键5（2022重庆巴蜀中学一模）对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（）当时，若，则无论x取任何实数，等式都恒成立，则若，则满足的整数解共
30、有8个A1个B2个C3个D4个【答案】A【分析】代入求值后因式分解计算即可；提取公因式x后根据恒成立找关系即可；两个方程相加后因式分解即可解题；去括号后因式分解判断即可【详解】当时，若，则或者，故错误；等式化简后为无论x取任何实数，等式都恒成立，即，故正确；若，则两个方程相加得：， ，故错误；整理得：整数解， ， ， 整数解共9对，故错误；综上所述，结论正确的有；故选：A【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程二、填空题6（2022辽宁本溪二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_【答案】且【分析】根据一元二次方程根的
31、判别方法列出关于m的不等式，即可解得答案【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，解得：；，；的取值范围是：且故答案为：且【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握0时，一元二次方程有两个不相等的实数根7（2022广东番禺中学三模）已知x22x+15，则代数式=_【答案】或【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案【详解】解：2x，（x5）（x+3）0，x5或x3当x5时，原式4；当x3时，原式【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键三、解答题8（2022广东顺德德胜学校三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标
32、相等的点称为这个函数的不动点(1)请直接写出函数的不动点的坐标；(2)若函数有两个关于原点对称的不动点，求的值；(3)已知函数，若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出的取值范围【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设函数y=2-x的不动点M为（m,m），根据定义得到2-m=m，求出m即可求M点坐标；（2）由题意可知AB所在直线解析式为y=x，联立方程组，再由根与系数的关系得3-a=0，即可求a的值；（3）由题意可得，则恒成立，对于关于b的一元二次不等式恒成立，只需，即可（1）解：设函数的不动点为，解得，；（2）、关于原点对称，且是函数的不动点，所在直线解析式为，联立方程组，整理得，；（3）由题意可知，整理得，函数恒有两个相异的不动点，恒成立，关于的一元二次不等式恒成立，解得【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，弄清定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，判别式与根的关系是解题的关键
