1、2.1.3.1函数的单调性第一课时 单调性【教学目标】1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质;3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性【教学重点难点】重点:函数的单调性及其几何意义难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性【教学过程】(一)创设情景,揭示课题1 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:yx1-11-1 随x的增大,y的值有什么变化? 能否看出函数的最大、最小值? 函数图象是否具有某种对称性?2 画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f(x) = xyx1
2、-11-1 从左至右图象上升还是下降 _? 在区间 _ 上,随着x的增大,f(x)的值随着 _ (2)f(x) = -x+2yx1-11-1 从左至右图象上升还是下降 _? 在区间 _ 上,随着x的增大,f(x)的值随着 _ (3)f(x) = x2在区间 _ 上,f(x)的值随着x的增大而 _ 在区间 _ 上,f(x)的值随着x的增大而 _ 3、从上面的观察分析,能得出什么结论?学生回答后教师归纳:从上面的观察分析可以看出:不同的函数,其图象的变化趋势不同,同一函数在不同区间上变化趋势也不同,函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映,这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质函数的单调性(引
3、出课题)。(二)研探新知1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的,如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢?学生通过观察、思考、讨论,归纳得出:函数y = x2在(0,+)上图象是上升的,用函数解析式来描述就是:对于(0,+)上的任意的x1,x2,当x1x2时,都有x12x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大,具有这种性质的函数叫增函数。2增函数一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数(increasing function)3、从函数图象上可以看到,y= x
4、2的图象在y轴左侧是下降的,类比增函数的定义,你能概括出减函数的定义吗?注意: 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有f(x1)0 B. b0 D.m0 例316.求证:函数,在区间上是减函数解:设则 在区间上是减函数。点评:利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: 任取x1,x2D,且x1x2; 作差f(x1)f(x2); 变形(通常是因式分解和配方);定号(即判断差f(x1)f(x2)的正负);下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)变式训练3.:画出反比例函数的图象 这个函数的定义域是什么? 它在定义域I上的单调性怎样?证明你的结论四、归纳小结函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步:取 值 作 差 变 形 定 号 下结论【板书设计】一、 函数单调性二、 典型例题例1: 例2:小结:【作业布置】完成本节课学案预习下一节。