1、第七章第七讲A组基础巩固一、选择题1(2015山西临汾一模)如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是()A90B60C45D30答案B解析将其还原成正方体ABCDPQRS，显然PBSC，ACS为正三角形，ACS60.2若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.BC.D答案B解析间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D平面ACD，B1DDC，故B1DC为直角三角形，设棱长为1，则有AD，B1D，DC，SB1DC.设A到平面B1DC的距离为h，则有VAB1
2、DCVB1ADC，hSB1DCB1DSADC.h，h.设直线AD与平面B1DC所成的角为，则sin.向量法：如图，取AC的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系设各棱长为2，则有A(0，1,0)，D(0,0,2)，C(0,1,0)，B1(，0,2)设n(x，y，z)为平面B1CD的法向量，则有n(0,2,1)sin，n.3(2015皖南八校联考)四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角VABC的余弦值的大小为()A.BC.D答案B解析如图所示，取AB中点E，过V作底面的垂线，垂足为O，连接OE，根据题意可知，VEO是二面角VABC的平面角，因
3、为OE1，VE2，所以cosVEO，故选B.4(2015沈阳模拟)在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是()A.aBaC.aDa答案A解析以A为原点，AB、AD、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系；A1(0,0，a)，M(0,0，)，B(a,0,0)，D(0，a,0)，(a，a,0)，(a,0，)设平面BDM的法向量n(x，y，z)，则，设x1，n(1,1,2)(0,0，)，则点A1到平面MBD的距离da，故选A.5如图所示三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1B1C11，且A1C1B190，D点在棱AA1上，AD2
4、DA1，点P在棱C1C上，则的最小值为()A.BC.D答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则D(1,0,2)，B1(0,1,3)，设P(0,0，z)，则(1,0,2z)，(0,1,3z)，00(2z)(3z)(z)2，故当z时，取得最小值为.6过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为()A30B45C60D90答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，设ABPA1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)由题意得，AD平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD
5、，AECD，又PDCDD，AE平面CDP.(0,1,0)和(0，)分别是平面ABP和平面CDP的法向量，而，45，平面ABP与平面CDP所成的二面角为45.二、填空题7在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_.答案解析建立坐标系如图则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线DE与平面A1BC1的夹角的正弦值为_.答案解析设正方体的棱长为2
6、，直线DE与平面A1BC1的夹角为，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0)，E(0,2,1)，B1(2,2,2)，DB1平面A1BC1，(2,2,2)是平面A1BC1的法向量，(0,2,1)，sincos，.9已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1；则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_.答案解析延长FE，CB相交于点G，连接AG，设正方体的棱长为3，则GBBC3，作BHAG于点H，连接EH，则EHB为所求二面角的平面角BH，EB1，tanEHB.10正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中
7、点，则点F到平面A1D1E的距离为_.答案解析以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(0,0,1)，E(1,0，)，F(，1,0)，D1(0,1,1)(1,0，)，(0,1,0)设平面A1D1E的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1.n(1,0,2)又(，1，1)，点F到平面A1D1E的距离为d.三、解答题11(2015新课标全国)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线C
8、F所成角的余弦值答案(1)略(2)解析(1)证明：连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长，建立空间直角坐标系Gxyz.由(1)可得A(0，0)，E(
9、1,0，)，F(1,0，)，C(0，0)，所以(1，)，(1，)故cos，.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.12(2015西安八校联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB2BC4，BFCFAEDE，EF2，EFAB，AFCF.(1)若G为FC的中点，证明：AF平面BDG；(2)求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值答案(1)略(2)解析(1)连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，点G为FC的中点，OGAF.AF平面BDG，OG平面BDG，AF平面BDG.(2)取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQABEF，M，Q，F，E共面作FPMQ于P，ENMQ于N，
10、则ENFP且ENFP.连接EM，FQ，AEDEBFCF，ADBC，ADE和BCF全等，EMFQ，ENM和FPQ全等，MNPQ1，BFCF，Q为BC中点，BCFQ，又BCMQ，FQMQQ，BC平面MQFE，PFBC，PF平面ABCD.以P为原点，PM为x轴，PF为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(3,1,0)，B(1,1,0)，C(1，1,0)，设F(0,0，h)，则(3，1，h)，(1,1，h)AFCF，0，解得h2.设平面ABF的法向量n(x1，y1，z1)，(3，1,2)，(1，1,2)，由得，令z11，得x10，y12，同理得平面BCF的一个法向量为n2(2,0,1)，cosn1，n
11、2，平面ABF与平面BCF夹角的余弦值为.B组能力提升1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与平面BCC1B1所成角的正切值为()A.BC.D答案C解析设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，E为BC1的中点，D(0,0,0)，E(1,2,1)，(1,2,1)，设DE与平面BCC1B1所成角的平面角为，平面BCC1B1的法向量n(0,1,0)，sin|cos，n|，cos，tan.2在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABAA14，点D是AA1的中点，则点A1到平面DBC1的距离是()A
12、.BC.D答案A解析过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABAA14，点D是AA1的中点，B(2，2,0)，C1(0,4,4)，D(0,0,2)，A1(0,0,4)，(2，2，2)，(0,4,2)，(0,0,2)，设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，n0，n0，n(，1,2)，点A1到平面DBC1的距离d.故选A.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.BC.D答案B解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1.
13、则A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，(0,1，1)，(1,0，)设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则n1(1,2,2)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2，即所成的锐二面角的余弦值为.4如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1，AA1，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO侧面ABB1A1.(1)证明：BCAB1；(2)若OCOA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)由题意知tanABD，tanAB1B，注意到0ABD，AB1B，所以ABDAB1B，所以ABDBAB1AB1
14、BBAB1，所以AB1BD.又CO侧面ABB1A1，所以AB1CO.又BD与CO交于点O，所以AB1平面CBD.又BC平面CBD，所以BCAB1.(2)如图，以O为坐标原点，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0，0)，B(，0,0)，C(0,0，)，B1(0，0)，D(，0,0)因为2，所以C1(，)所以(，0)，(0，)，(，)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得，令x1，得n(1，)设直线C1D与平面ABC所成的角为，则sin.5(2015湖北)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个
15、面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值答案(1)是，DEB，DEF，EFB，DFB(2)解析解法一：(1)证明：因为PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.而DE平面PCD，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.
16、而PCBCC，所以DE平面PBC.而PB平面PBC，所以PBDE.又PBEF，DEEFE，所以PB平面DEF.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)如图1，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线由(1)知，PB平面DEF，所以PBDG.因为PD底面ABCD，所以PDDG.而PDPBP，所以DG平面PBD.故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PDDC1，BC，有BD，在RtPDB中，由DFPB，得DPFFDB，则tant
17、anDPF，解得.所以.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，.图1图2解法二：(1)如图2，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系设PDDC1，BC，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，B(，1,0)，C(0,1,0)(，1，1)，点E是PC的中点，所以E(0，)，(0，)，于是0，即PBDE.又已知EFPB，而DEEFE，所以PB平面DEF.因为(0,1，1)，0，则DEPC，所以DE平面PBC.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)由PD平面ABCD，所以(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量；由(1)知，PB平面DEF，所以(，1,1)是平面DEF的一个法向量若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则cos|，解得.所以.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，.