1、专题07 全等三角形旋转、一线三等角模型【中考考向导航】目录【直击中考】1【考向一 全等三角形旋转模型】1【考向二 全等三角形一线三等角模型】26【直击中考】【考向一 全等三角形旋转模型】例题：（2022山东菏泽菏泽一中校考模拟预测）如图，在中，点D，E分别在边，上，且则现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为如图，连接，(1)如图，请直接写出与的数量关系(2)将旋转至如图所示位置时，请判断与的数量关系和位置关系，并加以证明(3)在旋转的过程中，当的面积最大时，_（直接写出答案即可）【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）利用证明，可得结论；（2）设与相交于点O，证明，即可得到，进一步得
2、到，即可得到结论（3）在中，边的长度为定值，当边上的高最大时，的面积最大，则当点D在的垂直平分线上时，的面积最大，进一步求解即可得到旋转角的度数【详解】（1），理由如下：，即，在和中，；（2）且理由如下：，即，设与相交于点O，由可得：，且；（3）在中，边的长度为定值，当边上的高最大时，的面积最大，当点D在的垂直平分线上时，的面积最大，如图所示，,，于点G，即当的面积最大时，故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识，证明是解题的关键【变式训练】一、选择题1（2022重庆璧山统考一模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，
3、则线段的长度为（）A2BCD【答案】D【分析】根据旋转的性质，可知 取点为线段 的中点，并连接根据等腰三角形三线合一的性质、正方形的性质及直角三角形的性质，可证得 ，从而证得 ， 再利用勾股定理即可求解【详解】解：如图，取点为线段 的中点，并连接依题意得， ， ，在正方形中，又 ，在和中， ， ， ， ，在中，故选：D【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理的运用等知识，解题的关键是辅助线的添加2（2022四川南充模拟预测）如图，在中，直角的顶点是的中点，将绕顶点旋转，两边，分别交，于点，下列四个结论：；是等腰直角三角形；
4、在旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（）ABCD【答案】D【分析】根据等腰直角三角形的性质得：，平分可证，即证得与全等，根据全等三角形性质判断结论是否正确【详解】解：，直角的顶点P是的中点，在与中，故正确；是等腰直角三角形，故正确；是等腰直角三角形，P是的中点，不一定是的中位线，不一定成立，故错误；，又，即，故正确故选：D【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键3（2022秋全国九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，DE平分交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）点P为DE上一动点，将绕点P逆时针旋转90后，
5、角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：；，其中一定正确的是（）ABCD【答案】D【分析】根据旋转的性质判断得，可判断正确，证可判断正确，从而得出结果.【详解】解：根据旋转的性质可知，DE平分，PH=PD，在和中，故正确；，即，故正确；根据已知条件无法证明DH=DE，DP=DG.故选：D【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键二、填空题4（2022广西贺州统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为_【答案】【分析】过B作于，过作轴于，构建，即可得出答案【详解】过B
6、作于，过作轴于，由旋转可知，故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质以及如何构造全等三角形求得线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键5（2022江苏无锡模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，的直角顶点在边的中点处，其中，绕点自由旋转，且，分别交，于点，当，时，的长为_【答案】【分析】连接AO，证明，得，在利用勾股定理求出的长即可【详解】如图，连接AO，由题意可知是等腰直角三角形，是边的中点，在中，由勾股定理得：，故答案为：【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，和勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键6（2022广东广州统考中考真题）如图，在矩形ABCD中
7、，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60得到线段BP，连接PP ，CP当点P 落在边BC上时，PPC的度数为_； 当线段CP 的长度最小时，PPC的度数为_【答案】 120#120度 75#75度【分析】由旋转性质及旋转角知BPP为等边三角形，得到PPB=60；当点P 落在边BC上时，PPC=180-PPB=120；将线段BA绕点B逆时针旋转60后点A落在点E，连接BE，得到ABPEBP(SAS)，再证明ABP为等腰直角三角形，进而得到EPB=APB=45，最后当CPEF于H时，CP有最小值，由此可以求出PPC=EPC-EPP=90-15=75【详解】解：由线段B
8、P绕点B顺时针旋转60得到线段BP可知，BPP为等边三角形，PPB=60，当点P 落在边BC上时，PPC=180-PPB=180-60=120；将线段BA绕点B逆时针旋转60，点A落在点E，连接BE，设EP交BC于G点，如下图所示：则ABP=ABE-PBE=60-PBE，EBP=PBP-PBE=60-PBE，ABP=EBP，且BA=BE，BP=BP，ABPEBP(SAS),AP=EP，E=A=90，由点P 落在边BC上时，PPC=120可知，EGC=120，CGP=EGB=180-120=60，EBG与PCG均为30、60、90直角三角形，设EG=x，BC=2y，则BG=2EG=2x，CG=B
9、C-BG=2y-2x，GP=CG=y-x，EP=EG+GP=x+(y-x)=y=BC，又已知AB=BC，EP=AB，又由ABPEBP知：AP=EP，AB=AP，ABP为等腰直角三角形，EPB=APB=45，EPP=60-EPB=60-45=15，当CPEF于H时，CP有最小值，此时PPC=EPC-EPP=90-15=75，故答案为：120，75【点睛】本题考察了三角形全等的判定方法、矩形的性质、旋转的性质及等腰三角形的性质，属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质是解题的关键三、解答题7（2022山东日照校考二模）在中，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得
10、到线段，连接，(1)如图1，当时，求证：；求的度数；(2)如图2，当时，请直接写出和的数量关系(3)当时，若，请直接写出点到的距离为 【答案】(1)见解析；(2)；(3)或【分析】（1）证明可得结论利用全等三角形的性质解决问题即可（2）证明，可得解决问题（3）分两种情形，解直角三角形求出即可解决问题【详解】（1）证明：如图1中，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，是等边三角形，解：如图1中，设交于点，即（2）解：结论：理由：如图2中，（3）过点作于，过点作交的延长线于如图中，当是钝角三角形时，在中，由（2）可知，如图中，当是锐角三角形时，同法可得，综上所述，满足条件的的值为或故答案为或【
11、点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题注意一题多解8（2022河北保定校考一模）如图1，等腰直角三角形ABC中，A90，ABAC10cm，D为AB边上一点，tanACD，点P由C点出发，以2cm/s的速度向终点B运动，连接PD，将PD绕点D逆时针旋转90，得到线段DQ，连接PQ(1)填空：BC ，BD ；(2)点P运动几秒，DQ最短；(3)如图2，当Q点运动到直线AB下方时，连接BQ，若SBDQ8，求tanBDQ；(4)在点P运动过程中，若BPQ15
12、，请直接写出BP的长【答案】(1)20cm，8cm(2)4秒(3)(4)8+8或8+【分析】（1）利用勾股定理求出BC，利用三角函数求出AD，即可得到BD；（2）当PDBC时，PD最短，即DQ最短，利用面积求出PD，即可得到运动时间；（3）分别过点Q、P作AB的垂线，垂足分别为点G，H，证明DGQPHD，推出QG = DH，DG = PH，利用面积求出DH=QG=，求出DG即可求出结果；（4）过点D作DMBC于点M，则MD=MB=BD=8，分两种情况，当点Q在BC左侧时，得BPD =，求出PM 即可；当点Q在BC右侧时，得到BPD =，求出PM即可（1）解：等腰直角三角形ABC中，A90，AB
13、AC10cm，BC=AB=20cm，tanACD，解得AD=2cm，BD=AB-AD=8cm，故答案为：20cm，8cm；（2）如图，当PDBC时，PD最短，即DQ最短，得PD=8，点P运动82=4秒，点P运动4秒时DQ最短；（3）分别过点Q、P作AB的垂线，垂足分别为点G，H，则BH= PH，QGD=PHD =，QDG+ DQG =，QDG+PDH=，DQG=PDH，又PD= QD，DGQPHD，QG = DH，DG = PH，BD=8，DH=QG=，DG= PH= BH= BD -DH=7，；（4）过点D作DMBC于点M，则MD=MB=BD=8，分两种情况，当点Q在BC左侧时，如图（1），
14、由题意知QPD =，又 BPQ=，BPD =，PM =MD=8， BP= BM + PM=8+8；当点Q在BC右侧时，如图（2），QPD =， BPQ=，BPD =，PM =MD=， BP= BM + PM=8+；故BP的长度为8+8或8+【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，垂线段最短的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质及掌握锐角三角函数是解题的关键9（2022秋九年级单元测试）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD2CE），直线BG与DE交于点H(1)如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系；(2)将正方形CEF
15、G绕点C旋转一周如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：；当DEC45时，若AB3，CE1，请直接写出线段DH的长【答案】(1)BGDE，BGDE(2)见解析；或【分析】（1）证明BCGDCE可得结论；（2）在线段BG上截取BKDH，连接CK证明BCKDCH(SAS)，推出CKCH，BCKDCH，推出KCH是等腰直角三角形，即可解决问题；分两种情形：当D，G，E三点共线时DEC45，连接BD；和当D，H，E三点共线时DEC45，连接BD，分别根据正方形的性质结合勾股定理求解即可解决问题（1）解：BGDE，BGDE，理由如下：四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，BCCD，BCGDCE90，C
16、GCE，BCGDCE(SAS)，BGDE，CBGCDECDE+DEC90，HBE+BEH90，BHD90，即综上可知BG和DE的关系为BGDE且故答案为：BGDE且；（2）证明：如图，在线段BG上截取BKDH，连接CK四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，BCCD，BCDGCE90，CGCE，BCGDCE，BCGDCE(SAS)，CBKCDH，BKDH，BCDC，BCKDCH(SAS)，CKCH，BCKDCH，BCK+KCDDCH+KCD，即KCHBCD90，KCH是等腰直角三角形，；如图，当D，G，E三点共线时DEC45，连接BD由（1）同样的方法可知，BHDE，四边形CEFG为正方形C
17、ECH1，AB3，设DHx，则，在RtBDH中，即，解得：（舍）故此时；如图，当H，E重合时，DEC45，连接BD设DHx，BGDH，在RtBDH中，即解得：（舍）故此时；综上所述，满足条件的DH的值为或【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键10（2022全国九年级专题练习）如图，在与中，点D在上(1)如图1，若点F在的延长线上，连接，探究线段、之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若点D与点A重合，且，将绕点D旋转，连接，点G为的中点，连
18、接，在旋转的过程中，求的最小值；(3)如图3，若点D为的中点，连接、交于点M，交于点N，且，请直接写出的值【答案】(1)，证明见解析(2)的最小值是(3)【分析】（1）过F作于H，过E作于G，结合K字型全等，等腰直角三角形，四点共圆即可得到答案；（2）第二问考察隐圆问题与阿氏圆，取的中点O，连接，在上取，连接，构建相似，转化线段即可得到答案；（3）过点C作平行线，点F作平行线交于点G；过点G作于点H，过点K作，证明，设，则，结合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知识进行计算【详解】（1）解：（1）线段、之间的数量关系：，证明如下：过F作于H，过E作于G，如图：，又，点F、D、A、E四点共圆，
19、和为等腰直角三角形， ，；（2）取的中点O，连接，在上取，连接，如图：G为的中点，O为中点，是的中位线， ， ，而，又，要使的最小，需最小，当H、G、C三点共线时，的最小，的最小值是，如图：， ，的最小值是（3）过点C作平行线，点F作平行线交于点G；过点G作于点H，过点K作，如图：，即，又，由，设，则，；， ，四边形为平行四边形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，； 中， ， 设， 中， ， ， ， ， 【点睛】本题考查等腰直角三角形中的旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，中间穿插了不同的模型，对模型的运用与转化能力要求很高，难度较大，
20、属于压轴题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形或相似三角形11（2022内蒙古通辽模拟预测）综合实践问题情境在图所示的直角三角形纸片中，是斜边的中点数学老师让同学们将绕中点做图形的旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系解决问题（1）“实践小组”的同学们将以点为中心按逆时针旋转，当点的对应点与重合时，与它的对应边交于点他们发现：请你帮助他们写出证明过程数学思考（2）在图的基础上，“实践小组”的同学们继续将以点为中心进行逆时针旋转，当的对应边时，设与交于点，与交于点他们认为他们的认识是否正确？请说明理由再探发现（3）解决完上面两个问题后，“实践小组”的同学们在图中连接，他们认为，与也具有一定的数
21、量关系请你写出这个数量关系_（不要求证明）【答案】（1）见解析；（2）正确，理由见解析；（3）【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质可得，根据等边对等角、旋转的性质可得，又，根据等腰三角形三线合一可证；（2）过点O作，垂足分别为N，M，利用“角边角”证明，推出，再利用“角角边”证明，推出，进而证明四边形正方形，通过等量代换可得，再利用相似三角形的性质得出，即可证明；（3）利用正方形的性质可得，再结合（2）的结论可得【详解】解：（1）证明如下：是斜边的中点，由旋转的性质可得，是的中点，又，；（2）他们的认识正确，理由如下：，如图，过点O作，垂足分别为N，M，由旋转的性质可得，四边形矩形，在和
22、中，四边形正方形，；（3）如图，连接由（2）知四边形正方形，即，故答案为：【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形【考向二 全等三角形一线三等角模型】例题：（2023全国九年级专题练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型应用：(1)如图2，中，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E求证：(2)如图3，在中，D是上一点，求点C到边的距离(
23、3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点若，求 的值【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明；（2）过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案；（3）过点D作交的延长线于点M，证明，由相似三角形的性质可得出答案【详解】（1）证明：，在和中，；（2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，在和中，即点C到的距离为；（3）过点D作交的延长线于点M，四边形是平行四边形，【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是
24、解题的关键【变式训练】一、选择题1（2022秋八年级课时练习）如图，在ABC中，ABAC9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若ADEB，CD3BD，则CE等于（）A3B2CD【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质得到BC，推出BADCDE，根据线段垂直平分线的性质得到ADED，根据全等三角形的性质得到CDAB9，BDCE，即可得到结论【详解】解：ABAC9，BC，ADEB，BAD180BADB，CDE180ADEADB，BADCDE，AE的中垂线交BC于点D，ADED，在ABD与DCE中，ABDDCE（AAS），CDAB9，BDCE，CD3BD，CEBD3故选：A【点睛】本题考查了等
25、腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题二、解答题2（2022秋广东惠州八年级校考期中）如图1，垂足分别为D，E(1)若，求的长(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由【答案】(1)0.8cm(2)，证明见解析(3)结论成立，证明见解析【分析】（1）（2）（3）方法相同，利用定理证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答【详解】（1）解：，在
26、和中，；（2）证明：，在和中，；（3）结论成立，证明：，在和中，；即结论成立；【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键3（2022秋云南昭通八年级校考期末）在中，直线经过点C，且于D，于E(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：；(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明【答案】(1)见解析；见解析(2)见解析(3)，证明见解析【分析】（1）由垂直关系可得，则由即可证明；由的性质及线段和的关系即可证得结论；（2
27、）由垂直可得，则由可证明，由全等三角形的性质及线段差的关系即可证得结论；（3）由垂直可得，则由可证得，由全等三角形的性质及线段的和差关系即可得到三线段间的关系【详解】（1）解：如图，又，（2），又，（3）当旋转到图3的位置时，所满足的等量关系是（或等），又，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，互余的性质等知识，证明两个三角形全等是问题的关键4（2022秋全国八年级专题练习）已知，在中，三点都在直线m上，且(1)如图，若，则与的数量关系为 _，与的数量关系为 _；(2)如图，判断并说明线段，与的数量关系；(3)如图，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度
28、由点E向点F运动，它们运动的时间为是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明得；（2）由（1）同理可得，得，可得答案；（3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题【详解】（1）解：，故答案为：；（2），由（1）同理可得，；（3）存在，当时，此时；当时，综上：或【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想5（2022秋八年级课时练习）【问题解决】（1）已知ABC中，AB=AC，D，A，E
29、三点都在直线l上，且有BDA=AEC=BAC如图，当BAC=90时，线段DE，BD，CE的数量关系为：_；【类比探究】（2）如图，在（1）的条件下，当0BAC180时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（3）如图，AC=BC，ACB=90，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标【答案】（1）DEBD+CE；（2）DEBD+CE的数量关系不变，理由见解析；（3）（4，3）【分析】（1）证明ABDCAE，根据全等三角形的性质得到ADCE，BDAE，结合图形证明结论；（2）根据三角形的外角性质得到ABDCAE，证
30、明ABDCAE，根据全等三角形的性质解答；（3）过点A作AMx轴于点M，过点B作BNx轴于点N，根据（1）的结论得到ACMBCN，根据全等三角形的性质解答即可【详解】解：（1）BAC90，BDAAECBAC90，ABD+BAD90，CAE+BAD90，ABDCAE，在ABD和CAE中，ABDCAE（AAS），ADCE，BDAE，DEAD+AEBD+CE，故答案为：DEBD+CE；（2）DEBD+CE的数量关系不变，理由如下：BAE是ABD的一个外角，BAEADB+ABD，BDABAC，ABDCAE，在ABD和CAE中，ABDCAE（AAS），ADCE，BDAE，DEAD+AEBD+CE；（3）过点A作AMx轴于点M，过点B作BNx轴于点N，点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，2），OC2，ON1，BN2，CN3，由（1）可知，ACMCBN，AMCN3，CMBN2，OMOC+CM4，点A的坐标为（4，3）【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键
