1、专题07 一元二次方程及其应用（12个高频考点）（举一反三） 【考点1 一元二次方程的定义】1【考点2 一元二次方程的一般形式】2【考点3 一元二次方程的解】2【考点4 配方法解一元二次方程】3【考点5 公式法解一元二次方程】4【考点6 因式分解法解一元二次方程】4【考点7 换元法解一元二次方程】5【考点8 根的判别式】6【考点9 根与系数的关系】7【考点10 配方法的应用】7【考点11 根据实际问题抽象出一元二次方程】8【考点12 一元二次方程的应用】9【要点1 一元二次方程的定义】等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。【考点1 一元二次方程的
2、定义】【例1】（2022山西盂县第二中学校一模）下列方程中，不是一元二次方程的是（）Ax21=0Bx2 +1x+3=0Cx2 + 2x +1=0D3x2 +2x +1=0【变式1-1】（2022江苏徐州东湖实验学校二模）方程(m+1)xm1mx+2=0是关于x的一元二次方程，则（）Am1或3Bm3Cm1Dm1【变式1-2】（2022广东汕头二模）请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为101的整数部分，另一个实数根为4，则这个一元二次方程可以是_（任意写一个符合条件的即可）【变式1-3】（2022四川宜宾中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+2x
3、1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）Aa0Ba1且a0Ca1且a0Da1【要点2 一元二次方程的一般形式】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a0)。其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。【考点2 一元二次方程的一般形式】【例2】（2022广东深圳中考真题）一元二次方程x22(3x2)+(x+1)=0的一般形式是( )Ax25x+5=0Bx2+5x5=0Cx2+5x+5=0Dx2+5=0【变式2-1】（2022江苏徐州东湖实验学校二模）一元二次方程2y27=3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A2，3，7B2，7，3C2，
4、7，3D2，3，7【变式2-2】（2022湖北黄冈一模）方程4x2+x=5化为一般形式后，a,b,c的值分别是（）Aa=4,b=1,c=5Ba=1,b=4,c=5Ca=4,b=1,c=5Da=4,b=5,c=1【变式2-3】（2022黑龙江牡丹江模拟预测）关于x的一元二次方程m3x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（）A0B3C3D3【考点3 一元二次方程的解】【例3】（2022青海中考真题）已知关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1，则实数m的值为（）A4B4C3D3【变式3-1】（2022四川遂宁中考真题）已知m为方程x2+3x2022=0的根，那么m3+2m
5、22025m+2022的值为（）A2022B0C2022D4044【变式3-2】（2022河北中考真题）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0a0时，只抄对了a1，b4，解出其中一个根是x1他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2则原方程的根的情况是（）A不存在实数根B有两个不相等的实数根C有一个根是x1D有两个相等的实数根【变式3-3】（2022江苏南通二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx2=0的一个根是x=2022，则一元二次方程a2x+22+bx+2b=1必有一根为（）A2020B2021C2022D2023【要点3 配方法解一元二次方程】将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，
6、再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为ax2+bx+c=0(a0)的形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解【考点4 配方法解一元二次方程】【例4】（2022山东聊城中考真题）用配方法解一元二次方程3x2+6x1=0时，将它化为x+a2=b的形式，则a+b的值为（）A103B73C2D43【变式4-1】（2022四川雅安中考
7、真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c0配方后得到方程（x+3）22c，则c的值为（）A3B0C3D9【变式4-2】（2022河北保定三模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成任务2x23x5=0解：x232x=52第一步x232x+342=52+342第二步x342=4916第三步x34=74第四步x1=52，x2=1第五步(1)任务一：小颖解方程的方法是_；第二步变形的依据是_；(2)任务二：请你用“公式法”解该方程【变式4-3】（2022浙江绍兴一模）将一元二次方程 ax2+bx+c=0，化为 （ x - m）2 =b24ac4a2，则 m为_【要点4 公式法解一元二
8、次方程】当b24ac0时，方程ax2+bx+c=0(a0)通过配方，其实数根可写为x=bb24ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【考点5 公式法解一元二次方程】【例5】（2022四川成都中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x26x+4=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_【变式5-1】（2022北京东城一模）已知关于x的一元二次方程x22x+k2=0有两个不相等的实数根(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两
9、个根【变式5-2】（2022全国九年级课时练习）设m为整数，且3m0，求1m4+n2的值【要点6 一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：=b24ac当=b24ac0时，原方程有两个不等的实数根；当=b24ac=0时，原方程有两个相等的实数根；当=b24ac14Bk14且k0Dk14且k0【要点7 一元二次方程的根与系数的关系】如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根是x1,x2，那么x1+x2=ba, x1x2=ca注意它的使用条件为a0， 0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项
10、除以二次项系数所得的商.【考点9 根与系数的关系】【例9】（2022湖北鄂州中考真题）若实数a、b分别满足a24a+30，b24b+30，且ab，则1a+1b的值为 _【变式9-1】（2022四川宜宾中考真题）已知m、n是一元二次方程x2+2x5=0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A0B10C3D10【变式9-2】（2022贵州黔东南中考真题）已知关于x的一元二次方程x22xa=0的两根分别记为x1，x2，若x1=1，则ax12x22的值为（）A7B7C6D6【变式9-3】（2022湖北武汉中考真题）若关于x的一元二次方程x22mx+m24m1=0有两个实数根x1，x2，且x1+2x2+
11、22x1x2=17，则m=（）A2或6B2或8C2D6【考点10 配方法的应用】【例10】（2022四川凉山中考真题）已知实数a、b满足ab24，则代数式a23b2a14的最小值是_【变式10-1】（2022河北保定一模）已知：A、B是两个整式，A3a2a+1，B2a2+a2尝试当a0时，A_，B_当a2时，A_，B_猜测 嘉淇猜测：无论a为何值，AB始终成立验证 请证明嘉淇猜测的结论【变式10-2】（2022山东滨州三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(xm)2+k0与a2(xm)2+k0称为“同族二次方程”如2(x3)2+40与3(x3)2+40是“同族二次方程”现有关于x的一元二次方程
12、2(x1)2+10与(a+2)x2+(b4)x+80是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（）A2020B2021C2023D2018【变式10-3】（2022云南昆明一模）我们可以用以下方法求代数式x2+6x+5的最小值x2+6x+5=x2+2x3+3232+5=x+324x+320x+3244当x=3时，x2+6x+5有最小值4请根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式x24x+2的最小值；(2)求代数式x2+6x+9的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式2x2+10y26xy6x2y+11的值都是正数【考
13、点11 根据实际问题抽象出一元二次方程】【例11】（2022宁夏中考真题）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（）A6.2(1+x)2=8.9B8.9(1+x)2=6.2C6.2(1+x2)=8.9D6.2(1+x)+6.2(1+x)2=8.9【变式11-1】（2022山东泰安中考真题）我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文如果每株
14、椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A3x1x=6210B3x1=6210C3x1x=6210D3x=6210【变式11-2】（2022青海中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为_【变式11-3】（2022山东济宁一模）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定
15、价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（）A(x20)50x18010=10890Bx50x180105020=10890C(180+x20)50x10=10890D(x+180)50x105020=10890【考点12 一元二次方程的应用】【例12】（2022湖北荆门中考真题）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40x80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y110x+9同时销售过程中的其它开支为50万元(1)求出商场销售这种
16、商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？(2)若净利润预期不低于175万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？【变式12-1】（2022黑龙江中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A8B10C7D9【变式12-2】（2022辽宁丹东中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售
17、数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）354045每天销售数量y（件）908070(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【变式12-3】（2022重庆巴蜀中学二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多23，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了150+2m小时，求m的值
