1、专题07 二次函数与幂函数【考点总结】1幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数常见的五类幂函数为yx，yx2，yx3，yx，yx1.(2)五种幂函数的图象(3)性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)f(x)ax2bxc(a0时，yx在0，)上为增函数；来源:Zxxk.Com当0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是【易错总结】(1)二次函数图象特征把握不准；(2)二次函数的单调性规律掌握不到位；(3)忽视幂函数的定义域；(4)幂函数的图象掌握不到位例
2、1如图，若a0，则函数yax2bx的大致图象是_(填序号)解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故不正确又a0，所以二次函数图象的对称为x0，故正确答案：例2若函数ymx2x2在3，)上是减函数，则m的取值范围是_解析：因为函数ymx2x2在3，)上是减函数，所以，即m.答案：例3已知幂函数f(x)x，若f(a1)f(102a)，则a的取值范围为_解析：由题意知解得3a5.答案：(3，5)例4当x(0，1)时，函数yxm的图象在直线yx的上方，则m的取值范围是_答案：(，1)【考点解析】【考点】一、幂函数的图象及性质例1幂函数yf(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是()A偶函数，且
3、在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是增函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是减函数解析：选C.设幂函数f(x)x，代入点(3，)，得3，解得，所以f(x)x，可知函数为奇函数，在(0，)上单调递增例2幂函数f(x)xa210a23(aZ)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，则a等于()A3B4C5 D6解析：选C.因为a210a23(a5)22，f(x)x(a5)22(aZ)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，所以(a5)220，从而a4，5，6，又(a5)22为偶数，所以只能是a5，故选C.例3若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aa
4、bc BcabCbca Dbab，因为y是减函数，所以ac，所以bac.例4若幂函数yx1，yxm与yxn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A1m0n1B1n0mC1m0nD1n0m0时，yx在(0，)上为增函数，且01时，图象上凸，所以0m1；当0时，yx在(0，)上为减函数，不妨令x2，根据图象可得212n，所以1n0，若在(0，)上单调递减，则0，则二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()【解析】A项，因为a0，0，所以b0，所以c0，而f(0)c0，故A错B项，因为a0，所以b0.又因为abc0，所以c0，故B错C项，因为a0，0.又因为abc0，所以c0，而f(
5、0)c0，0，所以b0，所以c0，而f(0)c0，故选D.【答案】D角度二二次函数的单调性例2、函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是单调递减的，则实数a的取值范围是_【解析】当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足条件当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上单调递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3，0【答案】3，0【迁移探究】(变条件)若函数f(x)ax2(a3)x1的单调递减区间是1，)，求a为何值？解：因为函数f(x)ax2(a3)x1的单调递减区间为1，)，所以解得a3.角度三二次函数的最值问题例3、设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(
6、x)的最小值【解】f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值f(t)t22t2.来源:Z|xx|k.Com综上可知，f(x)min角度四二次函数中的恒成立问题例4、已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1，1上恒小于零，则实数a的取值范围为_【解析】2ax22x30在1，1上恒成立当x0时，30，成立；当x0时，a，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a.综上，实数a的取值范围是.【答案】解决二次函数图象与性质问题时应注意的三点(1)抛物线的开口方向，对称
7、轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域【变式】1(2020河南省实验中学模拟)已知函数f(x)3x22(m3)xm3的值域为0，)，则实数m的取值范围为()A0，3B3，0C(，30，) D0，3解析：选A.函数f(x)3x22(m3)xm3的值域为0，)，所以2(m3)243(m3)0，所以m3或m0，所以实数m的取值范围为0，3，故选A.2已知函数f(x)x22ax3，x4，6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4，6上是单调函数解：(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4，6，所以f(x)在4，2上单调递减，在(2，6上单调递增，所以f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4，6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4，故a的取值范围是(，64，)
