1、1名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学第七节 抛物线时间：45 分钟 分值：100 分基础必做一、选择题1抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2y231 的渐近线的距离是()A.12B.32C1 D.3解析 抛物线 y24x 的焦点 F(1,0)，双曲线 x2y231 的渐近线是 y 3x，即 3xy0.所求距离为|30|3212 32.选 B.答案 B2(2014辽宁卷)已知点 A(2,3)在抛物线 C：y22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为()A43B1C34D12解析 由已知，得准线方程为 x2，F 的坐标为(2,0)又 A(2,3)，直线 AF
2、 的斜率为 k 302234.故选 C.答案 C2名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学3已知圆 x2y26x70 与抛物线 y22px(p0)的准线相切，则 p 的值为()A1 B2C.12D4解析 圆的标准方程为(x3)2y216，圆心为(3,0)，半径为 4.圆心到准线的距离为 3p2 4，解得 p2.答案 B4(2014新课标全国卷)已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|54x0，则 x0()A1 B2C4 D8解析 由抛物线方程 y2x 知，2p1，p214，即其准线方程为 x14.因为点 A 在抛物线上，由抛物线的定义知|AF|x
3、0p2x014，于是54x0 x014，解得 x01.答案 A5(2014新课标全国卷)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点若FP4FQ，则|QF|()A.72B3C.52D23名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学解析 如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离 p|FM|4.过 Q 作 QHl 于 H，则|QH|QF|.由题意，得PHQPMF，则有|HQ|MF|PQ|PF|34，|HQ|3.|QF|3.答案 B6已知抛物线 y22px(p0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
4、则y1y2x1x2的值一定等于()A4 B4Cp2Dp2解析 若焦点弦 ABx 轴，则 x1x2p2，则 x1x2p24；若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴，可设 AB：ykxp2，联立 y22px 得 k2x2(k2p2p)xp2k24 0，则 x1x2p24.则 y1y2p2.故y1y2x1x24.答案 A4名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学二、填空题7若点 P 到直线 y1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2，则点P 的轨迹方程是_解析 由题意可知点 P 到直线 y3 的距离等于它到点(0,3)的距离，故点 P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以 y3 为准线的抛物线，且
5、p6，所以其标准方程为 x212y.答案 x212y8已知抛物线 y24x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离|MF|4，则点 M 的横坐标 x0_.解析 抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，准线为 x1.根据抛物线的定义，点 M 到准线的距离为 4，则 M 的横坐标为 3.答案 39抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，其准线与双曲线x23y231相交于 A，B 两点，若ABF 为等边三角形，则 p_.解析 如图，在等边三角形 ABF 中，DFp，BD 33 p，B 点坐标为33 p，p2.又点 B 在双曲线上，故13p23 p243 1.解得 p6.答案 65名师一号高考总复
6、习 模块新课标 新课标 A 版数学三、解答题10抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，它与圆 x2y29 相交，公共弦 MN 的长为 2 5，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程解 由题意，抛物线方程为 x22ay(a0)设公共弦 MN 交 y 轴于 A，则 MAAN，而 AN 5.ON3，OA32 522，N(5，2)N 点在抛物线上，52a(2)，即 2a52，故抛物线的方程为 x252y 或 x252y.抛物线 x252y 的焦点坐标为0，58，准线方程为 y58.11已知抛物线 y24x 截直线 y2xm 所得弦长 AB3 5，(1)求 m 的值；(2)设 P 是 x 轴上的
7、一点，且ABP 的面积为 9，求 P 的坐标6名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学解(1)由y24xy2xm 4x24(m1)xm20，由根与系数的关系得 x1x21m，x1x2m24，|AB|1k2 x1x224x1x2 1221m24m24 512m.由|AB|3 5，即 512m3 5m4.(2)设 P(a,0)，P 到直线 AB 的距离为 d，则 d|2a04|22122|a2|5，又 SABP12|AB|d，则 d2SABP|AB|，2|a2|5293 5|a2|3a5 或 a1，故点 P 的坐标为(5,0)或(1,0)培优演练1已知抛物线 C1：y 12px2(p0)
8、的焦点与双曲线 C2：x23y21的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M，若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p()A.316B.38C.2 33D.4 33解析 由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为0，p2，双曲线7名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为 yp4(x2)设M(x0，y0)，则有 y1px0 33 x0 33 p.因为 y0 12px20，所以 y0p6.又 M 点在抛物线的切线上，即有p6p433 p2 p4 33，故选 D.答案 D2如图，抛物线 C1：y22px 和圆 C2：(xp2
9、)2y2p24，其中p0，直线 l 经过 C1 的焦点，依次交 C1，C2 于 A，B，C，D 四点，则ABCD 的值为()Ap2B.p24C.p22D.p23解析 设抛物线的焦点为 F，A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|AF|BF|x1p2p2x1，同理|CD|x2.又ABCD|AB|CD|x1x2p24.8名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学答案 B3已知过点 P(4,0)的直线与抛物线 y24x 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 y21y22的最小值是_解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为 x4，代入 y24x，得交点为(4,4)，(4，4)
10、，y21y22161632；当直线的斜率存在时，设直线方程为 yk(x4)，与 y24x 联立，消去 x 得 ky24y16k0，由题意，知 k0，则 y1y24k，y1y216.y21y22(y1y2)22y1y216k23232.综上知，(y21y22)min32.答案 324(2014陕西卷)如图，曲线 C 由上半椭圆 C1：y2a2x2b21(ab0，y0)和部分抛物线 C2：yx21(y0)连接而成，C1 与 C2 的公共点为 A，B，其中 C1 的离心率为 32.(1)求 a，b 的值；(2)过点 B 的直线 l 与 C1，C2 分别交于点 P，Q(均异于点 A，B)，9名师一号高
11、考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学若 APAQ，求直线 l 的方程解(1)在 C1，C2 的方程中，令 y0，可得 b1，且 A(1,0)，B(1,0)是上半椭圆 C1 的左右顶点设 C1 的半焦距为 c，由ca 32 及 a2c2b21 得 a2.a2，b1.(2)由(1)知，上半椭圆 C1 的方程为y24x21(y0)易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 yk(x1)(k0)，代入 C1 的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点 P 的坐标为(xP，yP)，直线 l 过点 B，x1 是方程(*)的一个根，由求根公式，得 xPk24k24，从而 yP 8kk24，点 P 的坐标为k24k24，8kk24.同理，由ykx1k0，yx21y0得 Q 点的坐标为(k1，k22k)AP 2kk24(k，4)，AQ k(1，k2)APAQ，APAQ 0，即2k2k24k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得 k83.10名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学经检验，k83符合题意，故直线 l 的方程为 y83(x1)，即 8x3y80.