1、专题6：直角三角形性质的应用【典例引领】例：如图，在RtABC中，AC=BC，ACB=90，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE（1）如图1，求证：CAE=CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AECF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=22，CE=1，求CGF的面积【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）SCFG=78【解析】（1）直接判断出ACEBCD即可得出结论；（2）先判断出BCF=CBF，进而得出BCF=CAE，即可得出结论；（3）先求出BD=3，进而求出CF=32，同理：EG=32，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结
2、论【解答】（1）在ACE和BCD中，ACBCACBACB90CECD，ACEBCD，CAE=CBD；（2）如图2，在RtBCD中，点F是BD的中点，CF=BF，BCF=CBF，由（1）知，CAE=CBD，BCF=CAE，CAE+ACF=BCF+ACF=BAC=90，AMC=90，AECF；（3）如图3，AC=22，BC=AC=22，CE=1，CD=CE=1，在RtBCD中，根据勾股定理得，BD=CD2+BC2=3，点F是BD中点，CF=DF=12BD=32，同理：EG=12AE=32，连接EF，过点F作FHBC，ACB=90，点F是BD的中点，FH=12CD=12，SCEF=12CEFH=12
3、112=14，由（2）知，AECF，SCEF=12CFME=1232ME=34ME，34ME=14，ME=13，GM=EG-ME=32-13=76，SCFG=12CFGM=123276=78【强化训练】1在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE（感知）如图，过点A作AFBE交BC于点F易证ABFBCE（不需要证明）（探究）如图，取BE的中点M，过点M作FGBE交BC于点F，交AD于点G（1）求证：BE=FG（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为 （应用）如图，取BE的中点M，连结CM过点C作CGBE交AD于点G，连结EG、MG若CM=3，则四边形GMCE的面积为
4、 【答案】（1）证明见解析；（2）2，9.【解析】【分析】感知：利用同角的余角相等判断出BAF=CBE，即可得出结论；探究：（1）判断出PG=BC，同感知的方法判断出PGFCBE，即可得出结论；（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论【解答】感知：四边形ABCD是正方形，AB=BC，BCE=ABC=90，ABE+CBE=90，AFBE，ABE+BAF=90，BAF=CBE，在ABF和BCE中，BAF=CBEAB=BCABC=BCE=90，ABFBCE（ASA）；探究：（1）如图，过点G作GPBC于P，四边形ABCD是正方
5、形，AB=BC，A=ABC=90，四边形ABPG是矩形，PG=AB，PG=BC，同感知的方法得，PGF=CBE，在PGF和CBE中，PQF=CBEPQ=BCPFG=ECB=90，PGFCBE（ASA），BE=FG；（2）由（1）知，FG=BE，连接CM，BCE=90，点M是BE的中点，BE=2CM=2，FG=2，故答案为：2应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，ME=3，同探究（1）得，CG=BE=6，BECG，S四边形CEGM=12CGME=1263=9，故答案为：92综合与实践：如图1，将一个等腰直角三角尺ABC的顶点C放置在直线l上，ABC=90，AB=BC，过点A作ADl于点
6、D，过点B作BEl于点E观察发现：（1）如图1当A，B两点均在直线l的上方时，猜测线段AD，CE与BE的数量关系，并说明理由；直接写出线段DC，AD与BE的数量关系；操作证明：（2）将等腰直角三角尺ABC绕着点C逆时针旋转至图2位置时，线段DC，AD与BE又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；拓广探索：（3）将等腰直角三用尺ABC绕着点C继续旋转至图3位置时，AD与BC交于点H，若CD=3，AD=9，请直接写出DH的长度【答案】（1）AD+CE=BE 理由见解析；DC+AD=2BE；（2）CD-AD=2BE；证明见解析；（3）DH的长度为32【分析】（1）过点B作BFAD，根据已
7、知条件结合直角三角形性质证明CBEABF，从而得到四边形DEBF为正方形，最后得出AD+CE=BE，直接写出DC+AD=2BE（2）过点B作BGAD，先证明BCEBAG，证明四边形DEBG为正方形，根据正方形的性质求解（3）过点B作BFAD，证明BAFBCE，四边形DEBF为正方形，再求解.【解答】解：（1）AD+CE=BE 理由如下：如图，过点B作BFAD，交DA的延长线于点F，BEl，BFAD，BEC=F=90又ADlFDE=90四边形DEBF为矩形FBE=90又ABC=90，ABC-ABE=FBE-ABE即CBE=ABF在CBE和ABF中，CBE=ABF,CEB=AFB=90,CB=AB
8、,CBEABFAASCE=AF，BE=BF又四边形DEBF为矩形，四边形DEBF为正方形BE=DE=FD=FBAD+CE=AD+AF=FD=BEDC+AD=2BE（2）如图，过点B作BGAD，交AD延长线于点G，BEl，BGAD，BEC=G=90又ADl，GDE=90四边形DEBF为矩形GBE=90又ABC=90，ABC-ABE=GBE-ABE，即CBE=ABG在BCE和BAG中，CBE=ABG,CEG=AGB=90,CB=AB,BCEBAGAASCE=AG，BE=BG又四边形DEBG为矩形，四边形DEBG为正方形DE=BE=GB=DGCD=CE+DE，CD=AG+BE=AD+DG+BE=AD
9、+2BECD-AD=2BE （3）如图，过点B作BFAD，交DA于点F，同理可证，BAFBCE，四边形DEBF为正方形CE=AF，ED=BE=DFCD=CE-ED，CD=AF-BE=AD-DF-BE=AD-2BEAD-CD=2BECD=3，AD=9，BE=ED=3，CE=CD+ED=6DHEB，DHEB=CDCEDH3=36DH=323如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在ABC的外部作CED，使CED=90，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系 ；（2）将CED绕点C逆时
10、针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图的基础上，将CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图写出证明过程；若变化，请说明理由【答案】(1)AF=2AE；（2）AF=2AE，证明详见解析；（3）结论不变，AF=2AE，理由详见解析.【分析】（1）如图中，结论：AF=2AE，只要证明AEF是等腰直角三角形即可（2）如图中，结论：AF=2AE，连接EF，DF交BC于K，先证明EKFEDA再证明AEF是等腰直角三角形即可（3）如图中，结论不变，AF=2AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明EDFE
11、CA，再证明AEF是等腰直角三角形即可【解答】（1）如图中，结论：AF=2AE理由：四边形ABFD是平行四边形，AB=DF，AB=AC，AC=DF，DE=EC，AE=EF，DEC=AEF=90，AEF是等腰直角三角形， AF=2AE（2）如图中，结论：AF=2AE理由：连接EF，DF交BC于K四边形ABFD是平行四边形，ABDF，DKE=ABC=45，EKF=180DKE=135，ADE=180EDC=18045=135，EKF=ADE，DKC=C，DK=DC，DF=AB=AC，KF=AD， 在EKF和EDA中， EK=DKEKF=ADEKF=AD，EKFEDA， EF=EA，KEF=AED，
12、FEA=BED=90，AEF是等腰直角三角形，AF=2AE（3）如图中，结论不变，AF=2AE理由：连接EF，延长FD交AC于KEDF=180KDCEDC=135KDC，ACE=（90KDC）+DCE=135KDC，EDF=ACE，DF=AB，AB=AC，DF=AC在EDF和ECA中，DF=ACEDF=ACEDE=CE，EDFECA，EF=EA，FED=AEC，FEA=DEC=90，AEF是等腰直角三角形，4如图，ABC与CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写
13、出结论；（2）现将图中的CDE绕着点C顺时针旋转（090），得到图，AE与MP、BD分别交于点G、H请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图，写出PM与PN的数量关系，并加以证明【答案】（1）PM=PN，PMPN，理由见解析；（2）理由见解析；（3）PM=kPN；理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证ACEBCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PMPN；（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；（3）PM=kP
14、N，由已知条件可证明BCDACE，所以可得BD=kAE，因为点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，所以PM=BD，PN=AE，进而可证明PM=kPN【解答】（1）PM=PN，PMPN，理由如下：ACB和ECD是等腰直角三角形， AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90在ACE和BCD中， ACEBCD（SAS）， AE=BD，EAC=CBD，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点， PM=BD，PN=AE，PM=PM， NPD=EAC，MPN=BDC，EAC+BDC=90， MPA+NPC=90，MPN=90， 即PMPN；（2）ACB和ECD是等腰直角三角形， AC=B
15、C，EC=CD，ACB=ECD=90ACB+BCE=ECD+BCE ACE=BCD ACEBCD AE=BD，CAE=CBD 又AOC=BOE，CAE=CBD， BHO=ACO=90点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点， PM=BD，PMBD； PN=AE，PNAEPM=PN MGE+BHA=180 MGE=90 MPN=90 PMPN （3） PM=kPN ACB和ECD是直角三角形， ACB=ECD=90 ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCD BC=kAC，CD=kCE， =k BCDACE BD=kAE点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点， PM=BD，PN=AE PM=
16、kPN5如图，在ABC中，ABC=90，AB=BC，点E是直线BC上一点，连接AE，过点C作CFAE于点F，连接BF如图，当点E在BC上时，易证AFCF=2BF（不需证明），点E在CB的延长线上，如图：点E在BC的延长线上，如图，线段AF，CF，BF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明 【答案】证明AF=CF+2BF如图中，结论：CFAF=2BF理由见解析；如图中，结论：CF+AF=2BF理由见解析.【分析】如图中，作BHBF交AF于H只要证明BAHBCF，即可解决问题.如图中，结论：CFAF2BF作BHBF交AF于H只要证明BAHBCF，即可解決问題.如图中，结
17、论：CFAF2BF，只要证明BAHBCF，即可解決问题.【解答】证明：如图中，作BHBF交AF于HABC=FBH，FBC=ABH，EFC=EBA=90，CEF=AEB，ECF=EAB，在BAH和BCF中，BAHBCF，AH=CF，BH=BF，FBH=90，BFH是等腰直角三角形，FH=BF，FH=AFAH=AFCF，AFCF=BF，AF=CF+BF如图中，结论：CFAF=BF理由：作BHBF交AF于HABC=FBH，FBC=ABH，AFC=ABC=90，CEF+FCB=90，AEB+BAH=90ECF=EAB，在BAH和BCF中，BAHBCF，AH=CF，BH=BF，FBH=90，BFH是等腰直角三角形，FH=BF，FH=AHAF=CFAF，CFAF=BF如图中，结论：CF+AF=BF理由：作BHBF交AF于HABC=FBH，FBC=ABH，AFC=ABC=90，BCF+BAF=180，BAF+BAH=180BCF=BAH，在BAH和BCF中，BAHBCF，AH=CF，BH=BF，FBH=90，BFH是等腰直角三角形，FH=BF，FH=AH+AF=CF+AF，CF+AF=BF
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有