1、专题02基本初等函数(知识梳理) 第一节 指数与指数函数1有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)2指数函数的图象与性质yaxa10a0时，y1；x0时，0y0时，0y1；x1在区间(，)上是增函数在区间(，)上是减函数1在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数2指数函
2、数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1或0a1，b1Ba1,0b1C0a1 D0a1,0b1解析：选D由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1，又函数f(x)axb的图象是在yax的基础上向下平移b个单位长度得到的，所以0b0，且a1，若函数y|ax2|与y3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是_解析：当0a1时，作出函数y|ax2|的图象，如图a.若直线y3a与函数y|ax2|(0a1)的图象有两个交点，则由图象可知03a2，所以0a1时，作出函数y|ax2|的图象，如图b，若直线y3a与函数y|ax2|(a1)的图
3、象有两个交点，则由图象可知03a0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解即时应用1函数f(x)1e|x|的图象大致是()解析：选A将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有A满足上述两个性质2若函数y|3x1|在(，k上单调递减，求k的取值范围解：函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函
4、数图象如图所示由图象知，其在(，0上单调递减，所以k的取值范围是(，0锁定考向高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)简单指数方程或不等式的应用；(3)探究指数型函数的性质 通法在握应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略题型求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)
5、等性质的方法一致提醒在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论第二节 对数与对数函数1对数概念如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：axNxlogaNloga10，logaa1，alogaNN运算法则loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)换底公式换底公式：logab(a0，且a1，c0，且c1，b0)2.对数函数的图象与性质ylogaxa10a1时，y0；当0x1时，
6、y1时，y0；当0x0在区间(0，)上是增函数在区间(0，)上是减函数3反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称 1在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数)2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围 谨记通法对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用如“题组练
7、透”第1题易错典例引领(2018杭州模拟)设f(x)|ln(x1)|，已知f(a)f(b)(a0Bab1C2ab0 D2ab1解析：选A作出函数f(x)|ln(x1)|的图象如图所示，由f(a)f(b)，得ln(a1)ln(b1)，即abab0.所以0abab0，显然1a0，ab40.ab0.故选A.由题悟法应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解即时应用1函数f(x)ln|x1|的图象大致是()解析：
8、选B当x1时，f(x)ln(x1)，又f(x)的图象关于x1对称，故选B.2(2018温州适应性训练)若x1满足2x2x5，x2满足2x2log2(x1)5，则x1x2()A. B3C. D4 解析：选C2x52x,2log2(x1)52x，即2x1x，log2(x1)x，作出y2x1，yx，ylog2(x1)的图象(如图)由图知y2x1与ylog2(x1)的图象关于yx1对称，它们与yx的交点A，B的中点为yx与yx1的交点C，xC，x1x2，故选C. 通法在握1解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数
9、为同一字母，则需对底数进行分类讨论(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较第三节幂函数1五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1) 1对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，
10、要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点小题纠偏1已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是_答案：2给出下列命题：函数y2x是幂函数；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数；二次函数yax2bxc，xm，n的最值一定是.其中正确的是_(填序号)答案：题组练透1幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是()解析：选C令f(x)x，则42，f(x)x.2已知幂函数f(x)(m23m3)xm1为偶函数，则m()A1B2C1或2 D3解析：选A幂函
11、数f(x)(m23m3)xm1为偶函数，m23m31，即m23m20，解得m1或m2.当m1时，幂函数f(x)x2为偶函数，满足条件当m2时，幂函数f(x)x3为奇函数，不满足条件故选A.3若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_解析：易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a0，若在(0，)上单调递减，则0.典例引领已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解：法一：(利用二次函数的一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得故所求二次函数为f(x)4x24x7.法二：(利用二次函数的顶点式)设f(x)a(x
12、m)2n.f(2)f(1)，抛物线对称轴为x.m，又根据题意函数有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三：(利用两根式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)4x24x7.由题悟法求二次函数解析式的方法通法在握1二次函数最值问题的3种类型及解题思路(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴2由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键(1)思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否可分离这两个思路的依据是：af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.
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