专题06 四点共圆（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

1、 专题06 四点共圆（知识解读）【专题说明】四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查，重在考查学生对知识的应用能力考查的基本类型有：利用四点共圆证相似，利用四点共圆求最值，这些问题大都利用转化思想，将几何问题转化为四点共圆问题，使题目能简单求解.【方法技巧】1.四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”2四点共圆的性质(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等(2)圆内接四边形的对角互补(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角3四点共圆的判定(1)用“角”判定：一组对角互补的四边形的

2、四个顶点在同一个圆上；一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上(2)“等线段”判定：四顶点到同一点的距离相等，若OAOBOCOD，则A，B，C，D四点共圆(3)用“比例线段”判定：若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PAPCPBPD，则A，B，C，D四点共圆.模型解读：模型1：对角互补型：若A+C=180或B+D=180,则A、B、C、D四点共圆模型2：同侧等角型（1）若A=C,则A、B、C、D四点共圆（2）手拉手(双子型)中的四点共圆条件：OCDOAB结论：OACOBDAC与BD

3、交于点E,必有AEB=AOB；点E在OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.模型3：直径是圆中最长的弦1.定圆中最长的弦是直径；2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。 【典例分析】【模型1：对角互补型】【典例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG,连接BE,延长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点.【变式1】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。【模型2：同侧等角型】【典例2】在RtABC中,ACB=90,

4、将ABC绕点A顺时针旋转(0180)得ADE,AED=90,直线BD与直线CE的交点为P.求证：PB=PD【模型3：直径是圆中最长的弦】【典例3】在ABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作 OEOF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为?【变式3】如图,在O中,直径AB=12,点D是圆上任意一点(A,B除外),点P为CD的中点,过点D作DEAB于点E,连接AD,EP.求EP的最大值。【随堂精练】1（2021秋永泰县期中）如图，在RtABC中，BAC90，ABC40，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上（1）求BAD的度数；（2）求

5、证：A，D，B，E四点共圆2如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：AB30km，BC40km，B120，A+C180，请计算这块规划用地的最大面积3如图，已知ACBC4，点D是AB下方一点，且CD90，求四边形ACBD面积的最大值 专题06 四点共圆（知识解读）【专题说明】四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查，重在考查学生对知识的应用能力考查的基本类型有：利用四点共圆证相似，利用四点共圆求最值，这些问题大都利用转化思想，将几何问题转化为四点共圆问题，使题目能简单求解.【方法技巧】1.四点共圆如果同一平面内

6、的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”2四点共圆的性质(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等(2)圆内接四边形的对角互补(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角3四点共圆的判定(1)用“角”判定：一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上(2)“等线段”判定：四顶点到同一点的距离相等，若OAOBOCOD，则A，B，C，D四点共圆(3)用“比例线段”判定：若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PAPCP

7、BPD，则A，B，C，D四点共圆.模型解读：模型1：对角互补型：若A+C=180或B+D=180,则A、B、C、D四点共圆模型2：同侧等角型（1）若A=C,则A、B、C、D四点共圆（2）手拉手(双子型)中的四点共圆条件：OCDOAB结论：OACOBDAC与BD交于点E,必有AEB=AOB；点E在OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.模型3：直径是圆中最长的弦1.定圆中最长的弦是直径；2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。 【典例分析】【模型1：对角互补型】【典例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEF

8、G,连接BE,延长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点.【简答】AC=AF,AB=AE且BAE=CAFAEBAFC,ABE=ACF,A、B、C、M四点共圆,ABC=90,AC是直径,AMC=90,AE=AC,AM垂直且平分CF(三线合一).【变式1】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。【解析】PEF=PDF=DCE=90,知D,F,C,D,P共圆,如下图,由1=2,4=5,易得APDDCF,CF:AP=CD:AD,得CF=1.5。【模型2：同侧等角型】【典例2】在RtABC中,ACB=90,将ABC

9、绕点A顺时针旋转(0180)得ADE,AED=90,直线BD与直线CE的交点为P.求证：PB=PD【解析】由旋转的性质得CAE=BAD=,AC=AE,AB=AD,CEA=ADBA,D,E,P四点共圆APD=AED=90APBDPB=PD【模型3：直径是圆中最长的弦】【典例3】在ABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作 OEOF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为?【解析】EOF=C=90,C,O均在以EF为直径的圆上EF是圆的直径,O、C均在圆上,且OC长度固定,要使EF最短,则圆最小,要使圆最小,由于OC为固定长度,则OC为直径时,圆最小,此时

10、EF=CO=OA=OB=5(斜边上中线等于斜边一半)【变式3】如图,在O中,直径AB=12,点D是圆上任意一点(A,B除外),点P为CD的中点,过点D作DEAB于点E,连接AD,EP.求EP的最大值。【解析】延长DE交O于点F,连接FC,利用三角形的中位线得出PE=0.5FC.当FC为O的直径时，PE最大=6。【随堂精练】1（2021秋永泰县期中）如图，在RtABC中，BAC90，ABC40，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上（1）求BAD的度数；（2）求证：A，D，B，E四点共圆【解答】（1）解：由旋转知，ADAC，BAC90，ABC40，ADCC90ABC904050，

11、DAC180ADCC180505080，BADBACDAC908010；（2）证明：连接BE，由旋转知，ABAE，EADBAC90，BAD10，EABEADBAD901080，EBABEA（180EAB）（18080）50，EBDEBA+ABC50+4090，即EBD是以ED为斜边的直角三角形，又EAD也是以ED边为斜边的直角三角形，A，D，B，E四点在以ED为直径的圆上，即A，D，B，E四点共圆2如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：AB30km，BC40km，B120，A+C180，请计算这块规划用地的最大面积【解答】解：四边形ABCD中，DAC+DCB180

12、，A、B、C、D四点共圆，如图，延长CB，过点A作AECB于点E，连接AC，过点D作DFAC于点FABC120，ADCABE60，BEAB15km，AE15km，CE40+1555km，SABC300km2则当ADC的面积最大时，四边形ABCD的面积最大当ADCD时，DF最大，此时四边形ABCD的面积最大在RtACE中，AC10km，AFAC5km，ADF30，DFAF5km，SADC925km2300+9251225km2四边形ABCD的最大面积为1225km23如图，已知ACBC4，点D是AB下方一点，且CD90，求四边形ACBD面积的最大值【解答】解：过点C作CEAB，垂足为E，过点D作DFAB，垂足为F，CD90，AB是圆的直径，即A，C，B，D四个点在以AB为直径的圆上，ACBC4，AB，四边形ACBD的面积ACB的面积+ADB的面积，四边形ACBD的面积ABDE+ABDFAB（DE+DF），当DE与DF的和等于圆的直径时，四边形ACBD的面积最大，即当DE+DF时，四边形ACBD的面积16，四边形ACBD面积的最大值为16