1、半角模型巩固练习（提优）1.如图，在四边形ABCD中，BD180，ABAD，E、F分别是线段BC、CD上的点，且BEFDEF，求证：EAFBAD.【解答】见解析【解析】证明：将ADF绕点A顺时针旋转DAB的度数得到ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，如图：旋转，AGAF，BGDF，ABGD，BAGDAF，BD180，BABG180，点G、B、C三点共线，BEFDEF，BEBGGEEF，在AEG与AEF中，EAGEAF，又BAGDAF，EABDAFEAF，EAFBAD.2.已知，在正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，当M
2、AN绕点A旋转到BMDN时（如图1），易证BMDNMN.（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时 （如图2），线段BM、DN、和MN之间有怎样的数量关系？猜想一下，并加以证明；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.【解答】（1）猜想：BMDNMN；（2）猜想：DNBMMN【解析】（1）猜想：BMDNMN.证明：如图，将AND绕点A顺时针旋转90，得到ABE，则E、B、M共线，EAM90NAM904545，NAM45，在AEM与ANM中，MEMN，MEBEBMDNBM，DNBMMN；（2）猜想：DNBMMN.证明：在线段DN上截取D
3、QBM，如图所示.在ADQ与ABM中，DAQBAM，QANMAN，在AMN与AQN中，MNQN，DNBMMN.3.已知在中，于，点在直线上，点F在线段上，是的中点，直线与直线交于点.（1）如图1，若点在线段上，请分别写出线段和之间的位置关系和数量关系：_，_；（2）在（1）的条件下，当点在线段上，且时，求证：；（3）当点在线段的延长线上时，在线段上是否存在点，使得若存在，请直接写出的长度；若不存在，请说明理由【解答】（1）AECM，AECM；（2）见解析；（3）AF8.【解析】（1）AECM，AECM.如图，延长AE交CM于点H.ACB90，CACB，CDAB于点D，CABCBAACDBCD4
4、5，ADBDCDAB，M是DB的中点，.在AEC与CMB中，AECM，CAEBCM，ACMBCM90，ACMCAE90，ACH90，AHCM，AECM，AECM；（2）如图，过点A作AGAB,且AG=BM,，连接CG、FG,延长AE交CM于H.CAB90， CACB，CAB=CBA=45，GAC=MBC=45，CDAB，CD=AD=BD= ， M是DB的中点,BMDM3，AG3，AF2FD，AF4，DF2，FMFDDM235，AGAF，FGFM，在CAG和CBM中，CGCM，ACGBCM，MCGACMACGACMBCM90，在FCG和FCM中，FCGFCM，FCH45，由（1）知AECM，CH
5、N90，CNE45；（3）存在，如图作BHCN.由条件可得CHB=90，CDAB，ADE=90，CHB=ADE，ACB=90CA=CB=62,CAB=CBA=45AB=CA2+CB2=12，GAC=MBC=45，CDAB，CD=AD=BD=12AB=6，DE=12CD,DE=3.在RtADE中，由勾股定理可得，CNE45，CBACNE，AFNCFB，NAFBCF，ADECHB，设 ,则，在RtCDF中,由勾股定理,得，CDFBHF90，DFCHFB，CDFBHF，解得（舍），AF628.4.（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，EAF=45，连接EF，则EF、BE、F
6、D之间的数量关系是：EF=BE+FD连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；（2）在ABC中， ABAC，点D、E分别为BC边上的两点如图2，当BAC60，DAE30时，BD、DE、EC应满足的等量关系是_；如图3，当BAC，(090)，DAE时，BD、DE、EC应满足的等量关系是_【参考：】【解答】（1）见解析；（2）；（3）【解析】如图，将ABM绕点A逆时针旋转90得到ADG，连接NG.旋转，ABMADG，DGBM，AGAM，ADGABM45，DAGBAM，ADBADG454590，即NDG90，EAF45，BAMDAN45，DAGDAF45，即GAN
7、45，GANMAN，AMNAGN（SAS），GNMN，NDG90，.（2）如图，将ABD逆时针旋转60得到ACF，连接EF，作FGEC的延长线于点G.由题意可知ABDACF，FGC90，ADAF，BDCF，BADCAF，BACF，BAC60，ABAC，ABC是等边三角形，BACB60，ACF60，ACFACB120，即ECF120，FCG60，CFG30，在RtCFG中，由勾股定理得，BADEAC30，CAFEAC30，即EAF30，DAEFAE，ADEAFE，DEEF，在RtEGF中，由勾股定理得，；将ABD逆时针旋转得到ACF，连接EF，作FGEC的延长线于点G.由题意可知ABDACF，F
8、GC90，ADAF，BDCF，BADCAF，BACF，ABAC，BACB，BACBBAC180，ACBACFFCG180，BACFCG，ACF60，CG，DAE，BADCAE，CAFCAE，即EAF，DAEFAE，ADEAFE，DEEF，在RtEGF中，由勾股定理得，；，.5.已知如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC、CD上，且EAF45，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法（1）在图1中，连接EF，为了证明结论“EFBE+DF“，小亮将ADF绕点A顺时针旋转90后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；（2）如图2，当EAF绕点A旋
9、转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（3）如图3，如果四边形ABCD中，ABAD，BADBCD90，EAF45，且BC7，DC13，CF5，求BE的长【解答】见解析【解析】（1）证明：如图1中，由旋转可得GBDF，AFAG，BAGDAF，四边形ABCD为正方形，BAD90，EAF45，BAE+DAF45，BAG+BAE45EAF，在AGE和AFE中，AG=AFGAE=EAFAE=AE，AGEAFE（SAS），GEEF，GEGB+BEBE+DF，EFBE+DF（2）结论：EFDFBE，理由：如图2中，把ABE绕点A逆时针旋转90到AD，交CD于点G，同（1）可证得AEFAGF（SAS），EFGF，且DGBE，EFDFDGDFBE（3）如图3中，在DC上取一点G，使得DGBE，BADBCD90，ABC+D180，ABE+ABC180，ABED，ABAD，BEDG，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAF45，EAB+BAFDAG+BAF45，BAD90，FAGFAE45，AEAG，AFAF，AFEAFG（SAS），EFFG，设BEx，则ECEB+BCx+7，EFFG18x，在RtECF中，EF2EC2+CF2，52+（7+x）2（18x）2，x5，BE5
