1、数 学 必修5 人教A版新课标导学第二章 数列 2.2 等差数列第2课时 等差数列的性质1 课前自主学习 2 课堂典例讲练 3 课 时 作 业 返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 课前自主学习返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日，第 41 届世博会在中国上海举办，展会期间，人流如织，总参观人数超过 7000 万，根据有关部门统计，某展馆 7 月上旬每天平均参观人数为 20 万人，在后面 70天内，前 40 天每天增加 0.5 万人，后 30 天每天减少 1 万人，问在这时间内，有多少天参观人数能达到 30 万
2、人？这是与等差数列单调性有关的问题，让我们进一步认识等差数列的有关性质吧！返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 1回顾学过等差数列的知识填空(1)等差数列an，对于任意正整数n，都有an1an_.(2)等差数列an，对于任意正整数n、m，都有anam_.2(1)想一想：在等差数列an中，若已知任意两项am，an，怎样求公差？(2)观察下列数列：5，3，1,1,3,5,7；120,117,114,111,108,105.思考：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和有何特点？d(nm)d返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版(3)设数列an的通项为an3n2
3、，计算a1a5，a2a4，a11a23，a15a19，a17，你发现了什么？3等差数列an的一些简单性质(1)对于任意正整数n、m都有anam(nm)d.(2)对任意正整数p、q、r、s，若pqrs，则apaqar_.特别地对任意正整数p、q、r若pq2r，则apaq_.(3)对于任意非零常数b，若数列an成等差，公差为d，则ban也成等差数列，且公差为_.as2arbd返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版(4)若an与bn都是等差数列，cnanbn，dnanbn则cn，dn都是等差数列(5)等差数列an的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等差数列如a1，a4，a7，a3n2，成
4、等差数列4等差数列的单调性等差数列an的公差为d，则当d0时，等差数列an是常数列，当d0时，等差数列an是单调递_数列减增返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 1(2016辽宁沈阳期末)在等差数列an中，已知 a4a816，则 a2a10导学号 54742281()A12 B16C20D24解析 由等差数列的性质知，a2a10a4a816.B返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 2(1)等差数列an中，a23，a86，则 a10_；(2)已知等差数列an中，a24，a4a626，则 a8 的值是_.(3)等差数列an是递增数列，若a2a416，a1a528，则
5、通项 an_.导学号 54742282解析(1)设公差为 d，a8a26d3，d12.a10a82d617，(2)a2a8a4a626，a826a226422.7223n1 返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版(3)设公差为 d，a2a4a1a516，由a1a516a1a528，解得a12a514 或a114a52.等差数列an是递增数列，a12，a514.da5a151 124 3，ana1(n1)d23(n1)3n1.返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 课堂典例讲练返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 命题方向1 等差数列的性质若an为等差
6、数列，a158，a6020，求 a75.导学号 54742283解析 解法一：设等差数列an的公差为 d，a15a114d，a60a159d，a114d8，a159d20，解得a16415，d 415.a75a174d641574 41524.返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 解法二：an为等差数列，a15，a30，a45，a60，a75 也为等差数列设其公差为 d，则 a15 为首项，a60 为第 4 项，a60a153d，即 2083d，解得 d4.a75a60d20424.解法三：a60a15(6015)d，da60a156015 415.a75a60(7560)d2
7、015 41524.返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 点评 1.因为a15和a60都可用a1和d表示，故可列方程组解出a1和d，进而求出a75.2因为an为等差数列，又序号15,30,45,60,75成等差数列，所以根据等差数列的性质，a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列3解法二中公差d指的是数列a15，a30，a45，a60，a75的公差，与解法一和解法三中的公差不同，注意区分规律总结 解答数列问题，读题、审题时一定要注意观察项的下标是否具有某种关系(或规律)，这种关系(或规律)往往就是应用性质解题的突破口返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版
8、 跟踪练习 1 导学号 54742284(2015江西质量监测)(1)设数列an，bn都是等差数列若 a1b17，a3b321，则 a5b5_.(2)如果等差数列an中，a3a4a512，那么 a1a2a7()A14 B21C28D35解析(1)解法 1：设数列an，bn的公差分别为 d1，d2，因为 a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以 d1d27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.35C返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 解法2：数列an，bn都是等差数列，数列anbn也构成等差数列，2(a3b3)(a
9、1b1)(a5b5)2217a5b5 a5b535.(2)a3a4a512，3a412，则a44，又a1a7a2a6a3a52a4，故a1a2a77a428.故选C返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 等差数列an中，a4a5a6a756，a4a7187，求 a1 和d.导学号 54742285分析 由等差数列的性质及 4756 可将条件式 a4a5a6a756 化为 a4 与 a7 的关系式解析 a4a5a6a72(a4a7)56，a4a728，又 a4a7187，a411a717 或a417a711，a15d2或a123d2 .返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教
10、A 版 规律总结 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列an的性质：若mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差建立方程(组)求解返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 跟踪练习 2 导学号 54742286在等差数列an中，已知 a7a816，则 a2a13()A12 B16C20D24解析 在等差数列an中，a2a13a7a816，故选 BB返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 命题方向2 由递推关系构造等差数列求通项已知数列an满足 a115，且当 n1，nN*时，有an1an 2an
11、1112an，设 bn1an，nN*.导学号 54742288(1)求证：数列bn为等差数列；(2)试问 a1a2 是否是数列an中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 分析(1)欲证bn为等差数列，即证 bnbn1 为常数，结合条件 bn1an知，只需将已知等式an1an 2aa1112an，变形化为1an与 1an1的关系式即可，因此交换此比例式的两外项整理即可(2)由(1)可求得 bn，进而求得 an 和 a1，a2，讨论 a1a2 是否为an中的项，只需令 ana1a2 解这个关于 n 的方程，若有正整数解，则是，否则不是返回
12、导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 解析(1)证明 当 n1，nN*时，an1an 2an1112an 12anan2an11an11an22 1an11an 1an14bnbn14，又 b1 1a15.bn是等差数列，且公差为 4，首项为 5.(2)由(1)知 bnb1(n1)d54(n1)4n1.an1bn14n1，nN*.a115，a219，a1a2 145.令 an14n1 145，n11.即 a1a2a11，a1a2 是数列an的中项，是第 11 项返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 规律总结 已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形
13、，构造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 跟踪练习 3 导学号 54742289在数列an中，a12，an1an2n1.(1)求证：数列an2n为等差数列；(2)设数列bn满足 bn2log2(an1n)，求bn的通项公式解析(1)证明：(an12n1)(an2n)an1an2n1(与 n 无关)，故数列an2n为等差数列，且公差 d1.(2)由(1)可知，an2n(a12)(n1)dn1，故 an2nn1，所以 bn2log2(an1n)2n.返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 命题方向3 等差数列的综合应用在AB
14、C 中，若 lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差数列，并且三个内角 A，B，C 也成等差数列，试判断该三角形的形状.导学号 54742290分析 利用等差中项先求角 B，再确定 A、C 的关系，判断出三角形的形状解析 由 A，B，C 成等差数列，得 2BAC，又 ABC，3B，B3.lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差数列，2lg(sinB)lg(sinA)lg(sinC)，返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 即 sin2BsinAsinC，sinAsinC34.又cos(AC)cosAcosCsinAsinC，cos(AC)cos
15、AcosCsinAsinC，sinAsinC12cos(AC)cos(AC)12cos23 cos(AC)34.1412cos(AC)34.cos(AC)1.AC(，)，AC0，即 AC3，ABC故ABC 为等边三角形返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 规律总结 审清题意，将文字语言翻译转化为数学语言是一项重要的基本功要注意有意识的加强训练返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 跟踪练习 4 导学号 54742291若关于 x 的方程 x2xa0 和 x2xb0(ab)的 4 个根可组成首项为14的等差数列，则 ab 的值为()A38 B1124C1324D31
16、72D返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 解析 判断各个根对应数列的项数因为每个方程的两个根的和都为 1，故必有一个方程的根为14和34，不妨设方程 x2xa0 的根为14和34.14为等差数列的首项，34为等差数列 4 项中的某一项，由 x2xb0 的两根和为 1，且两根为等差数列中的后 3 项中的两项，知只有34为第 4 项，才能满足中间两项之和为 1 的条件，所以四根的排列顺序为14，512，712，34，ab1434 512 7123172.返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 已知等差数列an的首项为 a1，公差为 d，且 a1126，a5154，该
17、数列从第几项开始为正数.导学号 54742292错解 a51a1140d，d5426402.ana11(n11)d262(n11)2n48.由 an0，得 2n480，n24.即从第 24 项开始，各项为正数返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 辨析 错解的原因是忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，而当n24时，此时a240.警示 解题时要加强对题中关键词的理解，提高审题能力；二是加强等价转化的训练，防止不等价转化致误正解 a51a1140d，d5426402.ana11(n11)d262(n11)2n48.由 an0，得 2n480，n24.显然当 n25 时，an0.即从
18、第 25 项开始，各项为正数返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 1等差数列an中，a6a916，a41，则 a11 导学号 54742293()A64 B30 C31 D15D返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 解析 解法一：a6a916a41，2a113d16a13d1，a15d2，a11a110d15.解法二：69411，a4a11a6a916，a1115.返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 2 如果 等 差数 列 an中，a3 a4 a5 12，那 么 a1 a2 a7 导学号 54742294()A14B21C28D35解析 a3a
19、4a53a412，a44.又 a1a2a77a428.C返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 3(2016济南历城期中)已知等差数列an满足 a1a2a3a1010，则有 导学号 54742295()Aa1a1010Ba1a1010Ca1a1010Da5151解析 由题设 a1a2a3a101101a510，a510.a1a1012a510，故选 CC返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 4(2016江西六校期中联考)在等差数列an中，a1a4a758，a2a5a844，则 a3a6a9 的值为 导学号 54742296()A30B27C24D21解析 设 b1a1a4a758，b2a2a5a844，b3a3a6a9.因为an是等差数列，所以 b1，b2，b3 也是等差数列，得 b1b32b2，所以 b32b2b12445830，即 a3a6a930.A返回导航第二章 数列 数 学 必 修 人 教 A 版 课 时 作 业