1、第四节函数的奇偶性与周期性时间：45分钟分值：100分 一、选择题1(2015深圳调研)下列函数中，为奇函数的是()Ay2x Byx，x0,1Cyxsinx Dy解析A中函数是偶函数；B中函数是非奇非偶函数；C中函数是偶函数；D中函数是奇函数答案D2函数f(x)lnx2()A是偶函数且在(，0)上单调递增B是偶函数且在(0，)上单调递增C是奇函数且在(0，)上单调递减D是奇函数且在(，0)上单调递减解析函数f(x)的定义域为x0，当x0时，f(x)lnx22lnx，f(x)在(0，)上单调递增，又f(x)ln(x)2lnx2f(x)，f(x)为偶函数答案B3若函数f(x)是奇函数，则a的值为(
2、)A0 B1C2 D4解析由f(1)f(1)，得，(1a)2(1a)2解得a0.答案A4已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)等于()A2 B2C98 D98解析f(x4)f(x)，f(x)是周期为4的函数f(7)f(241)f(1)又f(x)在R上是奇函数，f(x)f(x)f(1)f(1)而当x(0,2)时，f(x)2x2，f(1)2122.f(7)f(1)f(1)2.故选A.答案A5函数f(x)满足f(x)f(x2)13，若f(1)2，则f(99)等于()A13 B2C. D.解析f(x)f(x2)13，f(x2)，则f(x)，故
3、f(x)f(x2)13，即f(x)f(x2)13，f(x2)f(x2)，故函数f(x)的周期为4，f(99)f(3).答案D6设f(x)是奇函数，且在(0，)内是增函数，又f(3)0，则xf(x)0的解集是()Ax|3x3Bx|x3，或0x3Cx|x3Dx|3x0，或0x3解析由xf(x)0，得或而f(3)0，f(3)0，即或所以xf(x)0的解集是x|3x0，或0x0时，f(x)1，则当x0时，f(x)1，当x0，f(x)f(x)(1)，即x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数
4、11(2015曲阜师大附中质检)定义域为1,1的奇函数f(x)满足f(x)f(x2)，且当x(0,1)时，f(x)2x.(1)求f(x)在1,1上的解析式；(2)求函数f(x)的值域解(1)当x0时，f(0)f(0)，故f(0)0.当x(1,0)时，x(0,1)，f(x)f(x)(2x)2x.若x1时，f(1)f(1)又f(1)f(12)f(1)，故f(1)f(1)，得f(1)0，从而f(1)f(1)0.综上，f(x)(2)x(0,1)时，f(x)2x，f(x)20，故f(x)在(0,1)上单调递增f(x)(0,3)f(x)是定义域为1,1上的奇函数，且f(0)f(1)f(1)0，当x1,1时
5、，f(x)(3,3)f(x)的值域为(3,3) 1设定义在R上的奇函数yf(x)，满足对任意tR，都有f(t)f(1t)，且x时，f(x)x2，则f(3)f的值等于()A BC D解析由f(t)f(1t)，得f(1t)f(t)f(t)所以f(2t)f(1t)f(t)，所以f(x)的周期为2.又f(1)f(11)f(0)0，所以f(3)ff(1)f02.故选C.答案C2若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是单调增函数如果实数t满足f(lnt)f2f(1)时，那么t的取值范围是_解析因为函数f(x)是偶函数，所以ff(lnt)f(lnt)f(|lnt|)则有f(lnt)f2f(1)
6、2f(lnt)2f(1)f(|lnt|)f(1)|lnt|1tg(0)g(1)答案f(1)g(0)g(1)4定义在R上的函数f(x)对任意a，bR都有f(ab)f(a)f(b)k(k为常数)(1)判断k为何值时f(x)为奇函数，并证明；(2)设k1，f(x)是R上的增函数，且f(4)5，若不等式f(mx22mx3)3对任意xR恒成立，求实数m的取值范围解(1)若f(x)在R上为奇函数，则f(0)0，令xy0，则f(00)f(0)f(0)k，k0.证明：令ab0，由f(ab)f(a)f(b)，得f(00)f(0)f(0)，即f(0)0.令ax，bx，则f(xx)f(x)f(x)，又f(0)0，则有0f(x)f(x)，即f(x)f(x)对任意xR成立，f(x)是奇函数(2)f(4)f(2)f(2)15，f(2)3.f(mx22mx3)3f(2)对任意xR恒成立又f(x)是R上的增函数，mx22mx32对任意xR恒成立，即mx22mx10对任意xR恒成立，当m0时，显然成立；当m0时，由得0m1.实数m的取值范围是0,1)