1、第四章 平面向量与复数第三节 平面向量的综合应用基础梳理1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理abab _，其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0 x1y2x2y10垂直问题数量积的运算性质abab0 _，其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 a，b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos ab|a|b|(为向量 a，b 的夹角)，其中 a，b 为非零向量长度问题数量积的定义|a|a2x2y2，其中 a(x，y)，a 为非零向量x1x2y1y20(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题设向
2、量 向量问题运算 解决向量问题还原 解决几何问题2向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体3平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是_，它们的分解与合成与向量的_相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数量积，即WFs|F|s|cos(为 F 与 s 的夹角)4向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关
3、问题矢量加法和减法1向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解2平面向量与三角函数综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图像与性质进行求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，求向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定
4、义域内的有界性，求得值域等四基自测1(基础点：向量在平面几何中的应用)已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3，4)，B(5，2)，C(1，4)，则该三角形为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形解析：AB(2，2)，AC(4，8)，BC(6，6)，|AB|22（2）22 2，|AC|16644 5，|BC|36366 2，|AB|2|BC|2|AC|2，ABC 为直角三角形答案：B2.(基础点：向量在物理中的应用)如图，一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知 F1，F2 成 60角，且 F1，F2 的大小分别为2 和 4，则 F
5、3 的大小为()A2 7B2 5C2 D6解析：如题图所示，由已知得 F1F2F30，则 F3(F1F2)，即 F23F21F222F1F2F21F222|F1|F2|cos 6028.故|F3|2 7.答案：A3(基础点：向量在平面解析几何中的应用)平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1，2)与动点 P(x，y)满足OP OA 4，则点 P 的轨迹方程是_解析：由OP OA 4，得(x，y)(1，2)4，即 x2y4.答案：x2y404(基础点：向量在三角函数中的应用)已知向量 msin A，12 与向量 n(3，sin A 3cos A)共线，其中 A 是ABC 的内角，则角 A 的大
6、小为_解析：因为 mn，所以 sin A(sin A 3cos A)320，所以 2sin2A2 3sin Acos A3，可化为 1cos 2A 3sin 2A3，所以 sin2A6 1，因为 A(0，)，所以2A6 6，116.因此 2A62，解得 A3.答案：3考点一 向量在平面几何中的应用挖掘 用向量表示三角形的“心”/自主练透例(1)已知 O，N，P 在ABC 所在平面内，且|OA|OB|OC|，NANBNC0，且PAPBPBPCPCPA，则点 O，N，P 依次是ABC 的()A重心 外心 垂心 B重心 外心 内心C外心 重心 垂心D外心 重心 内心(注：三角形的三条高线交于一点，此
7、点为三角形的垂心)解析 由|OA|OB|OC|知，O 为ABC 的外心；由NANBNC 0 知，N 为ABC 的重心；因为PAPBPBPC，所以(PAPC)PB0，所以CAPB0，所以CAPB，即 CAPB，同理 APBC，CPAB，所以 P 为ABC 的垂心答案 C(2)在ABC 中，O 为ABC 的重心，若BO ABAC，则 2()A12B1C.43D43解析 设 AC 的中点为 D，因为 O 为ABC 的重心，所以BO 23BD 23(BAAD)23AB2312AC23AB13AC，所以 23，13，所以 243，故选D.答案 D破题技法 三角形“四心”的向量表示(1)在ABC 中，若|
8、OA|OB|OC|或OA 2OB 2OC 2，则点 O 是ABC 的外心；(2)在ABC 中，若GA GB GC 0，则点 G 是ABC 的重心；(3)对于ABC，O，P 为平面内的任意两点，若OP OA(AB12BC)，(0，)，则直线 AP 过ABC 的重心；(4)在ABC 中，若HA HB HB HC HC HA，则点 H 是ABC 的垂心；(5)对于ABC，O，P 为平面内的任意两点，若OP OA(AB|AB|AC|AC|)(0)，则直线 AP 过ABC 的内心1设 P 是ABC 所在平面内的一点，若AB(CB CA)2ABCP 且AB 2AC2 2BCAP.则点 P 是ABC 的()
9、A外心B内心C重心D垂心解析：由AB(CBCA)2ABCP，得AB(CBCA2CP)0，即AB(CBCP)(CACP)0，所以AB(PBPA)0.设 D 为 AB 的中点，则AB2PD 0，故ABPD 0.所以 PDAB，即点 P 在 AB 边的中垂线上因为AB 2AC 22BCAP，所以(ACAB)(ACAB)2BCAP，所以BC(ACAB2AP)0，设 BC 的中点为 E，同上可知BCPE0，所以 PEBC，即点 P 在 BC 边的中垂线上所以 P 为 AB 与 BC 的垂直平分线的交点，即 P 是ABC 的外心故选 A.答案：A2已知 O 是ABC 所在平面内一点，且满足|OA|2|BC
10、|2|OB|2|CA|2，则点O()A在过点 C 且与 AB 垂直的直线上B在A 的平分线所在直线上C在边 AB 的中线所在直线上D以上都不对解析：由|OA|2|BC|2|OB|2|CA|2 得|OA|2|OB|2|CA|2|BC|2，所以(OA OB)(OA OB)(CA BC)(CA BC)，即BA(OA OB)(CA CB)BA，所以BA(OA OB ACBC)2OC BA0，所以ABOC.故点 O 在过点 C 且与 AB 垂直的直线上答案：A考点二 向量在解析几何中的应用例(1)已知正三角形 ABC 的边长为 2 3，平面 ABC 内的动点 P，M 满足|AP|1，PM MC，则|BM
11、|2 的最大值是()A.434 B494C.376 34D372 334解析 如图，由|AP|1 知点 P 的轨迹是以 A 为圆心，以1 为半径的圆由PM MC 知，点 M 为 PC 的中点，取 AC 的中点 N，连接MN，则|MN|12|AP|12，所以点 M 的轨迹是以 N 为圆心，以12为半径的圆因为|BN|3，所以|BM|的最大值为 31272，|BM|2 的最大值为494.故选 B.答案 B(2)在平面直角坐标系 xOy 中，A(12，0)，B(0，6)，点 P 在圆 O：x2y250 上，若PAPB20，则点 P 的横坐标的取值范围是_解析 因为点 P 在圆 O：x2y250 上，
12、所以设 P 点坐标为(x，50 x2)(5 2x5 2)因为 A(12，0)，B(0，6)，所以PA(12x，50 x2)或PA(12x，50 x2)，PB(x，6 50 x2)或PB(x，6 50 x2)因为PAPB20，先取 P(x,50 x2)进行计算，所以(12x)(x)(50 x2)(6 50 x2)20，即 2x550 x2.当 2x50，即 x0)，A，B两点关于 x 轴对称若圆 C 上存在点 M，使得AM BM 0，则当 m 取得最大值时，点 M 的坐标是()A.32，3 22B3 22，32C.32，3 32D3 32，32解析：由题意得圆的方程为(x1)2(y 3)21，B
13、(0，m)设 M(x，y)，由于AM BM 0，所以(x，ym)(x，ym)0，所以 x2y2m20，所以 m2x2y2，由于 x2y2 表示圆 C 上的点到原点距离的平方，所以连接 OC，并延长和圆 C 相交，交点即为 M，此时 m2 最大，m 也最大|OM|123，MOx60，所以 xM3sin 3032，yM3sin 603 32.故选 C.答案：C2(2020河南郑州模拟)已知平面向量 a，b，c 满足|a|b|c|1，若 ab12，则(ab)(2bc)的最小值为()A2 B3 3C1 D0解析：由|a|b|1，ab12，可得a，b3.令OA a，OB b，以OA 的方向为 x 轴的正
14、方向建立如图所示的平面直角坐标系，则 aOA(1，0)，bOB 12，32，设 cOC(cos，sin)(02)，则(ab)(2bc)2abac2b2bc3cos 12cos 32 sin 3 3sin3，则(ab)(2bc)的最小值为 3 3，故选 B.答案：B考点三 向量的其他应用挖掘 1 平面向量的创新应用/自主练透例 1 已知 O 是坐标原点，点 A(1，2)，若点 M(x，y)为平面区域xy2，x1，y2上的一个动点，则OA OM 的取值范围是()A1，0 B0，1C1，3 D1，4解析 作出点 M(x，y)满足的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，设 zOA OM，因为 A(1，2
15、)，M(x，y)，所以 zOA OM x2y，即 y12x12z.平移直线 y12x，由图像可知，当直线 y12x12z 经过点 C(0，2)时，截距最大，此时 z 最大，最大值为 4，当直线 y12x12z 经过点 B 时，截距最小，此时 z 最小，最小值为 1，故 1z4，即 1OA OM 4.答案 D破题技法 以向量为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题的求解策略：(1)准确转化：解决数量积中创新问题时，一定要读懂题目的本质含义紧扣题目所给条件，结合题目要求恰当转化，切忌同已有的概念或定义混淆(2)方法选取：对于创新问题，要恰当选取解题方法，如数形结合，等价转化，特殊值，逐
16、一排除等方法，并结合数量积性质求解对于非零向量 m，n，定义运算“*”：m*n|m|n|sin，其中 为 m，n 的夹角，有两两不共线的三个向量 a，b，c，下列结论正确的是()A若 a*ba*c，则 bcB(a*b)ca(b*c)Ca*b(a)*bD(ab)*ca*cb*c解析：a，b，c 为两两不共线向量，则 a，b，c 为非零向量，故 A 不正确；设 a，b 夹角为，b，c 夹角为，则(a*b)c|a|b|sin c，a(b*c)|b|c|sin a，故 B 不正确，同理 D 不正确；a*b|a|b|sin|a|b|sin()(a)*b.故选 C.答案：C挖掘 2 平面向量与三角函数、解
17、三角形的综合应用/互动探究例 2(2020衡阳模拟)在ABC 中，若|AC|2 3，且ABcos CBCcos AACsin B.(1)求角 B 的大小；(2)求ABC 的面积解析(1)因为ACABBC，所以ABcos CBCcos AACsin B(ABBC)sin B，即(cos Csin B)AB(cos Asin B)BC0.而向量AB，BC是两个不共线的向量，所以cos Csin B，cos Asin B，所以 cos Ccos A，因为 A，C(0，)，所以 AC.在等腰ABC 中，ABC，所以 2AB，A2B2.所以 cos Acos2B2 sin B2sin B，所以 sin
18、B22sin B2cos B2，因为 sin B20，所以 cos B212.综合 0B22，所以B23，B23.(2)由(1)知，AC6，由正弦定理，得|AC|sin 23|BC|sin 6，所以|BC|2，SABC12|AC|BC|sin 6122 3212 3.破题技法 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、解三角形结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化在 ABC 中，A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，已 知 向 量 m cos B，2cos2 C21，n(c，b2a)，且 mn0.(1)求C 的大小；(2)若点 D 为边 AB 上一点，且满
19、足AD DB，|CD|7，c2 3，求ABC 的面积解析：(1)因为 m(cos B，cos C)，n(c，b2a)，mn0，所以 ccos B(b2a)cos C0，在ABC 中，由正弦定理得，sin Ccos B(sin B2sin A)cos C0，sin A2sin Acos C，又 sin A0，所以 cos C12，而 C(0，)，所以C3.(2)由AD DB 知，CD CACBCD，所以 2CD CACB，两边平方得 4|CD|2b2a22bacosACBb2a2ba28.又 c2a2b22abcosACB，所以 a2b2ab12.由得 ab8，所以 SABC12absinACB2 3.
