1、专题06 函数的奇偶性及周期性【考点总结】1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数来源:学&科&网如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期【常用
2、结论】1函数奇偶性的常用结论(1)奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件(2)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(3)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(5)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)【易错总结】(1)利用奇偶性求解析式时忽视定
3、义域；(2)忽视奇函数的对称性；(3)忽视定义域的对称性例1设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x24x3，则函数f(x)的解析式为f(x)_解析：设x0，所以f(x)f(x)(x)24(x)3x24x3，由奇函数的定义可知f(0)0，所以f(x)答案：例2设奇函数f(x)的定义域为5，5，若当x0，5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_解析：由题图可知，当0x0；当2x5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，所以当2x0时，f(x)0，当5x0.综上，f(x)0的解集为(2，0)(2，5答案：(2，0)(2，5例3已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a
4、上的偶函数，那么ab的值是_解析：因为f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，所以a12a0，所以a.又f(x)f(x)，所以b0，所以ab.答案：【考点解析】【考点】一、函数的奇偶性角度一判断函数的奇偶性例1、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)【解】(1)由f(x)，可知故函数f(x)的定义域为(6，0)(0，6，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)由x21x1，故函数f(x)的定义域为1，1，关于原点对称，且f(x)0，所以f(x)f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数(3)由1x0或0x0时，f(x
5、)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数法三：f(x)还可以写成f(x)x2|x|(x0)，故f(x)为偶函数角度二函数奇偶性的应用例1、(1)(2019高考全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x1，则当x0时，x0时，f(x)f(x)eax，所以f(ln 2)ealn 28，所以a3.(2)因为f(x)为奇函数，当x0时，f(x)x1，所以当x0，f(x)f(x)(x1)，即xf(2)f(2)Bff(2)f(2)Cf(2)f(2)fDf(2)f(2)f【解析】根据函数f(x)为偶函数可知，f(log3)f(log3
6、4)f(log34)，因为02220f(2)f(log3)【答案】C角度二周期性与奇偶性的综合问题例2、(2020福建龙岩期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x1)f(x1)，若f(1)1，f(5)a22a4，则实数a的取值范围是()A(1，3) B(，1)(3，)C(3，1) D(，3)(1，)【解析】由f(x1)f(x1)，可得f(x2)f(x)，则f(x4)f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)f(1)a22a4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)1，所以f(1)1，所以a22a41，解得1a3，故答案为A.【答案】A角度三单调性、奇偶性与周期性的综合问题
7、例3、(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x)，若f(x)在1，0上单调递减，则f(x)在1，3上是()A增函数 B减函数C先增后减的函数 D先减后增的函数(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)【解析】(1)根据题意，因为f(x1)f(x)，所以f(x2)f(x1)f(x)，所以函数f(x)的周期是2.又因为f(x)在定义域R上是偶函数，在1，0上是减函数，所以函数f(x)在0，1上是增函数，所
8、以函数f(x)在1，2上是减函数，在2，3上是增函数，所以f(x)在1，3上是先减后增的函数，故选D.(2)因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0，2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2，2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)2的解集为()A(2，)B(2，)C.(，) D(，)解析：选B.f(x)是R上的偶函数，
9、且在(，0上是减函数，所以f(x)在(0，)上是增函数，因为f(1)2，所以f(1)2，所以f(log2x)2f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2 x1或log2x2或0x.故选B.来源:学*科*网【变式】2已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)_解析：法一：因为f(1x)f(1x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于坐标原点(0，0)中心对称数形结合可知函数f(x)是以4为周期的周期函数因为f(x)是(，)上的奇函数，所以f(0)0.因为f(1x)f(1x)，所以当x1时，f(2)f(0)0；当x2时，f(3)f(1)f(1)2；当x3时，f(4)f(2)f(2)0.综上，可得f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)0202.法二：取一个符合题意的函数f(x)2sin ，则结合该函数的图象易知数列f(n)(nN*)是以4为周期的周期数列故f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)0202.答案：2
