1、高考资源网（） 您身边的高考专家2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)三年高考真题与高考等值卷( 选修系列-不等式选讲 )(理科数学)1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）（2）（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.（1）柯西不等式的向量形式：（2）(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2.+(此不等式通常称为平面三角不等式.)3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：4.会用向量递归方法讨论排序不等式.5.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些
2、简单问题.6.会用数学归纳法证明伯努利不等式：(1+x)n1+nx(x-1,x0,n为大于1的正整数),了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.7.会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.8.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.1【2019年新课标3理科23】设x，y，zR，且x+y+z1（1）求（x1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x2）2+（y1）2+（za）2成立，证明：a3或a1【解答】解：（1）x，y，zR，且x+y+z1，由柯西不等式可得（12+12+12）（x1）2+（y+1）2+
3、（z+1）2（x1+y+1+z+1）24，可得（x1）2+（y+1）2+（z+1）2，即有（x1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为；（2）证明：由x+y+z1，柯西不等式可得（12+12+12）（x2）2+（y1）2+（za）2（x2+y1+za）2（a+2）2，可得（x2）2+（y1）2+（za）2，即有（x2）2+（y1）2+（za）2的最小值为，由题意可得，解得a1或a32【2019年全国新课标2理科23】已知f（x）|xa|x+|x2|（xa）（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集；（2）当x（，1）时，f（x）0，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）|x1|x
4、+|x2|（x1），f（x）0，当x1时，f（x）2（x1）20，恒成立，x1；当x1时，f（x）（x1）（x+|x2|）0恒成立，x；综上，不等式的解集为（，1）；（2）当a1时，f（x）2（ax）（x1）0在x（，1）上恒成立；当a1时，x（a，1），f（x）2（xa）0，不满足题意，a的取值范围为：1，+）3【2019年新课标1理科23】已知a，b，c为正数，且满足abc1证明：（1）a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc1要证（1）a2+b2+c2；因为abc1就要证：a2+b2+c2；即证：b
5、c+ac+aba2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c22bc2ac2ab0（ab）2+（ac）2+（bc）20；a，b，c为正数，且满足abc1（ab）20；（ac）20；（bc）20恒成立；当且仅当：abc1时取等号即（ab）2+（ac）2+（bc）20得证故a2+b2+c2得证（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324成立；即：已知a，b，c为正数，且满足abc1（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）33（a+b）（b+c）（c+a）；当且仅当（a+b）（b+c）（c+a）时取
6、等号；即：abc1时取等号；a，b，c为正数，且满足abc1（a+b）2；（b+c）2；（c+a）2；当且仅当ab，bc；ca时取等号；即：abc1时取等号；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）33（a+b）（b+c）（c+a）3824abc24；当且仅当abc1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324得证故得证4【2019年江苏23】设xR，解不等式|x|+|2x1|2【解答】解：|x|+|2x1|，|x|+|2x1|2，或或，x1或x或x，不等式的解集为x|x或x15【2018年江苏24】若x，y，z为实数，且x+2y+2z6，求x2+y2+z2的最小值【解答】解：由柯西
7、不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）（x+2y+2z）2，x+2y+2z6，x2+y2+z24是当且仅当时，不等式取等号，此时x，y，z，x2+y2+z2的最小值为46【2018年新课标1理科23】已知f（x）|x+1|ax1|（1）当a1时，求不等式f（x）1的解集；（2）若x（0，1）时不等式f（x）x成立，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）|x+1|x1|，由f（x）1，或，解得x，故不等式f（x）1的解集为（，+），（2）当x（0，1）时不等式f（x）x成立，|x+1|ax1|x0，即x+1|ax1|x0，即|ax1|1，1ax11，0ax2，x（0，1），
8、a0，0x，a2，0a2，故a的取值范围为（0，27【2018年新课标2理科23】设函数f（x）5|x+a|x2|（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）1，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）5|x+1|x2|当x1时，f（x）2x+40，解得2x1，当1x2时，f（x）20恒成立，即1x2，当x2时，f（x）2x+60，解得2x3，综上所述不等式f（x）0的解集为2，3，（2）f（x）1，5|x+a|x2|1，|x+a|+|x2|4，|x+a|+|x2|x+a|+|2x|x+a+2x|a+2|，|a+2|4，解得a6或a2，故a的取值范围（，62，+）8【2
9、018年新课标3理科23】设函数f（x）|2x+1|+|x1|（1）画出yf（x）的图象；（2）当x0，+）时，f（x）ax+b，求a+b的最小值【解答】解：（1）当x时，f（x）（2x+1）（x1）3x，当x1，f（x）（2x+1）（x1）x+2，当x1时，f（x）（2x+1）+（x1）3x，则f（x）对应的图象为：画出yf（x）的图象；（2）当x0，+）时，f（x）ax+b，当x0时，f（0）20a+b，b2，当x0时，要使f（x）ax+b恒成立，则函数f（x）的图象都在直线yax+b的下方或在直线上，f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3，故当且仅当a3且
10、b2时，不等式f（x）ax+b在0，+）上成立，即a+b的最小值为59【2017年江苏24】已知a，b，c，d为实数，且a2+b24，c2+d216，证明ac+bd8【解答】证明：a2+b24，c2+d216，令a2cos，b2sin，c4cos，d4sinac+bd8（coscos+sinsin）8cos（）8当且仅当cos（）1时取等号因此ac+bd8另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2（a2+b2）（c2+d2）41664，当且仅当时取等号8ac+bd810【2017年新课标1理科23】已知函数f（x）x2+ax+4，g（x）|x+1|+|x1|（1）当a1时，求不等式f（x）g（x
11、）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）x2+x+4，是开口向下，对称轴为x的二次函数，g（x）|x+1|+|x1|，当x（1，+）时，令x2+x+42x，解得x，g（x）在（1，+）上单调递增，f（x）在（1，+）上单调递减，此时f（x）g（x）的解集为（1，；当x1，1时，g（x）2，f（x）f（1）2当x（，1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（1）f（1）2综上所述，f（x）g（x）的解集为1，；（2）依题意得：x2+ax+42在1，1恒成立，即x2ax20在1，1恒成立，则只需，解得1a1，故a的取值范围
12、是1，111【2017年新课标2理科23】已知a0，b0，a3+b32证明：（1）（a+b）（a5+b5）4；（2）a+b2【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）（）2（a3+b3）24，当且仅当，即ab1时取等号，（2）a3+b32，（a+b）（a2ab+b2）2，（a+b）（a+b）23ab2，（a+b）33ab（a+b）2，ab，由均值不等式可得：ab（）2，（a+b）32，（a+b）32，a+b2，当且仅当ab1时等号成立12【2017年新课标3理科23】已知函数f（x）|x+1|x2|（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求
13、m的取值范围【解答】解：（1）f（x）|x+1|x2|，f（x）1，当1x2时，2x11，解得1x2；当x2时，31恒成立，故x2；综上，不等式f（x）1的解集为x|x1（2）原式等价于存在xR使得f（x）x2+xm成立，即mf（x）x2+xmax，设g（x）f（x）x2+x由（1）知，g（x），当x1时，g（x）x2+x3，其开口向下，对称轴方程为x1，g（x）g（1）1135；当1x2时，g（x）x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为x（1，2），g（x）g（）1；当x2时，g（x）x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x2，g（x）g（2）4+2+31；综上，g（x）max，m的取值范围
14、为（，绝对值不等式的解法和不等式的证明 是考查的重点，解题时常用到分类讨论解绝对值不等式，利用均值不等式、柯西不等式证明不等式，考查学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、数学运算能力，题型以解答题为主，中等难度.1已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求实数的取值范围【答案】（1）或；（2）空集.【解析】解：（1）不等式，即.可得，或或，解得或，所以不等式的解集为.（2）当时，所以，由得，即，则，该不等式无解，所以实数的取值范围是空集（或者）.2已知（1）求不等式的解集；（2）设、为正实数，且，求证：【答案】(1) (2)见证明【解析】（1）时，由，即，时，由，即，时，由，可
15、知无解，综上，不等式的解集为；（2），且为正实数，又为正实数，可以解得3选修45：不等式选讲已知函数.（1）当，求不等式的解集；（2）对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，为：当时，不等式为：，解得：，无解当时，不等式为：，解得：，此时当时，不等式为：，解得：，此时综上所述，不等式的解集为（2）对于任意实数，不等式恒成立等价于因为，当且仅当时等号成立所以因为时，函数单调递增区间为，单调递减区间为当时，又，解得：实数的取值范围4选修4-5不等式选讲 已知关于的不等式的解集为，其中.（1）求的值；（2）若正数，满足，求证：.【答案】（1）（2）见证
16、明【解析】（1）由题意知：即或化简得：或 不等式组的解集为，解得：（2）由（1）可知，由基本不等式有：，三式相加可得：，即：5选修4-5：不等式选讲已知函数（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，当时，不等式等价于，解得，；当时，不等式等价于，解得，；当时，不等式等价于，解得，.综上所述，原不等式的解集为.（2）由，得，而，（当且仅当时等号成立）由题可知，即，解得实数的取值范围是.6已知函数.（）当时，求不等式的解集；（）若时，不等式成立，求的取值范围.【答案】（I）；（II）【解析】（I）当时，原不等式即，即.当时，解得，；当时，
17、无解；当时，解得，；综上，原不等式的解集为（II）由得（*）当时，（*）等价于 即，所以恒成立，所以 当时，（*）等价于 即，所以恒成立，所以 综上，的取值范围是7已知函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）设，且当，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，不等式化为：当时，不等式化为，解得：当时，不等式化为，解得：当时，不等式化为，解得：综上，原不等式的解集为（2）由，得，又则不等式化为：得对都成立 ，解得：又，故的取值范围是8已知函数（）求不等式的解集；（）若函数的定义域为，求实数的取值范围【答案】（I）（II）【解析】解：（I）由已知不等式，得，当时，不等式为，解得，所以；
18、当时，不等式为，解得，所以；当时，不等式为，解得，此时无解综上：不等式的解集为（II）若的定义域为，则恒成立，当且仅当时取等号，即所以实数的取值范围是9已知函数（）解关于的不等式；（）若恒成立，求实数的取值范围【答案】（）；（）.【解析】解：（I）当时，不等式为：，解得，故当时，不等式为：，解得，故1x3，当时，不等式为：，解得，故综上，不等式的解集为（II）由恒成立可得恒成立又，故在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，解得即的最值范围是10已知函数.（）解不等式；（）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.【答案】（）；（）.【解析】（）由题意， ，所以等价于或或.解
19、得：或，所以不等式的解集为；（）由(1)可知,当时, 取得最小值, 所以，即，由柯西不等式得，整理得，当且仅当时, 即时等号成立.所以的最小值为.11已知函数.（）求时，的解集；（）若有最小值，求的取值范围，并写出相应的最小值.【答案】（）；（）见解析.【解析】（）当时，当时解得当时恒成立当时解得综上可得解集.（）当，即时，无最小值；当，即时，有最小值；当且，即时， 当且，即时， 综上：当时，无最小值；当时，有最小值；当时， ；当时， ；12选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设集合满足：当且仅当时，若，求证：.【答案】(1) ；(2)见解析.【解析】（1） 当 时，
20、，得 ，故； 当 时， ，得 ，故；当 时， ，得 ，故；综上，不等式的解集为 （2）由绝对值不等式的性质可知等价于，当且仅当，即 时等号成立，故 所以，所以，即.13选修45：不等式选讲 已知函数（1）若，求不等式的解集.（2）对任意的，有，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1），所以解之得不等式的解集为.(2)当时，由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合，所以，所以，当时，不等式恒成立，当时，由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合，由题得，所以m没有解.综上，.14已知（1）证明；（2）若，记的最小值为，解关于的不等式【答案】(1)见证明；(2) 【解析】（1）当且仅当,等号成立（2），当且仅当a=b=c等号成立由不等式即 由得：不等式的解集为15选修45：不等式选讲已知函数，。（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求实数的取值范围。【答案】(1) .(2) .【解析】（1）当时，.当时，原不等式可化为，化简得，解得，；当时，原不等式可化为，化简得，解得，；当时，原不等式可化为，化简得，解得，；综上所述，不等式的解集是；（2）由题意知，对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，当时，对任意的，恒成立，即实数的取值范围为.- 22 - 版权所有高考资源网