1、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍1二、典型题型1题型一：倒序相加法1题型二：通项为型求和4题型三：通项为型求和7三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练12一、必备秘籍1、倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.2、分组求和法2.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.2.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.二、典型题型题型一：倒序相加法例题1（2023全国高三专题练习）已知函数(1
2、)求证：函数的图象关于点对称；(2)求的值【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，所以，所以，即函数的图象关于点对称.（2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.因为，所以（倒序），又由（1）得，所以，所以.例题2（2023秋江苏高二专题练习）设函数，设，(1)计算的值(2)求数列的通项公式【答案】(1)2(2)【详解】（1）；（2）由题知，当时，又，两式相加得，所以，又不符合，所以.例题3（2023全国高二专题练习）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为(1)求证：点的纵坐标为定值；(2)若且求；【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）证明：设
3、，因为，故可得， 由知，故，故.故点的纵坐标为定值.（2）由（1）知，两式相加得：，故.例题4（2023秋山东青岛高二山东省青岛第五十八中学校考期末）已知函数满足，若数列满足：.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)，；【详解】（1）因为,由,则,所以可得：，故，.例题5（2023全国高二专题练习）已知为等比数列，且，若，求的值【答案】2021【详解】因为为等比数列，所以，因为，所以，同理可得，所以题型二：通项为型求和例题1（2023贵州六盘水统考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，等比数列的各项均为正数，且满足，.(1)求数列与的通项公式；(2)记，求数列的前n项和.【答案】(1)，(2)【
4、详解】（1）记等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则由题可得，解得，又等比数列的各项均为正数，所以，所以，所以，.（2）由（1）可得，所以例题2（2023春黑龙江齐齐哈尔高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考阶段练习）已知各项均为正数的等差数列的首项，成等比数列；(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：设等差数列的公差为，又因为，成等比数列，所以，即，整理得：，又因为，解得或(舍)则有，所以数列的通项公式为；（2）解：因为，所以，所以.所以.例题3（2023春吉林长春高二长春外国语学校校考期中）已知等比数列中，(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的
5、前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设公比是，则，因此，所以；（2）由（1），例题4（2023秋江苏无锡高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知等差数列，为其前n项和，(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以.（2），数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的前n项和为.例题5（2023秋山东济南高三统考开学考试）等差数列满足，正项等比数列满足，是和的等比中项(1)求和的通项公式；(2)记，求数列的前项和【答案】(1)，；(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意可得：，解得，所以，；又且
6、，所以，所以（2）因为，所以.题型三：通项为型求和例题1（2023海南统考模拟预测）在成等比数列，且；，数列是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答问题：已知各项均是正数的数列的前项和为，且_(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)(2)【详解】（1）若选择条件：根据题意，由，得当时，两式相减得，化简得或（舍），所以当时，数列是公差为2的等差数列，则又由，得，解得，所以当时，解得，满足上式，故若选择条件：由题设知，则当时，由，得，解得，故当时，当时，也满足上式，故（2），当为偶数时，当为奇数时，故例题2
7、（2023秋浙江高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）设数列的前项和为，已知(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前的项和【答案】(1)(2)【详解】（1）由，得，两式相减得令数列是以1为首项，3为公比的等比数列，（2）由题意可得，,，则，得：,例题3（2023全国高三专题练习）已知数列满足 求数列的前n项和【答案】【详解】当n为奇数时，当n为偶数时，综上所述， 例题4（2023河南郑州模拟预测）已知数列满足：，(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和【答案】(1)(2)且【详解】（1），当时，检验知：当时上式也成立，故（2） 当为偶数时，；当为奇数时，且，又时满足上式，此时；且.例题5
8、（2023全国高三专题练习）已知正项数列的前n项和，且，数列为单调递增的等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.【答案】(1)，(2)【详解】（1）由可知，则化简可得：，即，数列是以2为公差的等差数列，由可知，又由为递增的等比数列，且，即，解得，.（2）依题意可知，因此,当为偶数时，原式，当为奇数时，原式，综上，.三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练一、单选题1（2023秋山东潍坊高三山东省安丘市第一中学校考阶段练习）已知函数，数列为等比数列，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则（）AB2017C4034D8068【答案】C【详解】用倒序相加法：令则也
9、有由，即有，可得：，于是由两式相加得，所以故选：C2（2023秋江苏高二专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ）A2022B4044C2023D4046【答案】D【详解】因为正数数列是公比不等于1的等比数列，且，所以，又函数，令，则，.故选：D.二、填空题3（2023全国高三专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 .【答案】4038【详解】正数数列是公比不等于1的等比数列，则，由，当时，于是，令，则因此，所以.故答案为：40384（2023全国高三专题练习）德国大数学家高斯年少成名
10、，被誉为数学界的王子在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成因此，此方法也称为高斯算法现有函数，则的值为 .【答案】1009【详解】由函数，得，令，则，两式相加得，解得，所以所求值为1009.故答案为：1009三、解答题5（2023春江西萍乡高二统考期末）已知函数关于点对称，其中为实数.(1)求实数的值；(2)若数列的通项满足，其前项和为，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题知，即，整理得，解得 ；（2）由题知，且，则，又，故，即.6（2023秋广东广州高三广州市真光中学校考阶段练习）已知数列为非零数列，且满足(1)求数列的通
11、项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，解得，当时，由，得，两式相除得：，即，当时，也满足，所以（2）由（1）可知，所以，所以，.7（2023春云南曲靖高三校联考阶段练习）已知等差数列，其前项和为.满足，且6是和的等比中项.(1)求的通项公式；(2)设的前项和为，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，可得，又因为6是和的等比中项，则，可得，则，解得，所以的通项公式为.（2）由（1）可得：，则，所以.8（2023河南校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足(1)求数列的通项公式；(2)定义，记，求数列的前20项和【答案】(1)， (
12、2)【详解】（1）因为，当时，解得；当时，所以，即，所以，即是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，则（2）因为，即数列为递增数列，即数列单调递减，所以当时，当时，所以所以9（2023秋四川成都高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）各项都为正数的数列的前n项和为，已知.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，数列满足，数列的前n项和为，当n为偶数时，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，即,解得或（负值舍去），当时，两式相减得：，因为，所以，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列.所以.（2）因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等差数列，所以，当n为偶数时，.10（202
13、3秋江西宜春高三校考开学考试）已知在正项数列中，当时，.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足，为数列的前项和，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解：由，得，的各项都为正数，故是首项为，公比为的等比数列，.（2）证明：由，因为，所以，所以，所以.11（2023春浙江高三校联考阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且满足，数列满足：，(1)求数列，的通项公式；(2)设数列的通项，求数列的前n项和【答案】(1)(2)【详解】（1）设数列的公比为q，因为，即，得，解得或，当时，不合题意，舍去，所以，由，解得，所以，对于，因为，当时，则，当时，由得，即，又，也适合上式，故，采用累乘
14、法求通项得，所以（2）由（1）可得：，则，则数列的前n项和，当为偶数，时，采用分组求和：，所以；当为奇数，且时，为偶数，由（1）中结论得，此时，当时，也适合上式，所以.综上所述，12（2023全国高二专题练习）已知数列中，且点在函数的图像上(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）解：由已知得：，即，根据等差数列的定义知数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以.（2）由已知得：，为偶数时，；为奇数时，所以.13（2023春安徽阜阳高二安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知数列的各项均为正数，前项和为， (1)求数列的通项公式；(2)设 ，求数列的前项和【答案】(1)(2)【详解】（1）由得时，两式相减得,整理得 因为，所以,所以数列是以为公差的等差数列在中令解得所以（2）令数列的前项和为当为偶数时， 当为奇数时，为偶数， 即 所以
