1、专题05 定角定高（专项训练）1（2020雁塔区校级二模）如图，在四边形ABCD中，ABADCD4，ADBC，B60，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且EAF60，则AEF的面积的最小值是 【答案】4【解答】解：将ADF绕点A顺时针旋转120到ABM，由旋转得：BMDF，AMAF，ABMD120，MABFAD，ABC60，ABM+ABC180，M、B、E共线，MAEMAB+BAEFAD+BAE60，EAF60，AEAE，FAEMAE（SAS），MEAFEA，过A作AHBC于H，作AKEF于K，AHAKABsin602，作AEF的外接圆O，连接OA、OE、OF，过O作ONEF于N，EAF
2、60，EOF120，NOF60，设EF2x，则NFx，RtONF中，ONx，OFx，ON+OAOF+ONx，OA+ONAK，x2，x2，SAEFEFAK2x4，AEF面积的最小值是42（2020春和平区期中）如图，四边形ABCD中，BAD135，B60，D120，AD5，AB6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，EAF45，AEF面积的最小值 【答案】【解答】解：如图，过点A作AMBC于M，过点E作EHAF于H，ANCD，交CD的延长线于N，B60，AMBC，BAM30，BM3，AM3，ADC120，ADN60，NAD30，DNAD，AN，BAD135，EAF45，BAM30，MAE+DA
3、F60，又ADNDAF+DFA60，MAEAFD，又AMEN90，AFNEAM，设MEx，则AE，AF，EAF45，HEAF，HEAE，AEF面积AFHE（）（），当a，b为正数时，（ab）20，a2+b22ab，AEF面积（）2，AEF面积的最小值为，故答案为3【问题提出】（1）如图，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，ADl于点D且AD4，BAC45求BC的最小值；【问题探究】（2）如图，在四边形ABCD中，A45，BD90，CBCD2，点E，F分别为AB，AD上的点，且CECF，求四边形AECF面积的最大值；【问题解决】（3）如图，某园林对一块矩形花圃ABCD进行区域划分，点K
4、为BC的中点，点M，N分别为AB，DC上的点，且MKN120，MK，KN将花圃分为三个区域已知AB7m，BC12m，现计划在BMK和CNK中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值【解答】解：（1）如图中，作ABC的外接圆O，连接OA、OB、OC，过点O作OEBC于点E，则BOC2BAC，OAOBOC，BECEBC，BAC45，BOC90，OBCOCB45设 OAOBOCr，则OEr，BC2BEr，AO+OEAD，AD4，r+r4，解得：r8+4，BCr8+8，BC最小值为8+8SABCBCAD，ABC面积的最小值为：（8+8）416+16；（3）分别延长AB、DC交于点M，如图
5、所示：则ADM、CBM均为等腰直角三角形，CBCD2，BM2，CM2，ADDM2+2，S四边形ABCDSADMSCBMDM2BC2（2+2）2224+4，BCD360ACDACBA360459090135，将CBE绕点C顺时针旋转135得到CDE，则A、D、E三点共线，S四边形AECFS四边形ABCD（SCBE+SCDF）S四边形ABCDSCEF，S四边形ABCD为定值，当SCEF取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，ECF1359045，以EF为斜边作等腰RtOEF，则CEF的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，过点O作OJDF于点J设CEF的外接圆半径为rm，则EFr，又OJ+OC
6、CD，r+r2，r42，当点O在CD上时，EF最短，此时EFr44，SCEF最小（44）244，S四边形AECF最大S四边形ABCDSCEF最小4+4（44）8（3）如图中，将BKM绕点K顺时针旋转得到KCM，此时N，C，M共线，作KNM的外接圆O，连接OK，ON，OM，过点O作OHNM于点H设OKONOMr，则NMr，OHr，OK+OHKC，r+r6，r4，NMr4，KNM的面积的最小值为4612（m2），BMK的面积+KCN的面积的最小值为12，五边形AMKND的面积的最大值71212（8412）（m2），种植乙花面积的最大值为（8412）（m2）4（2020渭滨区二模）问题提出（1）如图
7、，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，ADl且AD3，BAC60，求ABC面积的最小值；问题解决（3）如图，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，A45，BD90，CBCD6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CECF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）以AB为直径作圆，在圆上任取一点（不与点A、B重合）C，连接AC、BC，如图所示：则ACB90，RtACB即为所求；（2）作ABC的外接圆O，连接OA、
8、OB、OC，过点O作OEBC于点E，如图所示：则BOC2BAC，OAOBOC，BECEBC，BAC60，BOC120，OBCOCB30，设 OAOBOCr，则OEr，BC2BEr，AO+OEAD，AD3，r+r3，解得：r2，BCr2，BC最小值为2，SABCBCAD，ABC面积的最小值为：233；（3）四边形AECF的面积存在最大值，理由如下：分别延长AB、DC交于点M，如图所示：则ADM、CBM均为等腰直角三角形，CBCD6m，BM6m，CM6m，ADDM（6+6）m，S四边形ABCDSADMSCBMDM2BC2（6+6）262（36+36）m2，BCD360ACDACBA360459090135，将CBE绕点C顺时针旋转135得到CDE，则A、D、E三点共线，S四边形AECFS四边形ABCD（SCBE+SCDF）S四边形ABCDSCEF，S四边形ABCD为定值，当SCEF取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，ECF1359045，以EF为斜边作等腰RtOEF，则CEF的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，设CEF的外接圆半径为rm，则EFrm，又OC+ODCD，r+r6，r126，当点O在CD上时，EF最短，此时EFr（1212）m，SCEF最小（1212）6（3636）（m2），S四边形AECF最大S四边形ABCDSCEF最小36+36（3636）72（m2）
