1、专题05 因式分解一、因式分解意义【高频考点精讲】1分解因式的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。2 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式。因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式。【热点题型精练】1（2022衡水模拟）对于x3xyx（13y），（x+3）（x1）x2+2x3，从左到右的变形，表述正确的是（）A都是因式分解B都是乘法运算C是因式分解，是乘法运算D是乘法运算，是因式分解解：x3xyx（13y），从左到右的变形是因式分解；（x+3）（x1）x2+2x3，从左到右的变
2、形是整式的乘法，不是因式分解；所以是因式分解，是乘法运算答案：C2（2022成都模拟）若把多项式x2+mx12分解因式后含有因式x6，则m的值为（）A2B2C4D4解：设x2+mx12（x6）（x+a）x2+（a6）x6a，可得ma6，6a12，解得：a2，m4，答案：D3（2022济宁中考）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）Ax2x1x（x1）1Bx21（x1）2Cx2x6（x3）（x+2）Dx（x1）x2x解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；答案：C4（2022永州中考）下列因式分解正
3、确的是（）Aax+aya（x+y）+1B3a+3b3（a+b）Ca2+4a+4（a+4）2Da2+ba（a+b）解：A选项，ax+aya（x+y），故该选项不符合题意；B选项，3a+3b3（a+b），故该选项符合题意；C选项，a2+4a+4（a+2）2，故该选项不符合题意；D选项，a2与b没有公因式，故该选项不符合题意；答案：B5（2022柳州中考）把多项式a2+2a分解因式得（）Aa（a+2）Ba（a2）C（a+2）2D（a+2）（a2）解：a2+2aa（a+2）答案：A二、提公因式法【高频考点精讲】1提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式
4、乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 2具体方法 （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，字母的指数应取次数最低的。取相同的多项式，多项式的次数应取最低的。（2）如果多项式的第一项为负，一般要提出“”，使括号内第一项的系数为正，提出“”时，多项式的各项都要变号。【热点题型精练】5（2022柳州中考）把多项式a2+2a分解因式得（）Aa（a+2）Ba（a2）C（a+2）2D（a+2）（a2）解：a2+2aa（a+2）答案：A6（2022石家庄模拟）将多项式（a1）2a+1因式分解，结果正确的是（）Aa1B（a1）（a2）C（a1）2D（
5、a+1）（a1）解：（a1）2a+1（a1）2（a1）（a1）（a11）（a1）（a2）答案：B7（2022广州中考）分解因式：3a221ab3a（a7b）解：3a221ab3a（a7b）答案：3a（a7b）8（2022遵义模拟）如图，矩形的周长为10，面积为6，则m2n+mn2的值是 30解：根据题意得：2（m+n）10，mn6，整理得：m+n5，mn6，则原式mn（m+n）6530答案：30三、公式法【高频考点精讲】1如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫做公式法。平方差公式：a2b2（a+b）（ab）；完全平方公式：a22ab+b2（ab）2；2概括整合：（1）能够
6、运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。（2）能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。【热点题型精练】9（2022河池中考）多项式x24x+4因式分解的结果是（）Ax（x4）+4B（x+2）（x2）C（x+2）2D（x2）2解：原式（x2）2答案：D10（2022衡水模拟）若81012，则k（）A12B10C8D6解：方程两边都乘以k，得（921）（1121）81012k，（9+1）（91）（11+1）（111）81012k，8012081012k，k10经检验k1
7、0是原方程的解答案：B11（2022荆门中考）对于任意实数a，b，a3+b3（a+b）（a2ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（）Aa3b3（ab）（a2+ab+b2）Ba3b3（a+b）（a2+ab+b2）Ca3b3（ab）（a2ab+b2）Da3b3（a+b）（a2+abb2）解：a3+b3（a+b）（a2ab+b2），a3b3a3+（b3）a3+（b）3a+（b）（a2a（b）+（b）2（ab）（a2+ab+b2）答案：A12（2022盘锦中考）分解因式：x2y2xy2+y3y（xy）2解：x2y2xy2+y3y（x22xy+y2）y（xy）2答案：y（xy）213（2022黔东南
8、州中考）分解因式：2022x24044x+20222022（x1）2解：原式2022（x22x+1）2022（x1）2答案：2022（x1）214（2022绥化中考）因式分解：（m+n）26（m+n）+9（m+n3）2解：原式（m+n）22（m+n）3+32（m+n3）2答案：（m+n3）2四、十字相乘法【高频考点精讲】1x2+（p+q）x+pq型式子（1）式子特点：二次项的系数是1；常数项是两个数的积。（2）x2+（p+q）x+pq（x+p）（x+q）2ax2+bx+c（a0）型式子（1）把二次项系数a分解成两个因数a1、a2的积a1a2，把常数项c分解成两个因数c1、c2的积c1c2，并使
9、a1c2+a2c1=b。（2）ax2+bx+c（a1x+c1）（a2x+c2）【热点题型精练】15（2022贺州模拟）把多项式x2+2x8因式分解，正确的是（）A（x4）2B（x+1）（x8）C（x+2）（x4）D（x2）（x+4）解：x2+2x8（x2）（x+4），答案：D16（2022上海模拟）如果把二次三项式x2+2x+c分解因式得x2+2x+c（x1）（x+3），那么常数c的值是（）A3B3C2D2解：x2+2x+c（x1）（x+3），（x1）（x+3）x2+2x3，c3答案：B17（2022内江中考）分解因式：a43a24（a2+1）（a+2）（a2）解：a43a24（a2+1）（a
10、24）（a2+1）（a+2）（a2），答案：（a2+1）（a+2）（a2）18（2021荆门中考）把多项式x3+2x23x因式分解，结果为 x（x+3）（x1）解：原式x（x2+2x3）x（x+3）（x1），答案：x（x+3）（x1）19（2022赣州模拟）已知：整式Ax（x+3）+5，整式Bax1（1）若A+B（x+2）2，求a的值；（2）若AB可以分解为（x2）（x3），求A+B解：（1）Ax（x+3）+5x2+3x+5，A+Bx2+3x+5+ax1x2+（3+a）x+4A+B（x+2）2，A+B（x+2）2x2+4x+4x2+（3+a）x+43+a4a1（2）由（1）得：Ax2+3x+5
11、ABx2+3x+5（ax1）x2+（3a）x+6x2+（3a）+6（x2）（x3）x2+（3a）x+6x25x+63a5a8A+Bx2+11x+4五、因式分解的应用【高频考点精讲】1 利用因式分解解决求值问题。2 利用因式分解解决证明问题。3利用因式分解简化计算问题。【热点题型精练】20（2022黔西南州中考）已知ab2，a+b3，求a2b+ab2的值是 6解：a2b+ab2ab（a+b），ab2，a+b3，原式236答案：621（2022广安中考）已知a+b1，则代数式a2b2+2b+9的值为 10解：a2b2+2b+9（a+b）（ab）+2b+9又a+b1，原式ab+2b+9a+b+910
12、22（2021绵阳中考）若xy，xy，则x2y20解：，（xy）23，x22xy+y23，（x2y2）2（x2+y2）24x2y2，x2y20，答案：023（2022西宁中考）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a3ab4+6b因式分解【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式（2a3ab）（46b）a（23b）2（23b）（23b）（a2）解法二：原式（2a4）（3ab6b）2（a2）3b（a2）（a2）（23b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分
13、解法分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a22abbx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（ab），斜边长是3，小正方形的面积是1根据以上信息，先将a42a3b+2a2b22ab3+b4因式分解，再求值解：（1）原式（x2a2）+（x+a）（x+a）（xa）+（x+a）（x+a）（xa+1）；（2）原式（axbx）+（a22ab+b2）x（ab）+（ab）2（ab）（x+ab）；（3）原式（a4+2a2b2+b4）（2ab3+2a3b）（a2+b2）22ab（a2+b2）（a2+b2）（a2+b22ab）（a2+b2）（ab）2，直角三角形的两条直角边长分别是a和b（ab），斜边长是3，小正方形的面积是1，a2+b2329，（ab）21，原式9
