1、 专题05 参数方程与极坐标 本专题所说的参数方程不仅指直线和圆锥曲线的参数方程，还包括在解题过程中要根据具体情况自行选取的参数.参数在解题过程中起到“桥梁”作用，用参数沟通其他量之间的关系，最后消去参数，达到解题目的.本专题思维导图如右参数方程与极坐标方程把原题给出的参数方程或极坐标方程化成普通方程解题，或直接利用两种方程解题原题给出普通方程，根据两种方程中相关量的几何意义，选择一种方程解题利用参数方程或极坐标简化计算参数作用似桥梁一桥飞架联系畅直线曲线都已知其他选参代表强例1在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是_.思路点拨要求，就要把P的
2、坐标表示出来，注意到曲线是半圆，想到圆的参数方程，转化为三角函数最值问题；当然，P的坐标也可以用（x，y）表示，最终可转化为x代数式求最值；由于是定值，由数量积的投影几何意义可知，只要求在上投影的最大值，于是，有下面三种解法：解1设，则，.因为，所以，故解2 设，则那么，所以，当且仅当，即时等号成立；当时，所以解3由，的最大值就是在上投影的最大值的倍，这只要作的垂线且与半圆相切，如图的点.当位于时，此时直线恰与垂直时数量积最小，最小值为0.设直线的方程为圆心到直线的距离解得（舍），因此，在.所以=综上所述，的取值范围是例2设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，
3、且=2,则直线OM的斜率的最大值为 （ ）（A） （B） （C） （D）1思路点拨设出点，用参数t表示x，y，把直线OM的斜率表示成t的函数，然后求最值.设（不妨设），则，所以即所以，所以，故选（C）.例3在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为.（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.思路点拨第（1）题将参数方程化为直角方程后，直接联立方程求解即可.第（2）题将参数方程直接代入距离公式即可.满分解答将曲线C 的参数方程化为直角方程为，直线化为直角方程为+.（1）当a=-1时，代入可得直线为，由解得或，故而交点为或.（2）点
4、到直线+的距离为，其中.依题意得：，若，则当时最大，即，；当，则当时最大，即， ，综上或.例4 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于不同的两点，指出的范围，并求的取值范围.思路点拨 (1)将曲线的参数方程先消参化简得到直角坐标方程,再代入及化简即可.(2) 将代入曲线的极坐标方程得出韦达定理,再根据的几何意义代入韦达定理,并利用三角函数的最值问题求解即可.也可以把极坐标系下的方程用参数方程（t为参数），代入圆的方程，由OP1=t1，OP2=t2，并利用
5、韦达定理即可得所求表达式。当然若利用几何意义，则更简单。【满分解答】（1）将曲线C的参数方程,消去参数,得.将及代入上式,得.（2）解1（用极坐标）依题意由知.将代入曲线C的极坐标方程,得.设,则，所以.因为,所以,则,所以的取值范围为.解2 （用直线的参数方程）设直线l的参数方程（t为参数），代入圆的方程整理得 t2-23cos0+2sin0t+3=0.，以下同解1.解3 ，当直线l与圆相切时，此时的最小值为233，当直线l过圆心时，此时的最大值为43。本题本意考查圆参数方程化简极坐标的方法,同时也考查了极坐标的几何意义与三角函数求最值的方法.实际上，把直线的极坐标方程化成直角坐标的参数方程
6、也可以，利用切割线定理则十分简单。例5 已知抛物线，过点的直线交于两点，圆是以线段为直径的圆(1) 证明：坐标原点在圆上；(2) 设圆过点，求直线与圆的方程思路点拨第（1）只需证明，可以用向量的数量积为0，也可以利用斜率之积等于-1.第（2）题设点A、B坐标可以根据抛物线方程设出参数式，也可以设普通形式.求圆方程需要确定圆心和半径，根据不同选择参数的方法，用参数表示圆心和半径，再根据其他条件求出圆心和半径即可.满分解答解1 （1）设，则直线AB的斜率是，所以AB的方程为 ，令y=0得直线与x轴交点横坐标，即，因此，因此命题得证(2) 根据题意，有 解得或因为直线的方程为，圆的圆心坐标为，所以当
7、时，直线的方程为，所以圆的圆心坐标为，圆的方程为.当时，直线的方程为，圆的圆心坐标为，圆的方程为.解2 （1）设.由可得，则.又所以.因的斜率与的斜率之积为，所以.故坐标原点在圆上.（2）由（1）可得.故圆心的坐标为，圆的半径，由于圆过点，因此.故，即由（1）可得，所以，解得或.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.例6 已知椭圆是其上顶点，是轴正半轴上的一点。（1）若点在上，且在第一象限，求点的坐标；（2）若，且为直角三角形，求的坐标；（3）若点是上一动点，且不在上顶点，过点，交于点，求直线的方程.思路点拨 第（1）
8、只要解方程组即得。第（2）题要哪个角是直角进行讨论。第（3）题设出P，M的坐标，通过已知条件去表示出点C或Q的坐标，从而求出直线AC的方程。其中点可设，或。满分解答（1）设，则，解得，即.（2）设，则。当时，（舍）；当时，；当时，。综上，。（3）解1 设，由得，即 又在椭圆上，所以 -得.因为点不为上顶点，所以 由得，由得，代入椭圆方程，整理。将式代入得 联立式解得，从而，所以方程.解2 设，则 ，那么 ， 把点C坐标代入椭圆方程得，即。 又，所以，即。因为P不过顶点，所以，从而， 把代入得，即，因为P不过顶点，所以，从而，于是，所以AC直线的方程为例7 如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛
9、物线 若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程； 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和 求证：线段上的中点坐标为； 求的取值范围思路点拨第（2）题中若点、关于直线对称，则直线PQ的方程为y=-x+n,代入直线方程利用韦达定理可得中点坐标，利用判别式可得不等式，由此解出的取值范围.这里是选n作为参数.也可以用“点差法”，用点、坐标作为参数.满分解答（1）因为与轴的交点坐标为，即抛物线的焦点为，即，所以抛物线方程为.（2）解1 由已知可设直线PQ的方程为y=-x+n,代入抛物线方程整理得y2 +2 py -2pn=0.，即. （*）设点，为PQ中点，则由韦达定理得，代入直线方程解得，所以线段上的中
10、点坐标为.因为在直线y=-x+n上，所以，即，代入（*）得，即，所以. 另解 因为在抛物线焦点区域内，所以，即，所以.（2）解2 设点，则即从而.又关于直线对称，所以，即，.又中点一定在直线上，所以，所以线段的中点坐标为.因为线段PQ的中点坐标为，则即由此可得 即关于y的一元二次方程有两个不等根.所以，即，解得注 此题结论可推广为：若抛物线y2=2px (p0)上存在与坐标轴不对称的两点关于直线：y=kx十m对称，则若用此结论立得 k=1，m=-2，代入上式得3p-43求出范围.满分解答当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，则直线AM的方程为联立并整理得，.解得或，则.因为，所以.因为，所以，整理得，无实根，所以所以的面积为（2）直线AM的方程为，联立并整理得 .解得或，所以，从而.因为，所以，整理得，因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得，即或（也可用“标根法”）解得
