1、桂林十八中18级高三第二次月考试卷数学(文科)一选择题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式与指数不等式的解法化简集合，再由集合交集的定义求解即可.【详解】因为，所以，故选：A.【点睛】本题主要考查一元二次不等式与指数不等式的解法以及集合交集的定义，属于基础题.2. 设，则的虚部为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解：，的虚部为1故选：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念3. 已知命题，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分
2、析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可.【详解】命题“，”的否定为: ，.故选：.【点睛】本题主要考查的是命题及其关系，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，是基础题.4. 记为等差数列的前项和，若，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出【详解】解：36.故选：【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及其性质，还考查了推理能力与计算能力5. 已知，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则故选B【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间
3、变量法，利用转化与化归思想解题6. 函数在的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数为奇函数及，再结合排除法，即可得答案.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数，故排除A；，排除B，C.故选：D.【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.7. 已知在边长为3的等边中，则（ ）A. 6B. 9C. 12D. 6【答案】A【解析】分析】转化,利用数量积的定义即得解.【详解】故选：A【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用以及数量积，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力
4、，属于中档题.8. 设函数，若对于任意的都有成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合三角函数的图象与性质可得，即可得解.【详解】由题意知函数的最小正周期，、分别为函数的最小值和最大值，所以.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，属于基础题.9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图画出主观图，利用锥体体积公式即可求得.【详解】由三视图可知，该几何体是底面是上底为，下底为，高为的直角梯形，高为的四棱锥，.故选：.【点睛】本题主要考查的是由三视图画出主观图，再求出
5、其体积，由三视图画出主观图的步骤和思想方法是：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体的前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整，10. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性与对称性可得最小正周期,再利用函数的性质将自变量转换到求解即可.【详解】,，最小正周期,又,故选：A.【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,需要根据奇偶性推出函数的对称性,再将自变量利用性质转换到已知函数解析式的区间上求解.属于中档题.11. 在平行四边形中，是腰
6、长为2的等腰直角三角形，现将沿折起使二面角的大小为，若，四点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，找出多面体外接球的球心，求其半径，再由球的表面积公式求解【详解】解：取，的中点分别为，过作面的垂线与过作面的垂线，两垂线交点即为所求外接球的球心，取中点，连结，则即为二面角的平面角，且，连，在中，在中，得，即球半径为，球面积为故选：B【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题12. 方程在区间内的所有解之和等于( )A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】【分析】画出函数和的图像，和
7、均关于点中心对称，计算得到答案.【详解】，验证知不成立，故，画出函数和的图像，易知：和均关于点中心对称，图像共有8个交点，故所有解之和等于.故选：.【点睛】本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点中心对称是解题的关键.二填空题13. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】利用三角恒等变换公式，即可得出答案.【详解】，故答案：【点睛】本题考查三角恒等变换公式，属于基础题.14. 已知实数，满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，然后根据的含义，结合图形可得结果.【详解】如图由代表的是过原点的直线的斜率，则所以当过点时，有最小值为
8、故答案为：【点睛】本题考查线非性规划的问题，主要正确理解的含义，属基础题.15. 设数列的前项和为，若，则_【答案】.【解析】【分析】直接利用数列的递推关系式的应用，求出数列的通项公式，进一步求出结果【详解】解：数列的前项和为，由于，所以当时，得：，整理得，所以（常数），所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列所以，整理得所以故答案为：63【点睛】本题考查通过数列的递推关系证明等比数列，以及等比数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力16. 已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，为圆上一点，则的最小值为_.【答案】9【解析】【分析】记双曲线的左焦点为，则，根据
9、双曲线的定义可得，先求出，再由圆的性质，即可得出结果.【详解】记双曲线的左焦点为，则，根据双曲线的定义可得，则，因此，当，三点共线时，取等号；又为圆的圆心，即，且该圆的半径为，则，即，因为为圆上一点，根据圆的性质可得，即，四点共线时，取得最小值.故答案为：.【点睛】本题主要考查利用双曲线的定义域，求出线段和的最值，属于常考题型.三解答题17. 的内角，的对边分别为，为边上一点，.（1）求的长；（2）若，求的长.【答案】（1）；（2）或者.【解析】【分析】（1）利用平方关系求出，再结合正弦定理，即可求解.（2）利用余弦定理即可求解.【详解】由在中，由正弦定理得，即，得；（2）在中，由余弦定理得即
10、：，即：得或者.【点睛】本题考查利用正、余弦定理，解三角形，属于基础题.18. 某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成，5组，得到如图所示的频率分布直方图以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率【答案】（1）23.1；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图得到各组频率，然后由平均数公式求解.（2）由题意
11、可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，利用分层抽样得到应从第1组中抽取2个零件，从第5组中抽取3个零件，然后再利用古典概型的概率求法求解.【详解】（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为，则这批零件长度的平均值为（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，则应从第1组中抽取2个零件，记为A，B；应从第5组中抽取3个零件，记c，d，e.从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de，共10种，其中符合条件的情况有Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，共6种.故所求概率.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及平均数，古典概型的概率的求
12、法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19. 如图，在四棱锥中，是线段上的点，且，平面平面.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据勾股定理以及余弦定理可得，根据面面垂直可得线面垂直，然后进一步可得，最后根据线面垂直的判定定理可得结果.（2）利用等体积法可得，结合面面垂直的性质以及体积公式计算即可.【详解】（1）在直角梯形中， 所以,则，所以，所以又因为平面平面，平面平面所以平面，所以又，所以，所以，,平面故平面（2）作于，平面平面，平面，【点睛】本题考查面面垂直的性质定理以及判定，还考查了使用等体积法计算几何体体积，考查逻辑推理能
13、力以及计算能力，属中档题.20. 已知函数（1）若的图象在处的切线恰好也是图象的切线求实数的值；（2）对于区间上的任意两个不相等的实数且，都有成立试求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求出的图象在处的切线方程为，由，消去整理得得由判别式可求得；（2）由题意可得知，构造函数，则在上单调递减，由在上恒成立可求得试题解析：（1）,， ，又，的图象在处的切线方程为，即，由，消去整理得得则，解得 ；（2）由条件可知，设，则由条件可得在上单调递减， 在上恒成立， 在上恒成立，即在上恒成立， ，当时等号成立，又由条件知，实数的取值范围为.点睛：函数单调性与导函数符
14、号之间的关系要注意以下结论（1）若在内，则在上单调递增（减）（2）在上单调递增（减）（）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0（不要掉了等号）（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解（不要加上等号）21. 已知椭圆的左焦点F在直线上，且.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于A、C两点，线段的中点为M，射线与椭圆交于点P，点O为的重心，探求面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.【答案】（1）；（2）是定值，.【解析】【分析】（1）根据题意，得到，由题中条件列出方程组求解，得出，即可得出椭圆方程；（2）若直线的斜率不存在，先求出此时的面积；若直线的斜
15、率存在，设直线的方程为，设，根据韦达定理，由题中条件，表示出点P的坐标，代入椭圆方程，得出，再得到坐标原点O到直线的距离为，根据三角形面积公式，化简整理，即可得出结果.【详解】（1）直线与x轴的交点为，解得，椭圆的方程为.（2）若直线的斜率不存在，则在轴上，此时，因为点O为的重心，所以，将代入椭圆方程，可得，即，所以；若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得设，则，.由题意点O为的重心，设，则，所以，代入椭圆，得，设坐标原点O到直线的距离为d，则则的面积综上可得，面积S为定值.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中三角形的面积问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质
16、即可，属于常考题型.22. 以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，又在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）已知点在曲线上，到的最短距离为，求此时点的直角坐标.【答案】（1）：，：；（2）.【解析】【分析】(1)利用，,可得曲线的直角坐标方程,将曲线消去参数,可得普通方程,即可得出答案.(2)设点的直角坐标为,利用点到直线的距离公式求出，即可得出答案.【详解】（1）由得，即，把，得，故曲线的直角坐标方程为；因为曲线的参数方程为(为参数).消去参数得曲线的普通方程为.（2）由题意，曲线的参数方程为(为参数)，可设点的
17、直角坐标为，因为曲线是直线，即为点到直线的距离易得点到直线的距离为，此时点的直角坐标为.【点睛】本题考查极坐标与参数方程、点到直线的距离，属于中档题。23. 已知函数.（1）不等式的解集，求.（2）若关于的方程有实数根，求实数的的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号解不等式组，再求并集即可.（2）根据分段函数的单调性求出，解不等式即可得答案.【详解】（1），当时，；当时，；当时，所以不等式的解集.（2）由易知，函数在上递减，在上递增，当时，有最小值，即，.由得只要，解得或.【点睛】本题主要考查分类讨论解绝对值不等式，考查了利用函数单调性求最值，属于基础题.