1、专题05二次函数与相似三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数与相似三角形是中考数学的压轴题，具有一定的难度，也是中考考频比较高的，本节未同学们提供解题途径，希望能够助同学们轻松解题。【解题思路】关函数与相似三角形的问题一般 三个解决途径： (1)求相似三角形的第三个顶点时， 先要分析已知三角形的边和角的特 点，进而得出已知三角形是否为特 殊三角形根据未知三角形中已知 边与已知三角形的可能对应边分类 讨论； (2)利用已知三角形中对应角，在未 知三角形中利用勾股定理、三角函 数来推导边的大小； (3)若两个三角形的各边均未给出， 则应先设所求点的坐标进而用函数 解析式来表示各边的长度，
2、之后利 用相似来列方程求解【典例分析】【典例1】（2019娄底）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，3）点P、Q是抛物线yax2+bx+c上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）直线OQ与线段BC相交于点E，当OBE与ABC相似时，求点Q的坐标【变式1-1】（2022贵港）如图，已知抛物线yx2+bx+c经过A（0，3）和B（，）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PDx轴交AB于点D（1）求该抛物线的表达式；（2）若以A，P，D为顶点的三角形与AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标
3、【变式1-2】（2022绵阳）如图，抛物线yax2+bx+c交x轴于A（1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使APB+ACB180，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MFl，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由【典例2】（2022玉林）如图，已知抛物线：y2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧
4、），与y轴交于点C，对称轴是直线x，P是第一象限内抛物线上的任一点（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与BMH相似，求点P的坐标【变式2-1】（2022辽宁）抛物线yax22x+c经过点A（3，0），点C（0，3），直线yx+b经过点A，交抛物线于点E抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标【变式2-2】（2022桂林）如图，抛物线y
5、x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）过点P作PMy轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标【变式2-3】（2021黑龙江）如图，抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与BOC相似，请直接写出点P的坐标专
6、题05二次函数与相似三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数与相似三角形是中考数学的压轴题，具有一定的难度，也是中考考频比较高的，本节未同学们提供解题途径，希望能够助同学们轻松解题。【解题思路】关函数与相似三角形的问题一般 三个解决途径： (1)求相似三角形的第三个顶点时， 先要分析已知三角形的边和角的特 点，进而得出已知三角形是否为特 殊三角形根据未知三角形中已知 边与已知三角形的可能对应边分类 讨论； (2)利用已知三角形中对应角，在未 知三角形中利用勾股定理、三角函 数来推导边的大小； (3)若两个三角形的各边均未给出， 则应先设所求点的坐标进而用函数 解析式来表示各边的长度，之
7、后利 用相似来列方程求解【典例分析】【典例1】（2019娄底）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，3）点P、Q是抛物线yax2+bx+c上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）直线OQ与线段BC相交于点E，当OBE与ABC相似时，求点Q的坐标【解答】解：（1）函数的表达式为：ya（x+1）（x3），将点D坐标代入上式并解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）OBOC3，OCBOBC45，ABCOBE，故OBE与ABC相似时，分为两种情况：当ACBBOQ时，AB4，BC3，AC，过点A作AHBC于点H，SABCAHBCA
8、BOC，解得：AH2，则sinACB，则tanACB2，则直线OQ的表达式为：y2x，联立并解得：x或，故点Q（，2）或（，2），BACBOQ时，tanBAC3tanBOQ，则点Q（n，3n），则直线OQ的表达式为：y3x，联立并解得：x，故点Q（，）或（，）；综上，当OBE与ABC相似时，Q的坐标为：（，2）或（，2）或（，）或（，）【变式1-1】（2022贵港）如图，已知抛物线yx2+bx+c经过A（0，3）和B（，）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PDx轴交AB于点D（1）求该抛物线的表达式；（2）若以A，P，D为顶点的三角形与AOC相似，请直接写出
9、所有满足条件的点P，点D的坐标【解答】解：（1）将A（0，3）和B（，）代入yx2+bx+c，解得，该抛物线的解析式为yx2+2x+3；（3）当AOCDPA时，PDx轴，DPA90，点P纵坐标是3，横坐标x0，即x2+2x+33，解得x2，点D的坐标为（2，0）；PDx轴，点P的横坐标为2，点P的纵坐标为：y22+22+33，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；当AOCDAP时，此时APGACO，过点A作AGPD于点G，APGACO，设点P的坐标为（m，m2+2m+3），则D点坐标为（m，m+3），则，解得：m，D点坐标为（，1），P点坐标为（，），综上，点P的坐标为（2，3），点
10、D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D点坐标为（，1）【变式1-2】（2022绵阳）如图，抛物线yax2+bx+c交x轴于A（1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使APB+ACB180，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MFl，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）顶点D的横坐标为1，抛物线的
11、对称轴为直线x1，A（1，0），B（3，0），设抛物线的解析式为：ya（x+1）（x3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则3a3，解得a1，抛物线的解析式为：y（x+1）（x3）x2+2x+3（2）存在，P（0，1），理由如下：APB+ACB180，CAP+CBP180，点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OBOC3，OCBOBC45，APCABC45，AOP是等腰直角三角形，OPOA1，P（0，1）（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：yx2+2x+3，D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），A（1，0），AD2，DE，AE3AD2DE2+AE2，ADE
12、是直角三角形，且AED90，DE：AE1：3点M在直线l下方的抛物线上，设M（t，t2+2t+3），则t2或t0EF|t2|，MF3（t2+2t+3）t22t，若MEF与ADE相似，则EF：MF1：3或MF：EF1：3，|t2|：（t22t）1：3或（t22t）：|t2|1：3，解得t2（舍）或t3或3或（舍）或，M的坐标为（3，0）或（3，12）或（，）综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（3，12）或（，）【典例2】（2022玉林）如图，已知抛物线：y2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是
13、直线x，P是第一象限内抛物线上的任一点（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与BMH相似，求点P的坐标【解答】解：（1）由题意得：，解得：，抛物线的解析式为：y2x2+2x+4；（2）设点P的坐标为（t，2t2+2t+4），则OHt，BH2t，分两种情况：如图2，CMPBMH，PCMOBC，BHMCPM90，tanOBCtanPCM，2，PM2PC2t，MH2BH2（2t），PHPM+MH，2t+2（2t）2t2+2t+4，解得：t10，t21，P（1，4）；如图3，PCMBHM，则PCMBHM90，过点P作PEy轴于E，P
14、ECBOCPCM90，PCE+EPCPCE+BCO90，BCOEPC，PECCOB，解得：t10（舍），t2，P（，）；综上，点P的坐标为（1，4）或（，）【变式2-1】（2022辽宁）抛物线yax22x+c经过点A（3，0），点C（0，3），直线yx+b经过点A，交抛物线于点E抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标【解答】解：（1）将A（3，0），点C（0，3）代入yax22x+c，解得，yx22x3
15、；（2）C（0，3），D（1，0），F（1，2），CD，CF，DF2，E（2，5），A（3，0），AE5，设Q（x，y），当CDFQAE时，AQ5，EQ5，解得或（舍去），Q（7，5）；当CDFAQE时，AQ5，QE10，解得（舍去）或，Q（12，5）；当CDFEQA时，EQ5，AQ10，解得或（舍去），Q（3，10）；当CDFQEA时，EQ5，AQ5，解得或（舍去），Q（3，5）；综上所述：Q点坐标为（7，5）或（12，5）或（3，10）或（3，5）【变式2-2】（2022桂林）如图，抛物线yx2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于
16、点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）过点P作PMy轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标【解答】解：（1）在yx2+3x+4中，令x0得y4，令y0得x1或x4，A（1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）如图：由在yx2+3x+4得抛物线对称轴为直线x，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），B（4，0），C（0，4）；BN，QNt，PM，CM|t3|，CMPQNB90，CPM和QBN相似，只需或，当时，解得t或t，Q（，）或（，）；当时，解得t或t（舍去），Q（，），综上所述，
17、Q的坐标是（，）或（，）或（，）【变式2-3】（2021黑龙江）如图，抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与BOC相似，请直接写出点P的坐标【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+3过点A（1，0），B（3，0），解得，抛物线的解析式为：yx22x+3；（2）令x0，y3，OCOB3，即OBC是等腰直角三角形，抛物线的解析式为：yx22x+3，抛物线对称轴为：x1，ENy轴，BENBCO，EN2，若PQEOBC，如图所示，过点P作PHED垂足为H，PEH45，PHE90，HPEPEH45，PHHE，设点P坐标（x，x1+2），代入关系式得，x1+2x22x+3，整理得，x2+x20，解得，x12，x21（舍），点P坐标为（2，3），若EPQOCB，如图所示，设P（x，2），代入关系式得，2x22x+3，整理得，x2+2x10，解得，（舍），点P的坐标为（1，2），综上所述点P的坐标为（1，2）或（2，3）
