1、专题05 几何中档题1（2022上海）如图所示，在等腰三角形中，点，在线段上，点在线段上，且，求证：（1）；（2）【答案】见解析【详解】证明：（1），即，在和中，；（2），即2（2021上海）如图，在圆中，弦等于弦，且相交于点，其中、为、中点（1）证明：；（2）连接、，若，证明：四边形为矩形【答案】见解析【详解】（1）证明：连接，（2）证明：连接，设交于，垂直平分线段，四边形是平行四边形，四边形是矩形3（2020上海）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点（1）求证：；（2）如果，求证：【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形是菱形，（2）证明：
2、，4（2019上海）已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点（1）求证：；（2）如果，求证：四边形是菱形【答案】见解析【详解】证明：（1）如图1，连接，、是的两条弦，且，在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，垂直平分，；（2）如图2，连接，四边形是菱形5（2018上海）已知：如图，正方形中，是边上一点，垂足分别是点、（1）求证：；（2）连接，如果求证：【答案】见解析【详解】证明：（1）四边形为正方形，在和中，；（2）如图，而，而，即平分，而，6（2022静安区二模）已知：如图，在四边形中，点、分别是边、的中点，、分别交于点、，且，联结、（1）求证：四边形是
3、平行四边形；（2）如果，求证：四边形是菱形【答案】见解析【详解】证明：（1）点、分别是边、的中点，是的中位线，是的中位线，四边形是平行四边形；（2）如图，连接交于，连接，由（1）可知，四边形是平行四边形，即，四边形是平行四边形，点、分别是边、的中点，是的中位线，即，平行四边形是菱形7（2022闵行区二模）如图，在矩形中，点在边上，将线段绕点顺时针旋转，此时点落在点处，线段交于点过点作，交的延长线于点（1）求证：；（2）如果，联结、，求证：垂直平分【答案】见解析【详解】证明：（1）四边形是矩形，又，线段绕点顺时针旋转，即：，在与中，；（2）如图，连接，在与中，点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂
4、直平分线上，垂直平分8（2022闵行区二模）直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对如图，在中，顶角的正对记作，这时仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题：（1）的值为 （A）；（B）1；（C）；（D）2（2）对于，的正对值的取值范围是 （3）如果，其中为锐角，试求的值【答案】见解析【详解】（1）在中，为等边三角形，故答案为：；（2）在中，根据三角形的三边关系得，故答案为：；（3）如图，过点作于，则，设，在中，是等腰三角形，在中，9（20
5、22黄浦区二模）如图，已知、是圆上的三点，、分别是、的中点，、分别是、上的点（1）求证：；（2）如果，求证：【答案】见解析【详解】证明：（1）、分别是、的中点，在和中，；（2），四边形是平行四边形，四边形是菱形，连接，与交于点，10（2022长宁区二模）已知：如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，联结并延长，交边于点（1）求证：；（2）如果是边的中点，是边延长线上一点，且，延长线段，交线段于点，联结、，求证：四边形是平行四边形【答案】见解析【详解】（1）证明：如图，过点作，交于，；（2）证明：如图，是边的中点，又，四边形是平行四边形11（2022金山区二模）如图，已知：和都是等边三角形，其
6、中点在边上，点是边上一点，且（1）求证：；（2）联结，设、的交点为，如果，求证：【答案】见解析【详解】证明：（1）如图1，是等边三角形，在和中，是等边三角形，；（2）如图2，12（2022宝山区二模）已知：如图，点、分别在的边、上，（1）如果，求证：四边形是菱形；（2）如果，且，联结，求的长【答案】见解析【详解】（1）证明：，又，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是菱形；（2）如图，在和中，是公共角，13（2022徐汇区二模）如图，在矩形中，点是边上任意一点（点与点、不重合），过点作，交边的延长线于点，联结交边于点，连接（1）求证：；（2）如果平分，联结，求证：四边形为菱形【答案】
7、见解析【详解】证明：（1）四边形是矩形，；（2）如图：平分，四边形是平行四边形，四边形为菱形14（2022崇明区二模）已知：如图，在四边形中，点在边上，且，作交线段于点，连接（1）求证：；（2）如果，求证：【答案】见解析【详解】证明：（1），四边形是平行四边形，在和中，；（2），又，由（1）得，在平行四边形中，15（2022杨浦区二模）已知：如图，矩形的两条对角线与相交于点，点、分别是线段、的中点，联结、（1）求证：四边形是等腰梯形；（2）过点作，垂足为点，联结，如果，求证：四边形是菱形【答案】见解析【详解】证明：（1）四边形是矩形，点、分别是线段、的中点，即，四边形是等腰梯形；（2）连接，点
8、、分别是线段、的中点，四边形是矩形，由（1）知：，四边形是平行四边形，同理：四边形是平行四边形，又，平行四边形是菱形，又四边形是等腰梯形，又，四边形是菱形16（2022松江区二模）已知：如图，两个和中，且点、在一条直线上，联结、，与交于点（1）求证：；（2）如果，求证：【答案】见解析【详解】证明：（1），；（2），17（2022嘉定区二模）如图，在四边形中，是对角线，点在边上，联结（1）求证：；（2）当时，求证：四边形是平行四边形【答案】见解析【详解】证明：（1），即在与中，；（2）由（1）可知，四边形是平行四边形18（2022奉贤区二模）已知：如图，在矩形中，点在边的延长线上，联结，分别交边
9、、对角线于点、，（1）求证：；（2）求证：【答案】见解析【详解】证明：（1），（2）在矩形中，由（1）得，19（2022虹口区二模）已知：如图，、是的两条弦，点、分别在弦、上，且，联结、（1）求证：；（2）当为锐角时，如果，求证：四边形为等腰梯形【答案】见解析【详解】证明：（1）过点作于点，于点，如图，即：在和中，；（2）连接，如图，四边形为梯形，四边形为等腰梯形20（2022普陀区二模）已知：如图，四边形中，为对角线的中点，点在边上，交于点，（1）求证：四边形为菱形；（2）如果，求证：【答案】见解析【详解】证明：（1），为的中点，四边形是平行四边形，为的中点，四边形为菱形；（2）四边形为菱形
10、，21（2022浦东新区二模）如图，已知正方形，以为边在正方形外作等边，过点作与边、分别交于点、点，点在线段上，且（1）求证：；（2）联结、，分别交、于点、，求证：【答案】见解析【详解】（1）证明：是等边三角形，四边形是正方形，四边形为矩形，在和中，又，四边形为平行四边形，；（2）证明：四边形为平行四边形，四边形为菱形，又，又，22（2022杨浦区三模）已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，交的延长线于点（1）求证：四边形是菱形；（2）联结，如果，求证：【答案】见解析【详解】证明：（1）点、分别是边、的中点，是的中位线，四边形为平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是菱形；（2）如图，设，则
11、，即，由勾股定理得：，23（2022徐汇区模拟）如图，四边形中，于点，点为上一点，且（1）求证：；（2）设交于点，若，判断四边形的形状，并证明【答案】见解析【详解】（1）证明：，；（2）解：四边形是正方形，理由如下：是等腰直角三角形，四边形是矩形，四边形是正方形24（2022黄浦区校级二模）如图，已知等边中，、分别是边、上的点，且，以为边向左作等边，联结、（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当时，求的值【答案】见解析【详解】（1）证明：是等边三角形，又，四边形是平行四边形；（2）解：过作于，四边形是平行四边形，设，则，25（2022宝山区模拟）已知：如图，在平行四边形中，、交于点，点在的延长
12、线上，联结、，且（1）求证：；（2）如果，求证：平行四边形是矩形【答案】见解析【详解】（1）证明：平行四边形，又，；（2），在平行四边形中，又，是等腰三角形，即，平行四边形是矩形26（2022徐汇区校级模拟）如图，已知经过菱形的顶点，且与相切，直径交于点（1）求证：与相切；（2）若，求的值【答案】见解析【详解】（1）证明：如图1，连接，与相切，为半径，经过菱形的顶点，为半径，与相切；（2）解：如图2，连接，垂直平分，在中，27（2022普陀区模拟）如图，在梯形中，点在对角线上，作，连接，且满足（1）求证：（2）当时，试判断四边形的形状，并说明理由【答案】见解析【详解】（1）证明：，；（2）解：
13、四边形是正方形，四边形是矩形，四边形是正方形28（2022宝山区模拟）如图，在中，是边上的高，点在线段上，垂足分别为，求证：（1）；（2）【答案】见解析【详解】（1）证明：在和中，是边上的高，又为公共角，（2）证明：在四边形中，四边形为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），由（1）知，为直角三角形，又，即，29（2022徐汇区模拟）如图，已知梯形中，平分，交于点，是的中点，联结、，且求证：（1）四边形是菱形；（2）【答案】见解析【详解】证明：（1），平分，是的中点，而，四边形为平行四边形，四边形为菱形；（2）过点作于，如图，即，即30（2022松江区校级模拟）如图，在中，点在上，以、为腰做等腰
14、，且，连接，过作交延长线于，连接（1）求证：；（2）如果，求证：四边形是矩形【答案】见解析【详解】证明：（1），同理，又，；（2），四边形是平行四边形，即，平行四边形是矩形31（2022浦东新区校级模拟）如图，的边是的直径，点在上，点是边上的一点，点和点关于对称，交边于点，过点作的垂线交的延长线于点，线段交于点（1）求证：四边形是矩形；（2）联结，当时，求证：【答案】见解析【详解】证明：（1）是的直径，点和点关于对称，四边形是矩形；（2）如图，连接，点和点关于对称，即，由（1）得，即32（2022嘉定区校级模拟）如图，在梯形中，过点作，垂足为，并延长至，使连接、（1）求证：四边形是平行四边形；
15、（2）如果，求证：四边形是矩形【答案】见解析【详解】证明：（1）连接，梯形中，四边形是平行四边形；（2），四边形是矩形33（2022青浦区模拟）已知：如图，在四边形中，点、分别在边、上，与相交于点，（1）求证：；（2）延长至点，联结，当时，求证：【答案】见解析【详解】证明：（1），四边形是平行四边形，；（2）如图：，34（2022松江区校级模拟）如图，在中，点是边上的一点，过点作与平行的直线，交于点，点在线段上，连接交线段于点，且，点在延长线上，的平分线交直线于点（1）求证：；（2）当是边的中点时，求证：四边形是矩形【答案】见解析【详解】（1）证明：，；（2），平分，是边的中点，四边形是平行四边形，平行四边形是矩形
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