1、第十章选修系列选修45 不等式选讲基础梳理1绝对值三角不等式(1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|_，当且仅当_时，等号成立；(2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么_，当且仅当_时，等号成立|a|b|ab0|ac|ab|bc|(ab)(bc)02绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|a 的解集：不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa 或 x0)型不等式的解法：|axb|c_；|axb|c_caxbcaxbc或axbc3基本不等式定理 1：如果 a，bR，那么 a2b2_，当且仅当_时，等号成立定理 2：如果 a，b0，那么ab2 _，当且仅当_时，等号成立，即两
2、个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均定理 3：如果 a，b，c 全为正实数，那么abc3_，当且仅当_时，等号成立4柯西不等式设 a，b，c，d 均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等号当且仅当 adbc 时成立2abababab3abcabc1一组重要关系|ab|与|a|b|，|ab|与|a|b|，|a|b|之间的关系：(1)|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立(2)|a|b|ab|a|b|，当且仅当|a|b|且 ab0 时，左边等号成立，当且仅当ab0 时，右边等号成立2两个等价关系(1)|x|aaxa(a0)(2)|x|axa 或 xa(a0)
3、3一个关键解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号4一个口诀解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”四基自测1(基础点：解绝对值不等式)不等式|x1|x1|的解集为_答案：(0，)3(基础点：绝对值不等式的意义)若关于 x 的不等式|ax2|3 的解集为x53x13，则 a_答案：3考点一 解绝对值不等式例(2019高考全国卷)已知 f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 x(，1)时，f(x)0，求 a 的取值范围解析(1)当 a1 时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当 x1 时，f(x)2(x1)
4、20；当 x1 时，f(x)0.所以，不等式 f(x)0 的解集为(，1)(2)因为 f(a)0，所以 a1.当 a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0，所以，a的取值范围是1，)破题技法 含绝对值不等式的解法方法解读适合题型公式法利用公式|x|aax0)和|x|axa 或 x0)直接求解不等式|f(x)|g(x)或|f(x)|m(a0，b0，m0)表示数轴上点 x 到 a 的距离与到 b 的距离之和大于 m形如|xa|xb|m 的形式(2018高考全国卷)设函数(x)5|xa|x2|.(1)当 a1 时，求不等式(x)0 的解集；(2)若(x)1，求 a
5、的取值范围解析：(1)当 a1 时，(x)2x4，x1，2，1x2，2x6，x2.可得(x)0 的解集为x|2x3(2)(x)1 等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当 x2 时等号成立故(x)1 等价于|a2|4.由|a2|4 可得 a6 或 a2.所以 a 的取值范围是(，62，)考点二 绝对值不等式的性质例(2020大庆模拟)设函数 f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式：f(x)0；(2)若 f(x)3|x4|a1|对一切实数 x 均成立，求 a 的取值范围解析(1)原不等式即为|2x1|x4|0，当 x4 时，不等式化为 12xx40，解得 x0的解集是x|x4当4x
6、0，解得 x1，即不等式组4x0的解集是x|4x0，解得 x5，即不等式组x12|2x1|x4|0的解集是x|x5综上，原不等式的解集为x|x5(2)f(x)3|x4|2x1|2|x4|12x|2x8|(12x)(2x8)|9.由题意可知|a1|9，解得8a10，故所求 a 的取值范围是a|8a10破题技法 巧用“|a|b|ab|a|b|”求最值(1)求|a|b|的范围：若 ab 为常数 M，可利用|a|b|ab|M|a|b|M|确定范围(2)求|a|b|的最小值：若 ab 为常数 M，可利用|a|b|ab|M|，从而确定其最小值设函数 f(x)|x1|.(1)若 f(x)2x2，求实数 x
7、的取值范围；(2)设 g(x)f(x)f(ax)(a1)，若 g(x)的最小值为12，求 a 的值解析：(1)f(x)2x2 即|x1|22xx10，x122x或x10 x122xx13，实数 x 的取值范围是13，.(2)a1，11a0，g(x)（a1）x2，x（，1），（1a）x，x1，1a，（a1）x2，x1a，.易知函数 g(x)在，1a 上单调递减，在1a，上单调递增，g(x)ming1a 11a.11a12，解得 a2.考点三 不等式的证明例(2019高考全国卷)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1.证明：(1)1a1b1ca2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)32
8、4.证明：(1)因为 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又 abc1，故有 a2b2c2abbccaabbccaabc1a1b1c.当且仅当 abc1 时，等号成立所以1a1b1ca2b2c2.(2)因为 a，b，c 为正数且 abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333（ab）3（bc）3（ca）33(ab)(bc)(ca)3(2 ab)(2 bc)(2 ca)24.当且仅当 abc1 时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.破题技法 证明不等式的方法与技巧(1)当已知与所求之间的关系较明显，从已知或不等式性质入手进行转换，可得到所求时，利用综合法(2)如果已知
9、条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证明的命题以“至少”“至多”等方式给出或为否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法(3)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的求解或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略绝对值三角不等式，则往往作为不等式放缩的依据已知实数 a，b，c 满足 a0，b0，c0，且 abc1.(1)证明：(1a)(1b)(1c)8；(2)证明：a b c1a1b1c.证明：(1)1a2 a，1b2 b，1c2 c，相乘得：(1a)(1b)(1c)8 abc8.(2)1a1b1cabbcac，abbc2 ab2c2 b，abac2 a2bc2 a，bcac2 abc22 c，相加得 a b c1a1b1c.课时规范练