1、桂林十八中2020-2021学年度19级高二上学期开学考试卷数学一、选择题（本题包括12小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共60分）1. 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】故选B2. 若为第四象限角，则（ ）A. cos20B. cos20D. sin20【答案】D【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】方法一：由为第四象限角，可得，所以此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以故选：D.方法二：当时，选项B错误；当时，选项A错误；由第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角
2、公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将两边平方，利用同角公式和二倍角的正弦公式可解得结果.【详解】由得，所以，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查了同角公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.4. 已知向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示以及同角公式可得结果.【详解】因为，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了同角公式，属于基础题.5. 已知，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将分
3、子分母同除以，再将代入求解.【详解】.故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6. 若是等差数列，且，则（ ）A. 39B. 20C. 19.5D. 33【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质求出，可得公差，利用等差数列的性质可得.【详解】因为，且是等差数列，所以，所以，因为，且是等差数列，所以，所以，所以公差，所以.故选：D【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列通项公式基本量的计算，属于基础题.7. 某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶到其正上方点的距离，他站在地面处，利用皮尺测得，利用测角仪器测得仰角，测得仰角后通过
4、计算得到，则的长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，从而用表示出；在中利用正弦定理可构造方程求得结果.【详解】设，则，在中，由正弦定理得得：，即，解得：故选：【点睛】本题考查解三角形实际应用中的高度问题的求解，关键是能够在三角形中利用正弦定理构造方程.8. 数列满足，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据数列的递推公式求出数列的前几项，即可得到数列的周期性，即可求解；【详解】解：因为，所以，故数列的取值具备周期性，周期数是，所以故选：B【点睛】本题考查由递推公式求数列的项，关键是找到数列的周期性，属于基础题.9. 已知P是边长为2的正六边
5、形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据题中所给条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.10. 在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】
6、根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.【详解】在中，根据余弦定理：可得 ，即由故.故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.11. 设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.详解】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：所以函数的最小正周期为故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查
7、了三角函数周期公式，属于中档题.12. 在中， ，点满足，点为外心，则的值为（ ）A. 17B. 10C. D. 【答案】D【解析】【分析】将用向量和表示出来，再代入得，求出代入即可得出答案.【详解】取的中点，连接，因为为的外心，同理可得，故选：D.【点睛】本题考查数量积的运算，关键是要找到一对合适的基底表示未知向量，是中档题.二、填空题（本题包括4题，共20分）13. 函数在的零点个数为_【答案】【解析】【分析】求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数【详解】详解：由题可知，或解得,或故有3个零点【点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题14. 设为单位向量，且，则
8、_.【答案】【解析】【分析】将平方，可求出，进而由，可求出.【详解】因为为单位向量，所以，所以，解得，而，所以.故答案为：.【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模，考查学生的计算求解能力，属于基础题.15. 已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_.【答案】【解析】【详解】试题分析：设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(abc),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b ,C=120,，则由余弦定理，c= a+ b-2abcosC，, 三边长为6,10,14，,b= a+ c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB, cosB=
9、，sinB=可知S=.考点：本试题主要考查了等差数列与解三角形的面积的求解的综合运用点评：解决该试题的关键是利用余弦定理来求解，以及边角关系的运用，正弦面积公式来求解巧设变量a-4,a,a+4会简化运算16. 下表数阵的特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为则（1）_（）；（2）表中的数52共出现_次.23456735791113471013161959131721256111621263171319253137【答案】 (1). (2). 4【解析】【分析】先根据第行第列成等差数列得到通项公式，再利用计算即可；令解得的不同情况即得结果.【详解】根据题意得，第行的等差数列的公差为，第
10、列等差数列的公差为，所以第一行数组的数列是以为首项，公差为的等差数列，可得，又因为第列数组成的数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，因为，所以；由于，则，所以且或且或且或且，所以可得等于的项共有4项故答案为：；4.【点睛】本题考查了行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，是中档题三、计算题（本题包括6题，共70分）17. 设函数.（1）求的单调增区间；（2）说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.【答案】（1），；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）先化简得，令解得函数的增区间；（2）先进行振幅变换，再进行初相变换即可得结果.【详解】（1
11、），令，解得，故的增区间为，.（2）所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得；然后向左平移个单位，得.【点睛】本题主要考查了三角函数式的化简，三角函数的单调性以及三角函数的变换过程，属于基础题.18. 已知数列的通项公式为（），数列是等差数列，且，求数列的通项公式.【答案】【解析】【分析】根据，得，根据是等差数列，得公差，结合，得，从而可得.【详解】由， 得，两式相减得，因为是等差数列，所以的公差，代入，得，得，故.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题.19. 如图，是直角斜边上一点，（1）若，求角的大小（2）若，且，求的长【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，可得，利
12、用余弦定理求得，然后利用余弦定理可求得，结合角的取值范围可求得角的大小；（2）设，可得，可求得，然后在中利用余弦定理可求得的值，即为的长.【详解】（1）设，可得，由余弦定理得，整理得，解得或.若，则，；若，则，则为直角，不合乎题意.综上所述，；（2）设，可得，在中，为直角，则，在中，由余弦定理得，整理得，解得，即.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.20. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）（）求sin（+）的值；（）若角满足sin（+）=，求cos的值【答案】（）；（） 或 .【解析】【分析】分析：（）先根据三角函数定义得，再根
13、据诱导公式得结果，（）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.【详解】详解：（）由角的终边过点得，所以.（）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.21. 在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+co
14、sC的取值范围【答案】（I）；（II）【解析】【分析】（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定B的大小；（II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.【详解】（I）由结合正弦定理可得：ABC为锐角三角形，故.（II）结合(1)的结论有：.由可得：，则，.即的取值范围是.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某
15、个角的函数，利用函数思想求最值.22. 已知函数，且，.（1）求的解析式；（2）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据，列出关于的方程组解出，代入根据辅助角公式即可得结果；（2）首先求出的范围，分为，三种情形求出的值域，结合集合的包含关系得到关于的不等式组，解出即可.【详解】（1）因为，所以，解得，.（2）因为，所以，所以，则.的图象的对称轴是.当时，则，解得，符合题意；当时，则，解得，符合题意；当时，则，不等式组无解，综上，的取值范围是.【点睛】本题主要考查了求函数的解析式，函数的单调性、最值问题，对“任意、存在的理解是解题的关键”，属于中档题.
