1、3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法学 习 目 标核 心 素 养1.掌握一元二次不等式的解法(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点)通过一元二次不等式解法的学习，培养数学运算素养1一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2一元二次不等式的一般形式(1)ax2bxc0(a0).(2)ax2bxc0(a0).(3)ax2bxc0(a0).(4)ax2bxc0(a0).思考：不等式x2y20是一元二次不等式吗？提示此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式3一元二次不等式的解与解集
2、使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集思考：类比“方程x21的解集是1，1，解集中的每一个元素均可使等式成立”不等式x21的解集及其含义是什么？提示不等式x21的解集为x|x1，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立4三个“二次”的关系设f(x)ax2bxc(a0)，方程ax2bxc0的判别式b24ac判别式000解不等式f(x)0或f(x)0的步骤求方程f(x)0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1x2没有实数解画函数yf(x)的示意图得等的集不式解f(x)0x|xx1或xx2Rf(
3、x)0x|x1xx2思考：若一元二次不等式ax2x10的解集为R，则实数a应满足什么条件？提示结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2x10的解集为R，则解得a，所以不存在a使不等式ax2x10的解集为R.1不等式35x2x20的解集为()ABC DRC35x2x202x25x30(x3)(2x1)0x3或x.2不等式3x22x10的解集为()A BC DRD因为(2)243141280，所以不等式3x22x10的解集为R.3不等式x22x52x的解集是 x|x5或x2x，得x24x50，因为x24x50的两根为1，5，故x24x50的解集为x|x54不等式3x25x40的解集为 原不等式
4、变形为3x25x40.因为(5)2434230，所以3x25x40无解由函数y3x25x4的图象可知，3x25x40；(2)4x218x0；(3)2x23x20，所以方程2x27x30有两个不等实根x13，x2.又二次函数y2x27x3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(2)原不等式可化为0，所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为2x23x20，因为942270；(2)x24x40；(3)x22x30.解(1)0，方程2x23x20的根是x1，x22，不等式2x23x20的解集为.(2)0，方程x24x40的根是x1x22，不等式x24x40的解集为.(3)原不等式可化为x22x30，
5、由于0，方程x22x30无解，不等式x22x30的解集为R.(4)原不等式可化为3x25x20，方程3x25x20的两根为x1，x21，不等式3x25x20的解集为.含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x的不等式ax2(a1)x10.思路探究：对于二次项的系数a是否分a0，a0三类进行讨论？当a0时，是否还要比较两根的大小？解当a0时，原不等式可化为x1.当a0时，原不等式可化为(ax1)(x1)0.当a0，1，x1.当a0时，原不等式可化为(x)(x1)0.若1，则x1，即0a1，则1x.综上所述，当a1；当0a1时，原不等式的解集为xx1解含参数的一元二次不等式时的注意点(1)若二次
6、项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论2解关于x的不等式：ax222xax(a0).解原不等式移项得ax2(a2)x20，化简为(x1)(ax2)0.a0，(x1)0.当2a0时，x1；当a2时，x1；当a2时，1x.综上所述，当2a0时，解集为；当a2时，解集为x|x1；当a0、y0时自变量x组成的集合，亦即二次函数yx22x3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合x|x3；同理，满足y0时x的取值集合为x|1x0(a0)或ax2bxc0)是函数yax2bxc(a
7、0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y0时，函数yax2bxc(a0)就转化为方程，当y0或y0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示方程x22x30的解集为1，3不等式x22x30的解集为x|x3，观察发现不等式x22x30解集的端点值恰好是方程x22x30的根3设一元二次不等式ax2bxc0(a0)和ax2bxc0)的解集分别为x|xx2，x|x1xx2(x10(a0)和ax2bxc0)的解集分别为x|xx2，x|x1xx2(x10的解集为x|2x3，求关于x的不等式cx2bxa0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，由根与
8、系数的关系可知5，6.由a0知c0，故不等式cx2bxa0，即x2x0，解得x，所以不等式cx2bxa0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式cx2bxa0，即6ax25axa06a0的解集解由根与系数的关系知5，6且a0.c0，即x2x0，即x2x0的解集为x|2x3变为“关于x的不等式ax2bxc0的解集是.求不等式cx2bxa0的解集解法一：由ax2bxc0的解集为知a0.又20，则c0.又，2为方程ax2bxc0的两个根，.又，ba，ca，所求不等式变为x2xa0，即2ax25ax3a
9、0.又a0，2x25x30，所求不等式的解集为x法二：由已知得a0 且2，2知c0，设方程cx2bxa0的两根分别为x1，x2，则x1x2，x1x2，其中，x13，x2.不等式cx2bxa0(c0)的解集为.已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2bxc0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解1解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：化不等式为标准形
10、式：ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)；求方程ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数yax2bxc图象的简图；由图象得出不等式的解集(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解当m0)，一根(0)，无根(0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1x2，x1x2，x1x2.3由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数图象的开口及与x轴的交点坐标1判断正误(1)mx25x0，则一元二次不等式ax210无解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2bxc0的解集为x|x1x0的解集为R.()答案(1)(2)(3)
11、(4)提示(1)错误当m0时，是一元一次不等式；当m0时，是一元二次不等式(2)错误因为a0，所以不等式ax210恒成立，即原不等式的解集为R.(3)错误当a0时，ax2bxc0的解集为x|x1xx2，否则不成立(4)正确因为(2)2120的解集为R.2设a1，则关于x的不等式a(xa)0的解集为 因为a1，所以a(xa)0.又aa，所以x或x0的解集是，则ab的值为 14由已知得，ax2bx20的解为，且a2(x1).解(1)原不等式可化为x27x120，因为方程x27x120的两根为x13，x24，所以原不等式的解集为x|3x4(2)原不等式可以化为x22x20，因为判别式4840，方程x22x20无实根，而抛物线yx22x2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.