1、专题04 点到平面的距离(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍1二、典型题型2题型一：等体积法求点到平面的距离2题型二：利用向量法求点到平面的距离5三、专项训练8一、必备秘籍1、等体积法求点到平面的距离（1）当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法 （2）在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平行，面面平行）转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平行也可以变换顶点2、利用向量法求点到
2、平面的距离如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.二、典型题型题型一：等体积法求点到平面的距离1（2324高二上上海黄浦阶段练习）如图，边长为1的正方形中，分别是的中点，沿把这个正方形折成一个四面体使三点重合，重合后的点记为.则在四面体中，点到平面的距离为 .2（2324高二上上海虹口期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，圆O的直径，圆柱的高(1)求圆柱的体积；(2)求点A到平面的距离3（1718高二下河北唐山期末）如图，已知长方体中，连接，过B点作的垂线交于E，交于F(1)
3、求证：平面；(2)求点A到平面的距离；4如图，在正方体中，.(1)求证：平面；(2)求点到面的距离.5（2324高二上江西九江阶段练习）如图所示的五边形中是矩形，沿折叠成四棱锥.(1)从条件；中任选两个作为补充条件，证明：平面平面：(2)在（1）的条件下，求点到平面的距离.6（2324高三上上海浦东新阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，其中，底面，为的中点，为的中点.(1)证明：直线平面；(2)求点到平面的距离.7（2324高二上上海杨浦期中）如图,为菱形外一点,平面,为棱的中点.(1)求证:平面;(2)若,求到平面的距离.题型二：利用向量法求点到平面的距离1（2324高二上广东东莞阶段练
4、习）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，M是的中点，N是的中点，P是的中点，则点A到平面的距离为（）ABCD2（2324高二上广东佛山阶段练习）如图，在四棱锥中，平面面，.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.3（2324上沧州阶段练习）如图所示，四棱锥的底面是矩形，且底面，若边上存在异于的一点，使得直线(1)求的最大值；(2)当取最大值时，求异面直线与所成角的余弦值；(3)当取最大值时，求点到平面的距离4（2324上北辰期中）如图，且且且平面(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；(2)求平面和平面夹角的正弦值；(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求点到平面的距离5（重庆市部分区2022
5、-2023学年高二上学期期末联考数学试题）如图，在正方体中，(1)求证：；(2)求点到平面的距离三、专项训练一、单选题1（2324高二上陕西阶段练习）如图，在正四棱柱中，点，分别在棱，上，则点到平面的距离为（）ABCD2（2324高二上广东东莞阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（）ABCD3（2324高二上湖南邵阳阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ）ABCD4（2324上邯郸阶段练习）在正三棱柱中，点分别为棱的中点，则点到平面的距离为（）ABCD5（2324上绍兴阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为的中点，
6、F为的三等分点靠近C点，则点E到平面BDF的距离为（）ABCD6（2324高二上北京阶段练习）如图，在长方体中，点B到平面的距离为（）ABCD7（2324高二上湖南益阳阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点，则点到平面的距离是（）ABCD8（2324高二上吉林长春阶段练习）我国古代数学名著九章算术对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则到平面的距离为（）ABCD9（2324高三上河北沧州阶段练习
7、）在三棱柱中，平面，点D是的中点，点E是平面的中心，则点E到平面的距离为（）ABCD二、填空题10（2324高二上宁夏固原阶段练习）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为 .11（2324高二上山西太原阶段练习）如下图所示，在平行六面体中，各棱长均为2，已知，则点A到平面的距离 .12（2324高二上安徽阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为 .13（2324高二上天津西青阶段练习）如图，棱长为2的正方体，点是棱的中点，点到直线的距离为 三、解答题
8、14（2324高三上四川成都阶段练习）已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面是棱的中点（如图2所示）(1)求证：；(2)求点与平面的距离15（2324高二上广东东莞阶段练习）如图，已知一个组合体由一个圆锥与一个圆柱构成（圆锥底面与圆柱上底面重合.平面为圆柱的轴截面），已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8.(1)求这个组合体的体积(2)设为半圆弧的中点，求到面的距离.16（2324高三上广东佛山阶段练习）如图，在正三棱柱中，点为侧棱的中点，且.(1)证明：平面平面(2)若二面角的大小为，求点到平面的距离.17（2324高二上辽宁阶段练习）如图，六面体中，面且面，.(1)求证：平面；(2)若二面角的余弦值为，求点到直线的距离.18（2324高二上北京通州期中）如图，在正方体中，分别是棱，的中点.(1)求证：四点共面；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离.
