1、2.2等差数列第1课时等差数列的概念及简单的表示学 习 目 标核 心 素 养1.理解等差数列的概念(难点)2掌握等差数列的通项公式及应用(重点、难点)3掌握等差数列的判定方法(重点)1.通过学习等差中项及等差数列通项公式的应用，体现了数学运算素养2借助等差数列的判断与证明培养学生的逻辑推理素养1等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示(2)符号语言：an1and(d为常数，nN*).2等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项(
2、3)满足的关系式是ab2A思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2，4；(2)1，5；(3)a，b；(4)0，0.提示插入的数分别为3，2，0.3等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列an的通项公式ana1(n1)d思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？ 提示还可以用累加法，过程如下：a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d(n2)，将上述(n1)个式子相加得ana1(n1)d(n2)，ana1(n1)d(n2)，当n1时，a1a1(11)d，符合上式，ana1(n1)d(nN*).4从函数角
3、度认识等差数列an若数列an是等差数列，首项为a1，公差为d，则anf(n)a1(n1)dnd(a1d).(1)点(n，an)落在直线ydx(a1d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？提示只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式ana1(n1)d即可1已知等差数列an的首项a14，公差d2，则通项公式an()A.42nB2n4C.62n D2n6Cana1(n1)d4(n1)(2)42n262n.2等差数列6，3，0，3，的公差d 3(3)(6)3，故d3.3下列数列：0，0，0，0；0，1，2，3，4；1，3，5，
4、7，9；0，1，2，3，.其中一定是等差数列的有 个3是等差数列，只能说明前4项成等差数列4lg ()与lg ()的等差中项是 0lg ()与lg ()的等差中项为：0.等差中项【例1】在1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列解1，a，b，c，7成等差数列，b是1与7的等差中项，b3.又a是1与3的等差中项，a1.又c是3与7的等差中项，c5.该数列为1，1，3，5，7.三数a，b，c成等差数列的条件是b(或2bac)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题如若证an为等差数列，可证2an1anan2(nN*).1已知数列an满足an1an12an(n2)，
5、且a25，a513，则a8 21由an1an1 2an (n2)知，数列an是等差数列，a2，a5，a8成等差数列a2a82a5，a82a5a2213521.等差数列的通项公式及其应用【例2】(1)在等差数列an中，已知a47，a1025，求通项公式an；(2)已知数列an是等差数列，a51，a82，求a1与d.思路探究：设出基本量a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式anam(nm)d求解解(1)a47，a1025，则得an2(n1)33n5，通项公式an3n5(nN*).(2)a51，a82，解得1应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想一般地，可由am
6、a，anb，得求出a1和d，从而确定通项公式2若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用aman(mn)d较为简捷2(1)求等差数列8，5，2，的第20项；(2)判断401是不是等差数列5，9，13，的项，如果是，是第几项？解(1)由a18，d583，n20，得a208(201)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得这个数列的通项公式为 an5(n1)(4)4n1.由题意，令4014n1，得n100，即401是这个数列的第100项等差数列的判定与证明探究问题1在数列an中，若anan1d(常数)(n2且nN*)，则an是等差数列吗？为什么？提示由等差数列的定义可知
7、满足anan1d(常数)(n2)是等差数列2在数列an中，若有2anan1an1(n2，nN*)成立，则an是等差数列吗？为什么？提示是，由等差中项的定义可知3若an是公差为d的等差数列，那么anan2是等差数列吗？若是，公差是多少？提示(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)dd2d.anan2是公差为2d的等差数列【例3】已知数列an满足a12，an1.(1)数列是否为等差数列？说明理由；(2)求an.思路探究：要判断数列是否为等差数列，是否要先求的表达式？能否求出数列的通项公式？解(1)数列是等差数列，理由如下：a12，an1，即是首项为，公差为d的等差数列(2)由(
8、1)可知(n1)d，an.1(变条件，变结论)将例题中的条件“a12，an1”换为“a14，an4(n1)，记bn”(1)试证明数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：bn1bn.又b1，数列bn是首项为，公差为的等差数列(2)由(1)知bn(n1)n.bn，an22.数列an的通项公式为an2.2(变条件)将例题中的条件“a12，an1”换为“a11，a22，2an12an3(n2，nN*)”试判断数列an是否是等差数列解当n2时，由2an12an3，得an1an，但a2a11，故数列an不是等差数列等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：an1and(常数)(nN*
9、)an为等差数列；(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an为等差数列；(3)通项公式法：ananb(a，b是常数，nN*)an为等差数列但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法1判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)an1and(d为常数，nN*)an是等差数列；(2)2an1anan2(nN*)an是等差数列；(3)anknb(k，b为常数，nN*)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可2由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中
10、任意三个量，就可以求出另一个量1判断正误(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性与公差d有关()(3)若三个数a，b，c满足2bac，则a，b，c一定是等差数列()答案(1)(2)(3)提示(1)错误若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列(2)正确当d0时为递增数列；d0时为常数列；d0时为递减数列(3)正确若a，b，c满足2bac，即bacb，故a，b，c为等差数列2在等差数列an中，若a1a38，a23，则公差d()A.1B1C.1 D2C由已知得，解得d1.3已知a，b，则a，b的等差中项为 .4已知数列an，a1a21，anan12(n3)，判断数列an是否为等差数列？说明理由解因为anan12(n3)，所以anan12(常数).又n3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，而a2a10a3a2，所以数列an不是等差数列