1、专题04 幂函数与二次函数（核心考点精讲精练）1. 近几年真题考点分布幂函数与二次函数近几年考情考题示例考点分析关联考点2021年全国乙（文科），第20题,12分含参二次函数判断正负导函数2021年全国乙（理科），第11题,5分二次函数求最值椭圆2022年全国乙（文科），第20题,12分含参二次函数判断正负导函数2022年全国甲（理科），第17题,5分二次函数求最值数列2023年全国甲（文科），第11题,5分二次函数的单调性指数函数、不等式比较大小2023年全国甲（理科），第13题,5分二次函数的奇偶性三角函数的奇偶性2023年全国乙（文科），第8题,5分含参二次函数判断正负导函数2. 命题规
2、律及备考策略【命题规律】1.本小节是高考必考点，考查二次函数求最值以及含参二次函数判断正负； 2.幂函数考查性质；【备考策略】1.了解幂函数的概念，结合函数的图象，了解它们的变化情况； 2.会用二次函数的思想求最值； 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质； 4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题； 5.会讨论含参二次函数的正负，从而判断函数的单调性； 【命题预测】1.利用二次函数的思想求最值； 2.讨论含参二次函数的正负，从而判断函数的单调性； 3.会利用幂函数的性质比较大小； 知识讲解一、幂函数1.幂函数的定义形如 的函数称为幂函数,其中x是自变量,为常数.2.常见的5种幂
3、函数的图象 3.常见的5种幂函数的性质函数y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域RRR0,+)x|xR,且x0值域R0,+)R0,+)y|yR,且y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数4.幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴
4、奇偶性：当为奇数时，幂函数为 ，当为偶数时，幂函数为 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是 ，若为奇数为偶数时，则是 ，若为偶数为奇数时，则是 图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方二、对勾函数1.定义:形如f(x)=ax+bx(ab0)的函数.2.图象:当a,b同号时,对勾函数f(x)=ax+bx的图象形状类似双勾,故称“对勾函数”,如图所示:当a,b异号时,函数f(x)=ax+bx的图象形状发生了变化,如图所示:3. 性质:以一般式y=ax+bx(x0)(a0,b0)为例.(1)定义域: .(2)值域:(-
5、,-2ab2ab,+).当且仅当ax=bx,即x=ba时取到端点值.(3)奇偶性:在其定义域上是 .(4)单调性:在-ba,0和0,ba上严格单调递减,在-,-ba和ba,+上严格单调递增.判断函数为幂函数的方法(1)自变量x前的系数为1.(2)底数为自变量x.(3)指数为常数.幂函数的特征:(1)幂函数的形式是y=x(R),其中只有一个参数,因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)判断幂函数y=x(R)的奇偶性时,当是分数时,一般先将其化为根式,再判断.(3)若幂函数y=x在(0,+)上单调递增,则0,若在(0,+)上单调递减,则aOabx2-=pqf(p)f(q) xy0aOabx2-=p
6、qf(p)f(q) xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)若，则 ，则xy0aOabx2-=pqf(p)f(q) xy0aOabx2-=pqf(p)f(q) ()当时(开口向下)若，则 若，则 若，则xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOax2-=pqf(p)f(q)若，则 ，则xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0cbBabcCcabDbca1幂函数在上为减函数，则的值为_.2下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）A B C D3已知，则（）ABCD考点二、对勾函数的图象与性质1(2023河北模拟)已知函数f(x)=x2+
7、4x,则该函数在(1,3上的值域是().A B C D2已知函数,其中为常数,且.(1)求的值;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.1已知函数在内均为单调递增函数,在内均为单调递减函数.若函数在集合N*内为单调递增函数,则实数t的取值范围为.2关于函数,以下命题正确的是().A的图象关于y轴对称 B的图象关于原点对称C无最大值 D的最小值为22考点三、二次函数1（2023年新课标全国卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A B C D2函数的最小值为（ ）A2 B0 C D63设，二次函数的图象可能是（ ）ABCD1（2021年北京市部分名校模拟）函数是单调函数的充要条件是（
8、 ）ABCD2函数的最大值是：（ ）A B C D3已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A B C D【基础过关】1已知，则（ ）ABCD2若函数，当时函数值，则的取值范围是（）A；B；C；D3已知幂函数上单调递减,若的取值范围是().A BC D4已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值为_ _.5函数在上是减函数，则的取值范围是_6（2011年全国普高招生统一考试文科陕西卷）函数的图象是A BCD7（2011年上海市普高招生考试(文科)）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）A BC D8(2023郑州模拟)若幂函数的图象关
9、于y轴对称,则实数m=.9函数的最大值为_10若函数在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则的值().A与a有关，且与b有关 B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关12若函数，的图象关于直线对称，则_ _.13已知，函数.若，则（ ）A ， B， C， D，【能力提升】1（2023年广东省部分名校联考）设，则（）ABCD2若，则满足的取值范围是_.3若函数在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a_.4已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（ ）Ap、q均为奇数且Bp为奇数，q为偶数且Cp为奇数，q为偶数且Dp为偶数，q为奇数且5已知，则
10、a、b、c的大小关系为（ ）A BC D6（2012年全国普高招生统一考试文科（重庆卷）设函数集合则为().AB（0，1）C（-1，1）D7已知函数，则“”是“的最小值与的最小值相等”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件8（2014年全国普高招生统一理科（上海卷）若是的最小值，则的取值范围为（）A-1,2B-1，0C1，2D9（2021陕西省部分名校模拟）函数和的递增区间依次是（）A B C D10（2015年全国普高招生统一考试理科（四川卷）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）A16B18C25D11（2014年全国普高招生统一考试理科（天津卷）已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为_【真题感知】1（2023年新高考天津数学高考真题）若，则的大小关系为（）ABCD2（2022年高考天津卷真题）已知，则（）A B C D3（2021年山东省春季高考数学真题）关于函数，以下表达错误的选项是（）A函数的最大值是1 B函数图象的对称轴是直线C函数的单调递减区间是 D函数图象过点4（2019年全国统一高考（理科卷）（新课标）若，则（）ABCD5（2007年全国普高招生统一考试理科卷）函数的一个单调增区间是（ ）A B CD
