1、垂直模型巩固练习（提优）1如图，ABC中，C90，AC3，BC4，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，求BD的长【解答】BD【解析】连接AD，AB的垂直平分线交AB于E，ADBD，设BDx，则AD8x，在RtACD中，AC3，CD8x，ADx，AC2+CD2AD2，即32+（8x）2x2，解得x，即BD2已知：如图，ABC中，AC6，BC8，AB10，BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DEAC，DFBC，垂足分别是E、F（1）求证：AEBF；（2）求AE的长；（3）求线段DG的长【解答】（1）见解析；（2）AE1；（3）DG5【解析】（1）证明：如图连接AD、BDDCEDCB，
2、DECA，DFCB，DEDF，AEDDFB90，DG垂直平分AB，DADB，在RTDEA和RTDFB中，DEADFB，AEBF（2）设AEBFx，在RTCDE和RTCDF中，CDECDF，CECF，6+x8x，x1，AE1（3）DEADFB，ADEBDF，EDFADB，AC2+BC2AB2，ACB90，CEDCFDECF90，EDF90，ADB90，AGGB，DGAB53如图，在ABC中，C90，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC6，BC8，PA2，求线段DE的长【
3、解答】（1）DEDP，理由见解析；（2）DE4.75【解析】（1）DEDP，理由如下：PDPA，APDA，EF是BD的垂直平分线，EBED，BEDB，C90，A+B90，PDA+EDB90，PDE1809090，DEDP；（2）连接PE，设DEx，则EBEDx，CE8x，CPDE90，PC2+CE2PE2PD2+DE2，42+（8x）222+x2，解得：x4.75，则DE4.754（1）如图1，将两个全等的三角板如图摆放，其中ABC和ADE的直角顶点重合在点A处，ADEABC60，且点D在AC上，点B在AE上，CE30，ABAD，ACAE，BCDE，BC和DE相交于点F求证：CFEF（2）如图
4、2，将这两个三角板如图摆放，直角顶点A仍然重合，BC与DE相交于点F，AC与DE交于点M，AE和BC交于点N猜想CF和EF还相等吗？说明理由（3）如图3，在（2）的基础上，若DAM30求证：线段DF和AC互相垂直平分【解答】（1）见解析；（2）相等，理由见解析；（3）见解析【解析】（1）证明：ABAD，ACAEACADAEAB，即CDEB，在CDF和EBF中，CDFEBF（AAS）CFEF；（2）相等理由如下：CABEAD90，CABCAEEADCAE，即BANDAM，在BAN和DAM中，BANDAM（ASA）ANAM，ACAMAEAD，即CMEN，在CMF和ENF中，CMFENF（AAS）C
5、FEF；（3）证明：连接AF，当DAM30时，AMD180DDAM180603090，ACDF，即AMDAMFCMF90，CANDAEDAM903060，在ACF和AEF中，ACFAAEF（SSS），CAFEAF，CAFEAFCAN30，在ADM和AFM中，ADMAFM（ASA）DMFM，即AC平分DF，在CFM和AFM中，CFMAFM（ASA）AMCM，即DF平分AC，综上所述，AC和DF互相垂直平分5如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB4，AD8，求MD的长【解答
6、】（1）见解析；（2）MD长为5【解析】（1）四边形ABCD是矩形ADBC，A90，MDONBO，DMOBNO，在DMO和BNO中DMOBNO（ASA），OMON，OBOD，四边形BMDN是平行四边形，MNBD，平行四边形BMDN是菱形；（2）四边形BMDN是菱形，MBMD，设MD长为x，则MBDMx，在RtAMB中，BM2AM2+AB2即x2（8x）2+42，解得：x5，答：MD长为56如图，AD为ABC的高，点H为AC的垂直平分线与BC的交点，HCAB（1）如图1，求证：B2C；（2）如图2，若2DAFBC求证：ACBF+BA；直接写出的值【解答】（1）见解析；（2）见解析；2【解析】证明
7、：（1）连接AHH为AC的垂直平分线与BC的交点HAHCABBAHC2C（2）2DAFBCDAFBC在RtADF中，DAF90AFD90FACC90FACCBCFAC90BCBAC，即AF平分BAC在AC上截取AGAB，连接FGBAFGAF（SAS），BFFGBAGFB2CAGF2CGFCCFGGCACAG+GCBF+BA在DB上截取DMDF，连接AMADFADM（SAS）DAFDAMMAC2DAF+FACBC+（180BC）90+BC又AMCAFMC+FACC+BACC+（180BC）90B+CB2CMACAMC90CACMC27已知直线PD垂直平分O的半径OA于点B，PD交O于点C、D，P
8、E是O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F（1）证明：PEPF；（2）若PF26，sinA，求EF的长【解答】（1）见解析；（2）EF20【解析】（1）PE是O的切线，PEO90，PEF90AEO，PFEAFB90A，OEOA，AAEO，PEFPFE，PEPF；（2）过点P作PGEF于点G，PGFABF90，PFGAFB，FPGA，FGPFsinA2610，PEPF，EF2FG208如图，AB是O的直径，AF是O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD2，BE1求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是O的切线【解答】（1）见解析；（2）见解析【
9、解析】证明：（1）连接OC，AB是O的直径，CDAB，CEDECD2，设OCx，BE1，OEx1，在RtOCE中，OC2OE2+CE2，x2（x1）2+（）2，解得：x2，OAOC2，OE2，AE3，在RtAED中，AD，ADCD，AF是O切线，AFAB，CDAB，AFCD，CFAD，四边形FADC是平行四边形，ADCD，平行四边形FADC是菱形；（2）连接OF，AC，四边形FADC是菱形，FAFC，FACFCA，AOCO，OACOCA，FAC+OACFCA+OCA，即OCFOAF90，即OCFC，点C在O上，FC是O的切线9已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC、CD上，连接
10、AE、EF、AF，且DAEAEF（1）求证：EFBE+DF；（2）线段AF的垂直平分线交AD于点G，连接FG，求证：EFG90；（3）在（2）的条件下，若tanDFG，EF，求SAEF【解答】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）过点A作AHEF于点H，四边形ABCD是正方形，ABAD，BD90，ADBC，BEADAE，DAEAEF，BEAAEF，在ABE和AHE中，ABEAHE（AAS），ABAH，BEHE，AHAD，RtAHFRtADF（HL），DFHF，EFHE+HF，EFBE+DF；（2）如图2，由题意知GAGF，GAFGFA，由（1）知AFEAFD，FAD+AFD90，GF
11、A+AFE90，EFG90；（3）由tanDFG可设DG3x，DF4x，则，EHDF4x，BCCDAD8x，CFCDDF4x，EF，BEEHEFFH4x，则ECBCBE8x（4x）12x，在RtECF中，由EF2EC2+CF2得（）2（12x）2+（4x）2，解得：x10（舍），x21，即AHAD8x8，SAEFEFAH810如图，在O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连结AC，将ACE沿AC翻转得到ACF，直线FC与直线AB相交于点G（1）求证：FG是O的切线；（2）若B为OG的中点，CE，求O的半径长；（3）求证：CAGBCG；若O的面积为4，GC2，求GB的长【解答】（1）见解析；（2
12、）2；（3）见解析；GB2【解析】（1）证明：连接OC，如图，OAOC，OACOCA，ACE沿AC翻折得到ACF，OACFAC，FAEC90，OCAFAC，OCAF，OCGF90，OCFG，直线FC与O相切；（2）连接BC点B是RtOCG斜边的中点，CBOGOBOC，OCB是等边三角形，且EC是OB上的高，在RtOCE中，OC2OE2+CE2，即OC2OC2+（）2，OC2，即O的半径为2（3）OCOB，CBAOCB，CAG+CBA90，BCG+BCO90，CAGBCG4OB2，OB2，由可知：GCBGAC，即，解得GB211如图所示，在RtABC中，ACB90，ACBC，D为BC边上的中点，
13、CEAD于点E，BFAC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF【解答】见解析【解析】证明：连接DF，BCE+ACE90，ACE+CAE90，BCECAEACBC，BFACBFBCACDCBF90，ACCB，ACDCBFCDBFCDBDBC，BFBDBFD为等腰直角三角形ACB90，CACB，ABC45FBD90，ABF45ABCABF，即BA是FBD的平分线BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，即AB垂直平分DF12如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，E为边AB上一点，DO垂直平分CE于点O，以CE为直径作O，交BC于点F（1）求证：AB与O相切；（2）若CDCF12，求O
14、的半径长；（3）在（2）的条件下，若AEOD，求AD的长【解答】（1）见解析；（2）；（3）AD3【解析】（1）证明：连接DE，DO垂直平分CE，DEDC，DECDCE，ABAC，ADBC，DBDC，DEDB，DEBB，DEB+DECDCE+B90，即CEBE，又CE为O的直径，AB与O相切；（2）连接EF，CE为O的直径，且点F在O上，EFC90CODECFDCOECFDCO，CE2OC，2OC2CDCF，CDCF12，OC，即O的半径长是；（3）DOCE，CEBE，DOBE，BE2DO，又AEOD，BE2AE，EFBC，ADBC，EFAD，CDBD3FD，CDCF12，FD1，EDCD3，由勾股定理得，EF2，AD3
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