1、1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第1课时正弦定理(1)学 习 目 标核 心 素 养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点)2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养学生逻辑推理的核心素养2.借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养学生数学运算的核心素养1正弦定理思考：如图所示，在RtABC中，各自等于什么？提示c.2解三角形(1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角
2、形思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？提示利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角1在ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式一定成立的是()ABCa sin Bb cos A Da cos Bb sin AB在ABC中，由正弦定理，得.2在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC 2由正弦定理得：，所以AC2.3在ABC中，A45，c2，则AC边上的高等于 AC边上的高为AB sin Ac sin A2sin 45.4在ABC中，若a3，b，A，则C
3、由正弦定理得：，所以sin B.又ab，所以AB，所以B，所以C.正弦定理证明【例1】在钝角ABC中，证明正弦定理证明如图，过C作CDAB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：sin CADsin (180A)sin A，sin B.CDb sin Aa sin B.同理，.故.1本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固2要证，只需证a sin Bb sin A，而a sin B，b sin A都对应同一线段初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力1如图所示，锐角ABC的外接圆O半径为R
4、，证明2R.证明连接BO并延长，交外接圆于点A，连接AC，则圆周角AA.AB为直径，长度为2R，ACB90，sin A，sin A，即2R.已知两角及一边解三角形【例2】在ABC中，已知c10，A45，C30，解这个三角形解因为A45，C30，所以B180(AC)105.由得a1010.因为sin 75sin (3045)sin 30cos 45cos 30sin 45，所以b2055.已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理
5、求另外两边2在ABC中，a5，B45，C105，求边c.解由三角形内角和定理知ABC180，所以A180(BC)180(45105)30.由正弦定理，得ca555().已知两边及一边的对角解三角形【例3】(1)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A (2)在ABC中，已知c，A45，a2，解这个三角形(1)75由题意得：，所以sin B，因为bc，所以B45，所以A180BC75.(2)解因为，所以sin C.因为0C180，所以C60或C120.当C60时，B75，b1；当C120时，B15，b1.所以b1，B75，C60或b1，B15，C120.已知两边及
6、其中一边的对角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论3在ABC中，A，BC3，AB，则角C等于()A或BC DC由正弦定理，得sin C.因为BCAB，所以AC，则0C，故C.三角形形状的判断探究问题1由2R，2R，2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么作用？提示(角化边)sin A，sin B，sin C，(边化角)a2R sin A，b2R si
7、n B，c2R sin C，(边角互化)abcsin Asin Bsin C2三角形中常见边角之间的关系有哪些？提示在ABC中，(1)abc，|ab|c，(2)abABsin Asin B，(3)ABCsin (AB)sin C，sin cos .【例4】在ABC中，若sin A2sin B cos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状思路探究：解决本题的关键是利用sinA，sin B，sin C把sin2Asin2Bsin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sinA2sin B cos C求解解法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得，sin2Asin
8、2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90，2sinB cos C2sin B cos (90B)2sin2BsinA1，sin B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角A180(BC)，sinA2sin B cos C，sin (BC)sin B cos Ccos B sin C2sin B cos C，sin (BC)0.又90BCb，AB45.A60或120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c.综上，可知A60，C75，c或A120，C15，c.