1、2020年高考（文科）数学二模试卷一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|0x3，Bx|log2x1，则AB（）A（2，3）B（0，3）C（1，2）D（0，1）2设复数z满足（1+i）z3+i，则|z|（）AB2CD3Sn为等差数列an的前n项和，若S150，则a8（）A1B0C1D24通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k4.892，参照附表，得到的正确结论是（）P（K2k）0.100.050.025k2.7063.8415.024A有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C在犯
2、错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”5已知向量，满足|1，|，且，夹角为，则（+）（2）（）ABCD6算数书竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也又以高乘之，三十六成一”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）ABCD7已知，是两个不同的平面，直线m，下列命题中正确的是（）A若，则mB若，则mC若m，
3、则D若m，则8函数yxcosx+sinx的图象大致为（）ABCD9要得到函数的图象，可将y2sin2x的图象向左平移（）A个单位B个单位C个单位D个单位10数学老师给出一个定义在R上的函数f（x），甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在（，0上函数单调递减；乙：在0，+）上函数单调递增；丙：函数f（x）的图象关于直线x1对称；丁：f（0）不是函数的最小值老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是（）A甲B乙C丙D丁11若双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线被曲线x2+y24x+20所截得的弦长为2则双曲线C的离心率为（）ABCD12已知函数f（
4、x），函数F（x）f（x）b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足：x1x2x3x4，则的值是（）A4B3C2D1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知等比数列an满足a1+a310，a2+a45，则a5 14若实数x，y满足不等式组则目标函数z3xy的最大值为 15曲线f（x）x+lnx在x1处的切线方程是 16已知三棱锥PABC中，PC平面ABC，若PCBC，AB2，PA与平面ABC所成线面角的正弦值为，则三棱锥PABC外接球的表面积为 三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考
5、题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c，且ABC的面积为，求a+b的值18南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如表：分组0，30）30，60）60，90）90，120）120，150）150，180男生人数216191853女生人数32010211若
6、将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少？（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动求男生和女生各抽取了多少人；若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率19如图，三棱柱A1B1C1ABC中，BB1平面ABC，ABBC，AB2，BC1，BB13，D是CC1的中点，E是AB的中点（）证明：DE平面C1BA1；（）F是线段CC1上一点，且CF2FC1，求A1到平面ABF的距离20已知椭圆C：+1（ab0）的焦距是2，长轴长为4（1）求椭圆C的方程
7、；（2）A，B是椭圆C的左右顶点，过点F（，0）作直线l交椭圆C于M，N两点，若MAB的面积是NAB面积的2倍，求直线l的方程21已知函数f（x）lnxmx2，g（x）mx2+x（mR），令F（x）f（x）+g（x）（1）当m时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的不等式F（x）mx1恒成立，求整数m的最小值（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系x0y中，曲线C1的参数方程为（t为参数且t0，a0，），曲线C2的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐
8、标方程为4cos（1）求C2的普通方程及C3的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2C3分别交于点A，B，求|AB|的最大值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+a|x3|（aR）（1）若a1，求不等式f（x）+10的解集；（2）已知a0，若f（x）+3a2对于任意xR恒成立，求a的取值范围参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上1已知集合Ax|0x3，Bx|log2x1，则AB（）A（2，3）B（0，3）C（1，2）D（0，1）【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出AB解：集合Ax
9、|0x3（0，3），Bx|log2x1（2，+），则AB（2，3），故选：A2设复数z满足（1+i）z3+i，则|z|（）AB2CD【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解解：由（1+i）z3+i，得z，|z|故选：D3Sn为等差数列an的前n项和，若S150，则a8（）A1B0C1D2【分析】根据等差数列的性质和求和公式即可求出解：Sn为等差数列an的前n项和，S1515a80，则a80，故选：B4通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k4.892，参照附表，得到的正确结论是（）P（K2k）0.100.050
10、.025k2.7063.8415.024A有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【分析】通过计算得到统计量值k2的观测值k，参照题目中的数值表，即可得出正确的结论解：计算得到统计量值k2的观测值k4.8923.841，参照题目中的数值表，得到正确的结论是：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”故选：C5已知向量，满足|1，|，且，夹角为，则（+）（2）（）ABCD【分析】按
11、照多项式乘多项式展开后利用数量积的性质可得解：（+）（2）222+23+1故选：A6算数书竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也又以高乘之，三十六成一”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）ABCD【分析】设圆锥底面圆的半径r，高h，写出底面周长L，写出圆锥体积，代入近似公式即可求出的近似值解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，L2r，即即的近似值为故选：C7已知，是两个不同的平面
12、，直线m，下列命题中正确的是（）A若，则mB若，则mC若m，则D若m，则【分析】直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果解：对于选项A：若，则m也可能m，故错误对于选项B：若，则m也可能m，故错误对于选项C：若m，则也可能与相交，故错误对于选项D，直线m，m，则是面面垂直的判定，故正确故选：D8函数yxcosx+sinx的图象大致为（）ABCD【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求解：因为函数yxcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x时，当x时，ycos+sin0由此可排除选项A和选项C故正确的选项为D故选：
13、D9要得到函数的图象，可将y2sin2x的图象向左平移（）A个单位B个单位C个单位D个单位【分析】根据两角和差的正弦公式求得 f（x）的解析式，再利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论解：由于函数f（x）sin2x+cos2x2（sin2x+cos2x）2sin（2x+）2sin2（x+），故将y2sin2x的图象向左平移个单位，可得 f（x）2sin（2x+）的图象，故选：A10数学老师给出一个定义在R上的函数f（x），甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在（，0上函数单调递减；乙：在0，+）上函数单调递增；丙：函数f（x）的图象关于直线x1对称；丁：f（0）不
14、是函数的最小值老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是（）A甲B乙C丙D丁【分析】如果甲乙正确，那么丙丁都是错的，与题干矛盾；根据函数图象的性质，乙丙不会同时成立，故乙的说法错误解：假设甲，乙两个同学回答正确，在0，+）上函数单调递增；丙说“在定义域R上函数的图象关于直线x1对称”错误此时f（0）是函数的最小值，丁的回答也是错误的，这与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾只有乙回答错误故选：B11若双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线被曲线x2+y24x+20所截得的弦长为2则双曲线C的离心率为（）ABCD【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系
15、式，然后求解双曲线的离心率即可解：双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay0，圆x2+y24x+20即为（x2）2+y22的圆心（2，0），半径为，双曲线的一条渐近线被圆x2+y24x+20所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：1，解得：e，故选：B12已知函数f（x），函数F（x）f（x）b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足：x1x2x3x4，则的值是（）A4B3C2D1【分析】根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而求得结论解：作出f（x）的函数图象如图所示：由图象知 x1+x24，x3x41，4故的值是4故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2
16、0分.13已知等比数列an满足a1+a310，a2+a45，则a5【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求公比q及首项，进而可求解：因为a1+a310，a2+a4（a1+a3）q10q5，所以q，所以a18则a58故答案为：14若实数x，y满足不等式组则目标函数z3xy的最大值为12【分析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值解：作出实数x，y满足不等式组可行域如图，由，解得A（4，0）目标函数y3xz，当y3xz过点（4，0）时，z有最大值，且最大值为12故答案为：1215曲线f（x）x+lnx在x1处的切线方程是y2x1【分析】求出曲线的导函数，把x1代入即可得
17、到切线的斜率，然后根据（1，1）和斜率写出切线的方程即可解：由函数yx+lnx知y1+，把x1代入y得到切线的斜率k1+12则切线方程为：y12（x1），即y2x1故答案为：y2x116已知三棱锥PABC中，PC平面ABC，若PCBC，AB2，PA与平面ABC所成线面角的正弦值为，则三棱锥PABC外接球的表面积为16【分析】根据已知可得ABBC，可得三棱锥PABC的外接球，即为以PC，AC，AB为长宽高的长方体的外接球，根据已知PC、AC、AB的长，代入长方体外接球直径（长方体对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积解：PC平面ABC，PA与平面ABC所成线面角的正弦值为，PA4
18、，根据勾股定理可得AC，在ABC中，BC，AC，AB2，则ABC为直角三角形三棱锥PABC外接球即为以PC，AC，AB为长宽高的长方体的外接球，故2R，三棱锥外接球的表面积为S4R216故答案为：16三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c，且ABC的面积为，求a+b的值【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C（2）利
19、用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值解：（1）2csinA正弦定理得，A锐角，sinA0，又C锐角，（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2a2+b22abcosC即7a2+b2ab，又由ABC的面积得即ab6，（a+b）2a2+b2+2ab25由于a+b为正，所以a+b518南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如表：分组
20、0，30）30，60）60，90）90，120）120，150）150，180男生人数216191853女生人数32010211若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少？（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动求男生和女生各抽取了多少人；若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率【分析】（1）100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，由此能求出我校7000名学生中“锻炼达人”的人数（2）100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，
21、女生2人从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，5人中随机抽取2人，利用列举法能求出抽取的2人中男生和女生各1人的概率解：（1）由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”的人数为（人）（2）由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，则5人中随机抽取2人的所有结果
22、有：男1男2，男1男3，男1 男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女共有10种结果，且每种结果发生的可能性相等记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件A，则事件A包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个，故抽取的2人中男生和女生各1人的概率19如图，三棱柱A1B1C1ABC中，BB1平面ABC，ABBC，AB2，BC1，BB13，D是CC1的中点，E是AB的中点（）证明：DE平面C1BA1；（）F是线段CC1上一点，且CF2FC1，求A1到平面ABF的距离【分析】（）取AA1的中点G，连接EG，DG，利用D是棱CC1的中点，G是棱AA1的中点，可得线线平行
23、，从而可得线面平行，进而可得面面平行，即可证明DE平面C1BA1；（）连接AF，BF，A1F，由已知可得BC平面AA1B，则F到底面AA1B的距离为BC1再求出三角形AA1B与三角形ABF的面积，设A1到平面ABF的距离为h，则由列式求解A1到平面ABF的距离【解答】（）证明：取AA1的中点G，连接EG，DG，D是棱CC1的中点，G是棱AA1的中点，DGA1C1，EGBA1，DG平面C1BA1，C1A1平面C1BA1，EG平面C1BA1，BA1平面C1BA1，DG平面AB1C1，BA1平面AB1C1，又EGDGG，平面DEG平面BA1C1，DE平面DEFDE平面BA1C1；（）解：连接AF，B
24、F，A1F，由已知BB1平面ABC，ABBC，可得BC平面AA1B，则F到底面AA1B的距离为BC1又AB2，AA1BB13，由CF2FC1，得CF2，则BF，设A1到平面ABF的距离为h，则由，得，则h故A1到平面ABF的距离20已知椭圆C：+1（ab0）的焦距是2，长轴长为4（1）求椭圆C的方程；（2）A，B是椭圆C的左右顶点，过点F（，0）作直线l交椭圆C于M，N两点，若MAB的面积是NAB面积的2倍，求直线l的方程【分析】（1）由题意求得a与c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由已知可得，直线MN与x轴不重合，设直线MN：xmy，联立
25、直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由面积关系可得M，N的纵坐标的关系，结合根与系数的关系求解m，则直线方程可求解：（1）由题意，2c2，2a4，则a2，cb2a2c22椭圆C的方程为；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由已知可得，直线MN与x轴不重合，设直线MN：xmy联立，整理得8m2+8（m2+2）16m2+160，0由SMAB2SNAB，得|y1|y2|，即y12y2，从而解得，即m直线MN的方程为：x或x+21已知函数f（x）lnxmx2，g（x）mx2+x（mR），令F（x）f（x）+g（x）（1）当m时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的不等式F（
26、x）mx1恒成立，求整数m的最小值【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）关于x的不等式F（x）mx1恒成立，即为lnxmx2+（1m）x+10恒成立，令h（x）lnxmx2+（1m）x+1，求得导数，求得单调区间，讨论m的符号，由最大值小于等于0，通过分析即可得到m的最小值解：（1）当m时，f（x）lnxx2，（x0），由f（x）x0，得x1，又x0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1）（2）关于x的不等式F（x）mx1恒成立，即为lnxmx2+（1m）x+10恒成立，令h（x）lnxmx2+（1m）x+1，h（x）mx+1m，当m0可得h（x）0恒成立，
27、h（x）递增，无最大值，不成立；当m0时，h（x），当x，h（x）0，h（x）递减，当0x，h（x）0，h（x）递增，则有x取得极大值，且为最大值由恒成立思想可得ln+0，即为2mlnm1，显然m1不成立，m2时，4ln21即有24e成立整数m的最小值为2（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系x0y中，曲线C1的参数方程为（t为参数且t0，a0，），曲线C2的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为4cos（1）求C2的普通方程及C3的直角坐标方程；（2
28、）若曲线C1与曲线C2C3分别交于点A，B，求|AB|的最大值【分析】（1）由消去参数得C2的普通方程为：x2+（y1）21；由4cos得24cos得C3的直角坐标方程为：x2+y24x，即（x2）2+y24（2）C1的极坐标方程为：，C2的极坐标方程为：2sin，将分别代入C2，C3的极坐标方程后利用极径的几何意义可得解：（1）由消去参数得C2的普通方程为：x2+（y1）21；由4cos得24cos得C3的直角坐标方程为：x2+y24x，即（x2）2+y24（2）C1的极坐标方程为：，C2的极坐标方程为：2sin将分别代入C2，C3的极坐标方程得：A2sin，B4cos，|AB|AB|2si
29、n4cos|2sin（+）|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+a|x3|（aR）（1）若a1，求不等式f（x）+10的解集；（2）已知a0，若f（x）+3a2对于任意xR恒成立，求a的取值范围【分析】（1 ）当a1吋，函数f（x）|2x1|x3|，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应不等式的解集；（2）当a0吋，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应f（x）的最小值f（x）min，再解关于a的不等式，从而求出a的取值范围解：（1 ）当a1吋，函数f（x）|2x1|x3|，当x时，f（x）12x+（x3）x2，不等式f（x）+10化为x2+10，解得x1；当x3时，f（x）2x1+（x
30、3）3x4，不等式f（x）+10化为3x4+10，解得x1，取1x3； 当x3时，f（x）2x1（x3）x+2，不等式f（x）+10化为x+2+10，解得x3，取x3； 综上所述，不等式f（x）+10的解集为x|x1或x1；（2）当a0吋，若x，则f（x）2xa+（x3）xa3，此时f（x）minf（）3，则f（x）+3aa32，解得a2；若x3，则f（x）2x+a+（x3）3x+a3，此时f（x）f（）a3，则f（x）+3aa32，解得a2； 若x3，则f（x）2x+a（x3）x+a+3，此时f（x）minf（3）6+a，则f（x）+3a4a+62恒成立；综上所述，不等式f（x）+3a2对任意x一、选择题恒成立时，a的取值范围是a2