1、第六章 不等式、推理与证明第一节 不等式的性质及一元二次不等式基础梳理1不等式的基本性质(1)对称性：ab _(2)传递性：ab，bc _(3)可加性：ab _bcacbc(4)可乘性：ab，c0 _；ab，cb，cd _(6)乘法法则：ab0，cd0 _(7)乘方法则：ab0 _(nN，n1)(8)开方法则：ab0_(nN，n2)acbcacbdacbdanbnn an b2不等式的倒数性质(1)ab，ab01a1b.(2)a0b1ab0，0cbd.3两个实数比较大小的依据(1)ab0a_b.(2)ab0a_b.(3)ab000)的图像一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根
2、x1，x2(x10(a0)的解集_Rax2bxc0)的解集_x|xx2x|xx1 x|x1xb，cbd；ab0，cdbd；ab03 a3 b；ab01a2 1b2.A BCD答案：D2(基础点：解不等式)不等式 x(9x)0，则 f(x)1 的解集为_答案：01，)考点一 比较大小及不等式性质挖掘 1 作差法(作商法)比较大小/自主练透例 1(1)已知 a0，且 a1，maa21，naa1，则()Amn BmnCm0，n0，两式作商，得mna(a21)(a1)aa(a1)，当 a1时，a(a1)0，所以 aa(a1)a01，即 mn；当 0a1 时，a(a1)a01，即 mn.综上，对任意的
3、a0，a1，都有 mn.答案 B(2)已知 a0，b0，且 ab，则()Aab1abBa3b3a2bab2C2a3b3a2bDaabb0，b0，ab，所以 ab0，(ab)20，故(ab)2(ab)0，即 a3b3a2bab2，故选项 B 正确答案 B破题技法 作差法适用于四则运算形式的整式型代数式的比较大小问题，是解决比较大小问题的基本方法；作商法适用于幂指数形式的代数式以及整式的比较大小问题破解此类题的关键点：(1)作差(商)，即根据两数或两式的结构特征确定作差或作商(2)变形，即把差式或商式进行等价变形，化简，以便于判断差或商的大小(3)定值，即判断差与 0 的大小，或商与 1 的大小(
4、4)定号，即根据差与 0 的大小关系，或商与 1 的大小关系确定两数或两式的大小关系挖掘 2 利用不等式性质比较大小/自主练透例 2(1)已知 xyz，xyz0，则下列不等式成立的是()Axyyz BxzyzCxyxzDx|y|z|y|解析 因为 xyz，xyz0，所以 3xxyz0，所以 x0，又 yz，所以xyxz，故选 C.答案 C(2)(2020福建厦门一模)已知 ab0，xabeb，ybaea，zbaeb，则()AxzyBzxyCzyxDyzx解析 法一：由题意，令 a2，b1，则 x2e，y12e2，z12e，显然有 12e212e2e，即 xzy.法二：ab0 时，eaeb，ae
5、aaebbeb，baeabaebbbeb，yz，zx(ba)(ab)eb(ab)(eb1)0，zx，xzy.故选 A.答案 A破题技法 不等式的性质法就是根据已知不等关系，确定已知不等关系向所比较代数式转化的过程，然后利用不等式的性质判断代数式大小的一种方法适用于基本初等函数代数式的比较大小问题破解此类题的关键点：(1)明已知，明确已知的不等关系(2)定变形，确定由已知不等关系变为要比较大小的代数式的过程(3)寻性质，确定变化过程所使用的不等式的性质(4)得结果，正确运用不等式的性质判断两者的大小关系挖掘 3 构造函数法比较大小/互动探究例 3(1)(2019高考全国卷)若 ab，则()Aln
6、(ab)0 B3a0 D|a|b|解析 法一：不妨设 a1，b2，则 ab，可验证 A，B，D 错误，只有 C正确法二：由 ab，得 ab0.但 ab1 不一定成立，则 ln(ab)0 不一定成立，故 A 不一定成立因为 y3x 在 R 上是增函数，当 ab 时，3a3b，故 B 不成立因为 yx3 在 R 上是增函数，当 ab 时，a3b3，即 a3b30，故 C 成立因为当 a3，b6 时，ab，但|a|b|，所以 D 不一定成立故选 C.答案 C(2)(2018高考全国卷)设 alog0.20.3，blog2 0.3，则()Aabab0 Babab0Cab0abDab0ab解析 alog
7、0.20.3log0.210，blog20.3log210，ab0.abab 1a1blog0.30.2log0.32log0.30.4，1log0.30.3log0.30.4log0.310，0abab 1，abab0.故选 B.答案 B破题技法 将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系考点二 一元二次不等式的解法挖掘 1 解简单的一元二次不等式/自主练透例 1 不等式x23x40 的解集为_(用区间表示)解析 x23x40(x4)(x1)0.如图，作出函数 y(x4)(x1)的图像，当4x1 时，y0”，其解集为_解析：令 yx23x4，(3)2440 恒成立x
8、R.答案：R挖掘 2 解含参数的不等式/互动探究例 2 解不等式 x24ax5a20(a0)解析 由 x24ax5a20，知(x5a)(xa)0.由于 a0，故分 a0 与 a0 讨论当 a0 时，xa；当 a0 时，x5a.综上，a0 时，解集为x|xa；a0 时，解集为x|x5a 或 x0”(a0)的形式，求方程 ax2bxc0 的根，结合图像，写出解集“大于取两边，小于取中间”不含参数的一元二次不等式讨论参数法二次项中的系数含参数，讨论等于 0，小于 0，大于 0；方程根个数不定，讨论 与 0 的关系；根的大小不定时，讨论两根大小含参数的不等式此题变为：求解不等式 ax22x1a0.解析
9、：显然 a0，不等式变为（ax1）2a0，当 a0 时，xR，当 a0 时，x1a.挖掘 3 已知不等式的解集求参数/互动探究例 3(1)(2020河南濮阳模拟)已知不等式 ax2bxc0 的解集是x|x(0)，则不等式 cx2bxa0 的解集是()A(1，1)B(，1)(1，)Cx|x D(，)(，)解析 不等式 ax2bxc0 的解集是x|x(0)，则，是一元二次方程 ax2bxc0 的实数根，且 a0，ba，ca.不等式 cx2bxa0 化为cax2bax10，x2()x10，化为(x1)(x1)0，又 0，110，不等式 cx2bxa0 的解集为xx1或x1，故选 B.答案 B(2)(
10、2020广东梅州模拟)关于 x 的不等式 x2(m2)x2m0 的解集中恰有 3 个正整数，则实数 m 的取值范围为()A(5，6 B(5，6)C(2，3 D(2，3)解析 关于 x 的不等式 x2(m2)x2m0 可化为(xm)(x2)0，该不等式的解集中恰有 3 个正整数，不等式的解集为x|2xm，且 5m6，即实数 m 的取值范围是(5，6故选 A.答案 A已知不等式 ax2bxc0 的解集为(12，3)，则不等式 cx2bxa0 的解集为_解析：由题意得 x12，3 是方程 ax2bxc0 的两根，b72a，c32a(a0)，cx2bxa0，即为 3x27x20 得 x2 或 x13.
11、答案：(，13)(2，)考点三 不等式恒成立问题挖掘 1 在 R 上恒成立问题/自主练透例 1 不等式 a28b2b(ab)对于任意的 a，bR 恒成立，则实数 的取值范围为_解析 因为 a28b2b(ab)对于任意的 a，bR 恒成立，所以 a28b2b(ab)0恒成立，即 a2ba(8)b20恒成立，由二次不等式的性质可得 2b24(8)b2b2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.答案 8，4破题技法 不等式恒成立常见题型：(1)ax2bxc0(xR)恒成立，即a0，0，或a0，b0，c0.(2)ax2bxc0(xR)恒成立，即a0，0，或a0，b0，c0.(2020湖南湘潭联考
12、)若不等式 4x2ax40 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是()A(16，0)B(16，0C(，0)D(8，8)解析：不等式 4x2ax40 的解集为 R，a24440，解得8a8，实数 a 的取值范围是(8，8)故选D.答案：D挖掘 2 在给定 x 的区间上恒成立问题/互动探究例 2(1)(2020郑州调研)若不等式 x2ax10 对一切 x0，12 都成立，则 a的最小值是_解析 法一：由于 x0，则由已知可得 ax1x在 x0，12 上恒成立，而当x0，12 时，x1x max52，a52，故 a 的最小值为52.法二：设 f(x)x2ax1，则其对称轴为 xa2.若a212，即
13、a1 时，f(x)在0，12 上单调递减，此时应有 f12 0，从而52a1.若a20 时，f(x)在0，12 上单调递增，此时应有 f(0)10 恒成立，故a0.若 0a212，即1a0 时，则应有 fa2 a24 a22 11a24 0 恒成立，故10且 g(1)0，解得 x3.答案(，1)(3，)(2)不等式 ax22xa10 对满足|a|1 的一切实数 a 都成立，则实数 x 的取值范围是_解析 由|a|1，得1a1，不等式变形为(x21)a(2x1)0，不等式可以看成关于 a 的一次函数，所以只需x21（2x1）0，（x21）（2x1）0，即x22x0，x22x20，解得 31x2.答案(31，2)破题技法 给出参数范围解不等式，采用反解“主元法”，将参数视作“主元”，即将参数看作“自变量”的构造函数，建立不等式