1、 对于引进新的符号，扩充一个范围，使得在原来范围内成立的规律，在这更大的范围内继续成立，这是数学推广过程的一个特征。R柯朗，H罗宾：什么是数学第三章 指数函数和对数函数 3.2.1指数概念的扩充 经历幂概念的自然扩充过程，充分感受分数指数幂规定的合理性，理解分数指数幂的意义；能将方根幂的形式相互转化；激发学习兴趣，感受数学的价值，感悟数学文化。学习目标 二战后期，盟军收复比利时，荷兰保安人员开始搜捕纳粹同党。他们根据一家艺术品公 司 的档案 发 现，荷 兰 画 家范 米 格 伦（H.A.VanMeegeren,1889-1947）曾通过中介将17世纪著名画家弗美尔（J.Vermeer,1632
2、-1675）的作品“基督与奸妇”出售给纳粹头目戈林。基督与奸妇 引 入 那么，范米格伦究竟是否伪造了弗美尔的画？要揭示真相，就需要对画的真伪进行鉴定。经测定，油画中的铅-210大约每经过22年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。据此，人们获得了油画中的铅含量 P 与年数 t 之间的关系：2221tPt5010050010005000P502212100221250022121000221250002212思考：表中相应 P 值的意义究竟是什么呢？1 2 3 4 5 2 4 8 16 3201-112-214-318-4116指数幂 新课探究 正整数指数幂 指数加1，幂加倍；指数减1，幂折
3、半。零指数幂 指数1减去1等于零，对应于2的一半等于1。负整数指数幂 指数0减去1等于-1，对应于1的一半等于1/2。以下类推。分数指数幂 如果在指数 0和 1 之间插入算术平均数 1/2，那么对应的 2的幂会是什么数呢？122-51321211222 的意义,2 是什么数？讨论：请大家继续仔细观察相邻三个正整数指数幂之间的关系：0、1、2 1、2、41、2、3 2、4、82、3、4 4、8、16猜想：若在 0 和 1 之间插入算术平均数，则对应的幂应该为什么数？讨论：2111222 的意义,2 是什么数？12221 2 3 4 5 2 4 8 16 3201-112-214-318-4116
4、指数幂-513212122 的意义讨论：1、若 xn=a，则 x 称为 a 的 n 次方根。其中n为大于1的正整数。2、一般地，给定正实数a，对于任意给定的正整数n，存在唯一的正实数b，使得 bn=a，则b称为 a 的次幂。记作：n1nab1概念形成 105102 5255()aaaa 884242()aaaa 12123 43444()aaaa 10105252()aaaa 提出问题 1、观察以下式子，并总结出规律：a02、利用上例你能表示出下面的式子吗？353574 5,7,nmax，（x0，a0，m，nN，且 n1，）。解：分别表示为：，。34553775amnx、概念形成 定义：一般地
5、，给定正实数a，对于任意给定的正整数n，存在唯一的正实数b，使得 bn=am，则b称为 a 的次幂。记作：nmnmab 例1 ：将分数指数幂化为根式。、题次分数指数幂方根小 结1，（，n N，n 1）2，（,m,n N）3（a 0,n N,n 1）4(a 0,m,n N,n 1）31241254221211nnaa 322nmnmnmaaa11 1nnaa0a 232mnmnaa0a 例2：分别将引入中出现的分数指数幂，和化为根式。2210021 500221210002212例题解析 解：),()1()3(535353Nnmbnmnmnm例、把下列各式中的b 写成正分数指数幂的形式：（1）3
6、25 b（2）543b（3）mnb35方法小结 1正整数指数幂负整数指数幂整数指数幂正分数指数幂 负分数指数幂分数指数幂。2正整数指数函数整数指数函数有理数指数函数。3若nmba，则我们把叫做的 mn次幂，记作mnba，且nma=nma bamnakmkna0k 拓展问题：19世纪数学家给出无理量的如下定义：“具有分数指数的量称为不尽根，也称为无理量。”你觉得这个定义严谨吗？试说明理由。思考交流：请同学们阅读教材65页至66页理解指数可以扩充到全体实数后有意义吗？1360154416291637165516761585奥雷姆 斯蒂菲尔 负整数指数幂 122nn 方根与幂之间的关系 1 p2 2
7、斯蒂文 分数指数幂的符号 12吉拉尔 分数指数幂的符号 122分数指数幂的运算 13222nnn 沃利斯 分数指数幂的现代符号 12aa正整数指数幂的现代记号 笛卡儿 3aaaa历史回溯 牛顿 作业布置：1.正式作业：课本P66，练习3.计算：（1）;（2）;（3）2.（选做）搜集一则指数概念扩充的发展历史中小故事。3127关于本节课，你印象最深的是什么？A.史上最大伪造名画案的侦破B.幂指数的扩充过程C.类比的思想方法D.一节课的小结E.其他设计思路 引入 历史故事：范米格伦伪造名画案 引出分数指数幂探究究竟是什么数？形成 分数指数幂的概念回眸 分数指数幂的历史练习 分数指数幂与根式的互化122