1、专题04 函数的单调性知识点一函数的单调性1.增函数和减函数增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)那么就称函数f(x)在区间D上单调递增区间D称为函数f(x)的单调递增区间那么就称函数f(x)在区间D上单调递减区间D称为函数f(x)的单调递减区间增函数减函数图象特征函数f(x)在区间D上的图象是_的函数f(x)在区间D上的图象是_的图示2.单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间【思考】若
2、函数f(x)是其定义域上的增函数且f(a)f(b)，则a，b满足什么关系，如果函数f(x)是减函数呢？【提示】若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)f(b)时，ab；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)f(b)时，ab.【基础自测】1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性 () (2)因为f(1)f(2)，所以函数f(x)在1,2上单调递增 () (3)若f(x)是R上的减函数，则f(3)f(2)() (4)若函数f(x)在区间(1,2和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上也单调递增 ()【答案】（1）（2）（3
3、）（4）2.函数yf(x)的图象如图所示，其增区间是 ()A4,4B4，31,4C3,1D3,4【答案】C【解析】由图可知，函数的单调递减区间为.3下列函数中，在区间(0，)上是减函数的是 ()AyByx Cyx2 Dy1x【答案】D【解析】选项A、B、C中的函数在(0，)上都是增函数，选项D满足条件4函数f(x)x22x的单调递增区间是_【答案】5若y(2k1)xb是R上的减函数，则k的取值范围为_，b的取值范围为_【答案】 R题型一判断（证明）函数的单调性【学透用活】用定义法判断函数的单调性的关键是变形，常用的变形技巧有：因式分解：当原来的函数是多项式函数时，通常作差后进行因式分解；通分：
4、当原来的函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子、分母进行因式分解；配方：当原来的函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；分母有理化：当原来的函数是根式函数时，作差后往往考虑分母有理化【例1】已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，)上的单调性，并加以证明【解析】(1)由x210得x1，故函数f(x)的定义域为x|x1(2)函数f(x)在(1，)上为减函数，理由如下：x1，x2(1，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x10，x10，x2x10，x2x10，所以f(x1)f(x2)，故函数f(x)在(1，)上为减函数【方法技巧】利用
5、定义证明函数单调性的4个步骤【变式训练】1函数单调性的判断下列四个函数在(，0)上为增函数的是 ()y|x|1；y；y；yx.AB C D【答案】C【解析】y|x|1x1(x0)在(，0)上为减函数；y1(x0)在(，0)上既不是增函数也不是减函数；yx(x0)在(，0)上是增函数；yxx1(x0)在(，0)上也是增函数2函数单调性的证明证明函数f(x)x在区间(2，)上单调递增【解析】任取x1，x2(2，)，且x12，x22.所以x1x24，x1x240，又由x1x2，得x1x20.于是0，即f(x1)0时，单调递增区间为(，)；a0时，单调递减区间为(，0)和(0，)；a0时，单调递减区间
6、为(，m，单调递增区间为(m，)；a0时，单调递增区间为(，m，单调递减区间为(m，)【变式训练】1由图象判断函数的单调区间将本例中“yx22|x|3”改为“y|x22x3|”，如何求解？【解析】函数y|x22x3|的图象如图所示由图象可知其单调递增区间为1,1，3，)；单调递减区间为(，1)，(1,3)2定义法求函数的单调区间求函数f(x)的单调递减区间【解析】函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，设x1，x2(，1)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x20，x110，x210，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(，1)上单调递减同理：函数f(x)在(1，)上单调递减综上
7、，函数f(x)的单调递减区间是(，1)，(1，)题型三函数单调性的应用【探究发现】(1)已知f(x)的定义域为a，b且为增函数，若f(m)f(n)，则m，n满足什么关系？【提示】f(m)f(n)(2)影响二次函数yax2bxc(a0)的单调性的因素有哪些？【提示】a的正负及的大小【学透学活】【例3】(1)已知函数f(x)x22(a1)x3.若函数f(x)在区间(，3上是增函数，则实数a的取值范围是_；若函数f(x)的单调递增区间是(，3，则实数a的值为_(2)若函数f(x)x2axb在区间1,2上不单调，则实数a的取值范围为_(3)已知函数yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f
8、(2a1)，则实数a的取值范围为_【解析】(1)f(x)x22(a1)x3(xa1)2(a1)23.因此函数的单调递增区间为(，a1由f(x)在(，3上是增函数知3a1，解得a4，即实数a的取值范围为(，4由题意得a13，a4.(2)函数f(x)的对称轴方程为x，要使函数f(x)在区间1,2上不单调，则12，解得4a2.(3)由题知解得0a，即所求a的取值范围是.【方法技巧】(1)区间D是函数f(x)的定义域的子集，x1，x2是区间D中的任意两个自变量，且x1x2，f(x)在区间D上单调递增，则x1x2f(x1)f(x2)f(x)在区间D上单调递减，则x1x2f(x1)f(x2)（2）有关函数
9、单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程如下：【变式训练】1函数值大小的比较函数f(x)是R上的增函数且f(a)f(b)f(a)f(b)，则()Aab0 Bab0 Cab0 Da0，b0【答案】C【解析】当ab0时，ab，ba.函数f(x)是R上的增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)故选C.2由函数的单调性求参数的取值范围已知函数f(x)ax2xa1在(，2)上单调递减，则a的取值范围是( )A. B C2，) D0,4【答案】B【解析】当a0时f(x)x1满足条件，当a0时，由题可知a0且2得0a，综上所述，a，故选B.3利用单调性
10、解不等式已知函数f(x)x2axb在区间(，1上单调递减，在1，)上单调递增，且f(m2)f(2)，则实数m的取值范围是_【答案】(2,0)【解析】f(x)在(，1上递减，在1，)上递增， 1，a2.如图f(m2)f(2)，f(0)f(2)，0m22，2m0，则实数m的取值范围为(2,0) 课堂思维激活一、综合性强调融会贯通1已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围【解析】(1)证明：当a2时，f(x).任取x1，x2(，2)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1，x2(，2)，且x1x2，所以(x1
11、2)(x22)0，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)内单调递增(2)任取x1，x2(1，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为a0，x2x10，又由题意知f(x1)f(x2)0，所以(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1，即0a1，所以a的取值范围为(0,1二、应用性强调学以致用2.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为yf(t)，则以下函数图象中，可能是yf(t)的图象是()【答案】D【解析】如图所示，腰长ADBCx，作DEAB于点E，连接BD.因为AB是
12、O的直径，C，D在圆上，所以ADB90，所以EDADBA，即AD2AEAB，所以AE，所以CDAB2AE2R，所以周长y与腰长x之间的函数关系式为y2R2x2x4R. 因为四边形ABCD的各边长都为正数，所以AD0，CD0，即解得0xR，所以所求函数的定义域为x|0xR三、创新性强调创新意识和创新思维3是否存在函数f(x)，其在定义域上既不是增函数，也不是减函数？如果不存在，说明理由；如果存在，举出实例【提示】存在，如：f(x)=c(c为常数)，在定义域R上既不是增函数，也不是减函数.（答案不唯一.）1函数f(x)|x|，g(x)x(2x)的递增区间依次是()A(，0，(，1B(，0，(1，)
13、C0，)，(，1D0，)，1，)【答案】C【解析】分别作出f(x) 与g(x)的图象(图略)可得：f(x)在0，)上递增，g(x)在(，1上递增，选C.2函数f(x)|x2|在3,0上()A单调递减B单调递增C先减后增D先增后减【答案】C【解析】作出f(x)|x2|在(，)上的图象，如图所示，易知f(x)在3,0上先减后增3设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)D不能确定【答案】D【解析】由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能
14、由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定故选D.4已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，1)，B(3,1)是其图象上的两点，则1f(x)1的解集是()A(3,0)B(0,3)C(，13，)D(，01，)【答案】B【解析】由已知，得f(0)1，f(3)1，1f(x)1等价于f(0)f(x)f(3)f(x)在R上单调递增，0x0成立，则实数a的取值范围是()A.BC1,2D1，)【答案】C【解析】因为函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有(x1x2)f(x1)f(x2)0成立，所以函数f(x)在(，)上是增
15、函数，即解得1a2.所以实数a的取值范围是1,2故选C.6已知函数f(x)则f(x)的单调递减区间是_【答案】 (，1)【解析】当x1时f(x)是增函数，当x1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间为(，1)7已知函数f(x)为定义在区间1,1上的增函数，则满足f(x)f的实数x的取值范围为_【答案】【解析】由题设得解得1x.8若函数f(x)8x22kx7在1,5上为单调函数，则实数k的取值范围是_【答案】 (，840，)【解析】由题意知函数f(x)8x22kx7的图象的对称轴为x，因为函数f(x)8x22kx7在1,5上为单调函数，所以1或5，解得k8或k40，所以实数k的取值范围
16、是(，840，)9判断并证明函数f(x)1在(0，)上的单调性【解析】函数f(x)1在(0，)上是增函数证明如下：设x1，x2是(0，)上的任意两个实数，且x10，又由x1x2，得x1x20，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，则有()Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)0，ab，ba，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)故选A.12已知函数f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A(0,3)B(0,3C(0,2)D(0,2【答案】D【解析】依题意得实数a满足解得01的解集为_【答案】【解析】由条
17、件可得f(x)f(2)f(2x)，又f(3)1，不等式f(x)f(2)1，即为f(2x)f(3)f(x)是定义在R上的增函数，2x3，解得x1的解集为.14设函数f(x)(ab0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性【解析】在定义域内任取x1，x2，且使x1b0，x1x2，ba0.只有当x1x2b或bx1x2时，函数才单调当x1x2b或bx1x2时，f(x2)f(x1)0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若ff(x)f(y)，f(2)1，解不等式f(x)f2.【解析】(1)证明：设x1，x2R，且x10，即f(x2x1)1，所以f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)是R上的增函数(2)因为ff(x)f(y)，所以f(y)ff(x)在上式中取x4，y2，则有f(2)f(2)f(4)，因为f(2)1，所以f(4)2.于是不等式f(x)f2等价于fx(x3)f(4)(x3)又由(1)，知f(x)是R上的增函数，所以解得1x3或3x4，所以原不等式的解集为1,3)(3,4
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