1、专题04 全等三角形中的对角互补模型 【模型展示】特点如图，在四边形ABCD中，1+2180，BABC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立：BAEBCD【证明】证明：1+2180，BAD+C180，BAE=BCD在BAE和BCD中AE=CDBAE=BCDAB=BC BAEBCD（SAS）结论BAEBCD【模型证明】解决方案【结论一】（对角互补含90角）如图，在四边形ABCD中，1=90，290，BABC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立：BAEBCD；BED为等腰Rt【证明】证明：证明：1+2180，BAD+C180，BAE=BCD在BAE和BCD
2、中 AE=CDBAE=BCDAB=BC BAEBCD（SAS）证明：BAEBCDEBA=DBC,BE=BD DBC+ABD90 EBA+ABDEBD90 EBD为等腰Rt【结论二】（对角互补含60角）如图，在四边形ABCD中，1=60，2120，BABC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立：BAEBCD；BED为等边【证明】证明：证明：1+2180，BAD+C180，BAE=BCD在BAE和BCD中 AE=CDBAE=BCDAB=BC BAEBCD（SAS）证明：BAEBCDEBA=DBC,BE=BD DBC+ABD60 EBA+ABDEBD60EBD为等边【题型演练】一
3、、单选题1RtABC中，AB=AC，点D为BC中点MDN=90，MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点下列结论(BE+CF)=BC，ADEF，ADEF，AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是【】A1个B2个C3个D4个二、填空题2如图，在RtABC和RtBCD中，BACBDC90，BC8，ABAC，CBD30，BD4，M，N分别在BD，CD上，MAN45，则DMN的周长为_3如图，在四边形中，于，则的长为_三、解答题4（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE求证：BCPDCE；（2
4、）直线EP交AD于F，连接BF，FC点G是FC与BP的交点若CD=2PC时，求证：BPCF；若CD=nPC（n是大于1的实数）时，记BPF的面积为S1，DPE的面积为S2求证：S1=（n+1）S25已知，ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度均为1cm/s当点P到达点B时，P、Q两点停止运动设点P的运动时间为t（s）（1）如图1，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数（2）如图2，当t为何值时，PBQ是直角三角形？（3）如图3，若点P、Q在运动到终点后继续在
5、射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，请直接写出CMQ度数6如图1，在等腰直角三角形ABC中，ABAC，BAC90，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AGAH且AGAH，连接GC，HB（1）证明：AHBAGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q证明：在点H的运动过程中，总有HFG90；当AQG为等腰三角形时，求AHE的度数7回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，B=ADC=90，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中BAE、FAD、EAF之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：
6、延长FD到点G，使DG=BE连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，ABC+ADC=180，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出EAF与DAB的数量关系8在内有一点，过点分别作，垂足分别为，且，点，分别在边和上（1）如图1，若，请说明；（2）如图2，若，猜想，具有的数量关系，并说明你的结论成立
7、的理由9如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，EAF=BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系（1）思路梳理将ABE绕点A逆时针旋转至ADG，使AB与AD重合，由B+ADC=180，得FDG=180，即点F，D，G三点共线，易证AFGAFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为_；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，EAF=BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明（3）联想拓展如图3，在ABC中，BAC=90，AB=AC
8、，点D，E均在边BC上，且DAE=45，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为_.10五边形ABCDE中，求证：AD平分CDE11探究问题：(1)方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足BAF45，连接EF，求证DEBFEF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：ABAD，BGDE，12，ABGD90，ABGABF9090180，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF4523BADEAF90454512，1345即GAF_又AGAE，AFAEGAF_EF，故DEBFEF(2)方法迁移：如图，将R
9、tABC沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAFDAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想12在中，于点,（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：;13如图，ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，EDF=120，把EDF绕点D旋转，使EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F（1）当DFAC时，求证：BE=CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由14在中，BAC90，点D为直线BC上一动点
10、（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE（1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由；（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由；（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由15如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”（1）性质探究：如图1已知四边形ABCD中，ACBD垂足为O，求证：AB2+CD2AD2+BC2；（2）解决问题：已知AB5BC4，分别以ABC的边BC和AB向外作等腰RtBCE和等腰RtABD；如图2，当AC
11、B90，连接DE，求DE的长；如图3当ACB90，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH若GH2，则SABC16（1）如图，在四边形中，分别是边，上的点，且请直接写出线段，之间的数量关系：_；（2）如图，在四边形中，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，分别是边，所在直线上的点，且请画出图形（除图外），并直接写出线段，之间的数量关系17四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：；（2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量
12、关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，请直接写出的长为 18如图1，四边形ABCD中，BDAD，E为BD上一点，AEBC，CEBD，CEED（1）已知AB10，AD6，求CD；（2）如图2，F为AD上一点，AFDE，连接BF，交BF交AE于G，过G作GHAB于H，BGH75求证：BF2GH+EG19问题背景如图（1），在四边形ABCD中，B+D180，ABAD，BAD，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且EAF，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当BADBD90时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为_（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由（3）解决问题如图（3），在ABC中，BAC90，ABAC4，点D，E均在边BC上，且DAE45，若BD，请直接写出DE的长
