1、第八章 平面解析几何第六节 抛物线基础梳理1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内(2)与一个定点 F 和一条定直线 l 距离_(3)l 不经过点 F.相等2抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点O(0，0)对称轴_y0(x轴)x0(y轴)焦点F_F_F_F_离心率e1准线方程_p2，0p2，00，p20，p2xp2xp2yp2yp2范围_焦半径(其中P(x0，y0)|PF|_|PF|_|PF|_|PF|_x0，yRx0，yRy0，xRy0，xRx0p
2、2x0p2y0p2y0p2焦点弦性质设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2p24，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p 2psin2(为弦 AB 的倾斜角)(3)1|AF|1|BF|2p.(4)以弦 AB 为直径的圆与准线相切(5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p.四基自测1(基础点：抛物线定义)若抛物线 y4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是()A.1716 B1516 C.78 D0答案：B2(基础点：求抛物线标准方程)以 x
3、 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点 P(1，m)到焦点的距离为 3，则其方程是()Ay4x2By8x2Cy24xD.y28x答案：D3(基础点：抛物线的定义)抛物线 y28x 上到其焦点 F 距离为 5 的点 P 有()A0 个B1 个C2 个D.4 个答案：C4(易错点：抛物线的性质)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_答案：y28x 或 x2y考点一 抛物线的定义及应用挖掘 抛物线上点到焦点的距离/自主练透例(1)(2020河北三市联考)过点 P(2，0)的直线与抛物线 C：y24x 相交于 A、B两点，且|PA|12|AB|，则
4、点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为()A.53 B75C.97D.2解析 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，分别过点 A、B 作直线 x2 的垂线，垂足分别为点 D、E(图略)|PA|12|AB|，3（x12）x223y1y2，又y214x1y224x2，得 x123，则点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为 12353.答案 A(2)已知 P 为抛物线 y24x 上一个动点，Q 为圆 x2(y4)21 上一个动点，那么点P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是()A2 51 B2 52C.171 D.172解析 由题意得圆 x2(y4)21 的圆心 A(0，4)，
5、半径 r1，抛物线的焦点 F(1，0)由抛物线的几何性质可得：点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|r 1161 171.选 C.答案 C(3)过抛物线 y24x 的焦点的直线交抛物线于 A，B 两点，若|AB|10，则 AB 的中点到 y 轴的距离等于()A1 B2C3 D.4解析 AB 的中点到抛物线准线的距离为|AB|2 5，所以 AB 的中点到 y 轴的距离为514.答案 D破题技法 利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的
6、距离问题时，可以利用定义进行相互转化考点二 抛物线的方程及性质挖掘 抛物线方程与性质的关系/自主练透例(1)(2019高考全国卷)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x23py2p1 的一个焦点，则 p()A2 B3C4 D.8解析 抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为p2，0，椭圆x23py2p1 的焦点坐标为(2p，0)由题意得p2 2p，解得 p0(舍去)或 p8.故选 D.答案 D(2)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，点 M，N 分别在抛物线 C 上，且MF 3NF 0，直线 MN 交 l 于点 P，NNl，垂足为 N.若MNP 的面积为 24 3，则
7、 F 到 l 的距离为()A4 B6 C8 D12解析 作出图形如图，作 MMl，垂足为 M，设|NF|m(m0)，则|NN|m.由MF 3NF 0，得|MF|3m，则|MM|3m，过点 N 作 NGMM，垂足为 G，则|MG|m，|MG|2m，所以NMG60，所以|MP|6m，|NP|2m，|NP|3 m，SMNP 12|MM|NP|123m 3m24 3，所以 m4.易知 F 为线段 MP 的中点，所以 F 到 l 的距离为 p3m2 6.答案 B(3)(2020江西萍乡一模)已知抛物线 C：y22 px(p0)的焦点为 F，准线 l：x1，点 M 在抛物线 C 上，点 M 在直线 l：x
8、1 上的射影为 A，且直线 AF 的斜率为 3，则MAF 的面积为()A.3B2 3C4 3D.8 3解析 如图所示，设准线 l 与 x 轴交于点 N.则|FN|2.直线 AF 的斜率为 3，AFN60.MAF60，|AF|4.由抛物线的定义可得|MA|MF|，AMF 是边长为 4 的等边三角形SAMF 34 424 3.故选 C.答案 C破题技法 1.求抛物线标准方程的方法及注意点(1)方法求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法若题目已给出抛物线的方程(含有未知数 p)，那么只需求出 p 即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为 y2ax(a0
9、)，a 的正负由题设来定；焦点在 y轴上的抛物线的标准方程可设为 x2ay(a0)，这样就减少了不必要的讨论(2)注意点当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题2抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算考点三 直线与抛物线的综合问题挖掘 1 直线与抛物线相交问题/自主练透例 1(2018高考全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F
10、，过点(2，0)且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM FN()A5 B6C7 D.8解析 由题意知直线 MN 的方程为 y23(x2)，联立直线与抛物线的方程，得y23（x2），y24x，解得x1，y2或x4，y4.不妨设 M 为(1，2)，N 为(4，4)又抛物线焦点为 F(1，0)，FM(0，2)，FN(3，4)，FM FN 03248.故选 D.答案 D破题技法 直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决挖掘 2 抛物线的焦点弦问题/互动探究例 2(1)经过抛物线 C 的
11、焦点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点，如果 A、B在抛物线 C 的准线上的射影分别为 A1、B1，那么A1FB1 等于()A.6B4C.2D.23解析 由抛物线定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，故BFB1BB1F，AFA1AA1F.又OFB1BB1F，OFA1AA1F，故BFB1OFB1，AFA1OFA1，所以OFA1OFB1122，即A1FB12.答案 C(2)(2018高考全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8.求 l 的方程；求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程解析
12、 由题意得 F(1，0)，l 的方程为 yk(x1)(k0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yk（x1），y24x得 k2x2(2k24)xk20.16k2160，故 x1x22k24k2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k24k2.由题设知4k24k28，解得 k1(舍去)或 k1.因此 l 的方程为 yx1.由得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即 yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0 x05，（x01）2（y0 x01）2216，解得x03，y02或x011，y06.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)21
13、6 或(x11)2(y6)2144.破题技法 解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解挖掘 3 抛物线与其他曲线的综合/互动探究例 3(2019高考全国卷)已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|4，M 过点A，B 且与直线 x20 相切(1)若 A 在直线 xy0 上，求M 的半径；(2)是否存
14、在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由解析(1)因为M 过点 A，B，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上由已知 A 在直线 xy0 上，且 A，B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 yx 上，故可设 M(a，a)因为M 与直线 x20 相切，所以M 的半径为 r|a2|.由已知得|AO|2.又 MOAO，故可得 2a24(a2)2，解得 a0 或 a4.故M 的半径 r2 或 r6.(2)存在定点 P(1，0)，使得|MA|MP|为定值理由如下：设 M(x，y)，由已知得M 的半径为 r|x2|，|AO|2.由于 MOAO，故可得 x2y24(x2)2，化简得 M 的轨迹方程为 y24x.因为曲线 C：y24x 是以点 P(1，0)为焦点，以直线 x1 为准线的抛物线，所以|MP|x1.因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点 P.