1、专题03 数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍1二、典型题型2题型一：构造法2题型二：倒数法5三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练8一、必备秘籍1.构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.标准模型：（为常数，）或（为常数，）类型2：用“同除法”构造等差数列（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型
2、1求出，再求出的通项公式.（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.2.倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.类型2：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）二、典型题型题型一：构造法例题1（2023秋江西
3、宜春高三校考开学考试）已知正项数列中，则数列的通项（）ABCD【答案】D【详解】解法一：在递推公式的两边同时除以，得，令，则式变为，即，所以数列是等比数列，其首项为，公比为，所以，即，所以，所以，解法二：设，则，与比较可得，所以，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以，故选：D例题2（多选）（2023秋广东深圳高三校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，则（）ABC数列为等差数列D为等比数列【答案】ABC【详解】由得，两式相减得，又当时，则，故为首项是1，公差为的等差数列，即.显然A、C正确；，故B正确；由通项公式易得，三者不成等比数列，故D错误故选：ABC例题3（2023春山东
4、淄博高二校考期中）已知数列满足，则数列的通项公式为 【答案】【详解】由得，故为等差数列，公差为1，首项为1，所以 所以.故答案为：例题4（2023全国高二专题练习）已知数列满足，则数列的前项和为 【答案】【详解】解：因为，所以，即，即，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，则，令数列的前项和为，则故答案为：例题5（2023全国高三专题练习）在数列中，且，求.【答案】【详解】由，得，所以数列是以首项为，公比为的等比数列.所以，即.当时，此式也满足，故.例题6（2023四川绵阳四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设数列的前n项和为，(1)求证数列为等比数列，并求数列的通项公式【答案】(1)证明
5、见解析，【详解】（1）因为，所以当时，解得当时，则，整理得，故，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以所以例题7（2023秋重庆高三统考阶段练习）记数列的前项和为，且.(1)求证：数列是等比数列；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由于，故，可得，所以数列是一个首项为1，公比为2的一个等比数列；例题8（2023春江苏盐城高二盐城市第一中学校联考期中）已知正项数列满足，且(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）数列中，由，可得又，则数列是首项为1公差为1的等差数列，则，则数列的通项公式为题型二：倒数法例题1（多选）（2023春云南玉溪高二统考期末）已知数列满足，则（）A为等比
6、数列B的通项公式为C为单调递减数列D的前n项和【答案】BCD【详解】因为，所以是以1为首项，3为公差的等差数列，故选项A错误；，即，故选项B正确；根据函数在上单调递增，且，则函数在上单调递减，又因为，则数列为单调递减数列，故选项C正确；的前项和，故选项D正确,故选：BCD.例题2（2023全国高三专题练习）已知数列满足，则 【答案】【详解】设，令得：，解得：；，化简得，所以，从而，故，又，所以是首项和公差均为的等差数列，从而，故故答案为：例题3（2023全国高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式【答案】【详解】令先求出数列的不动点，解得将不动点代入递推公式，得，整理得，令，
7、则，数列是以为首项，以1为公差的等差数列的通项公式为将代入，得例题4（2023全国高三专题练习）已知，求的通项公式【答案】【详解】由题意，所以，则，而，故是以为首项，3为公比的等比数列于是例题5（2023春辽宁锦州高二校考期中）已知数列的首项，.(1)设，求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，所以，取倒得，所以，因为，所以，所以是，的等比数列，所以例题6（2023全国高三专题练习）若，.(1)求证：；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：假设，因，则，解得或，于是得或，与题设且矛盾，故假设不成立，所以成立.7（2023全国高二专题练习）已知数列的首项，且满足.(1)求证：数
8、列为等比数列：【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：由，可得，又故数列为等比数列.三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练一、单选题1（2023春河南许昌高二校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式（）ABCD【答案】D【详解】由得，而，故是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.故选：D二、填空题2（2023秋陕西商洛高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列满足，则满足的最小正整数 【答案】5【详解】由，解得，又，所以另一方面由，可得，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以，易知是递增数列，又，所以满足的最小正整数故答案为：53（2023全国高三对口高考）数列中，则 【答案】【详解】
9、由，可得，所以，即(定值)，故数列以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，所以故答案为：4（2023春江西南昌高二南昌二中校考阶段练习）数列中，则此数列的通项公式 .【答案】【详解】因为，所以，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则.故答案为：5（2023全国高二专题练习）数列an满足，则数列an的通项公式为 .【答案】【详解】，所以，即，是等差数列，而，所以，所以故答案为：6（2023全国高二专题练习）设为数列的前项和，已知，则 【答案】【详解】，令，则，又，；故答案为：；三、解答题7（2023秋江苏高二专题练习）已知数列满足：求通项.【答案】【详解】取倒数：，故是等差数列，首
10、项为，公差为2， ，.8（2023秋江苏高二专题练习）已知：，时，求的通项公式【答案】【详解】设，所以， ，解得：，又 ， 是以3为首项， 为公比的等比数列， ， 9（2023全国高三专题练习）已知数列满足，.若，求数列的通项公式.【答案】【详解】将代入已知可得.因为，所以，所以有，所以.又，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，.10（2023全国高二专题练习）已知数列中，求数列的通项公式；【答案】【详解】解：由，得：，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，得11（2023秋江苏高二专题练习）设是数列的前n项和，且，(1)求；【答案】(1)【详解】（1）因为，所以，两边同除
11、以得，因为，所以，因此数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.12（2023浙江模拟预测）已知数列的前项和为(1)试求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由题意，两边同时除以，将其变形为，即，由等差数列的定义可知是以首项为、公差为的等差数列，所以，即.13（2023春海南儋州高二校考阶段练习）已知数列的首项，.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，所以，所以，所以数列是以为公比，为首项的等比数列，所以，得，所以，14（2023全国高三专题练习）已知数列，(1)求证：数列是等差数列【答案】(1)证明见解析【详解】（1），是首项为，公差为的等差数列；15（2023全国高三专题练习）已知数列满足，.求数列的通项公式；【答案】【详解】由两边取倒数，得，所以，又，所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即，所以.16（2023春河南许昌高二校考阶段练习）已知数列中，.（1）求数列的通项公式；【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）因为，令，则，又，所以.对两边同时除以，得，又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故；四、双空题17（2023全国高三专题练习）已知数列满足，若，则 ；若，则 .【答案】 85 【详解】解：因为，当，时，所以，；当，时，则，又，所以，即故答案为：；
