1、平行模型巩固练习（提优）1如果ABCF，DECF，DCB40，D30，求B的度数【解答】110【解析】DECF，D30，DCFD30，BCFDCF+BCD30+4070，又ABCF，B+BCF180，B180701102如图，ABCD，A38，C80，求M【解答】42【解析】ABCD，C80，MEBC80又A38，MMEBA8038423如图所示，直线ABCD，直线AB、CD被直线EF所截，EG平分BEF，FG平分DFE，（1）若AEF50，求EFG的度数（2）判断EG与FG的位置关系，并说明理由【解答】（1）25；（2）EGFG【解析】（1）ABCDEFDAEF50，FG平分DFE，EFGD
2、FE5025；（2）EGFG理由：ABCD，BEF+EFD180，EG平分BEF，FG平分DFE，GEFBEF，GFEDFE，GEF+GFEBEF+DFE，（BEF+DFE）18090，G180（BEF+DFE）90EGFG4如图，已知ABCD，DA平分BDC，AC（1）试说明：CEAD；（2）若C30，求B的度数【解答】（1）见解析；（2）120【解析】（1）ABCD，AADCAC，ADCC，CEAD；（2）由（1）可得ADCC30DA平分BDC，ADCADB，CDB2ADC60ABDC，B+CDB180，B180CDB1205已知EMBN（1）如图1，求E+A+B的大小，并说明理由（2）如
3、图2，AEM与ABN的角平分线相交于点F若A120，AEM140，则EFD 试探究EFD与A的数量关系，并说明你的理由（3）如图3，AEM与ABN的角平分线相交于点F，过点F作FGBD交BN于点G，若4A3EFG，求EFB的度数【解答】（1）E+EAB+B360；（2）60；A2EFD；（3）EFB的度数为54【解析】（1）过A作AQEM，E+EAQ180，EMBN，AQBN，QAB+B180，EABEAQ+QAB，E+EAB+B360；（2）由（1）知AEM+A+ABN360，A120，AEM140，ABN100，AEM与ABN的角平分线相交于点F，DEF70，FBC50，EMBN，EDFF
4、BC50，EFD180DEFEDF180705060，故答案为60；由（1）知AEM+A+ABN360，ABN360AEMA，AEM与ABN的角平分线相交于点F，DEFAEM，FBCABN，EMBN，EDFFBCABN，EFD180DEFEDF180AEMABN180（360A）A，即A2EFD；（3）设EFDx，则A2x，由题意得42x3（90+x），解得x54，答：EFB的度数为546对于平面内的M和N，若存在一个常数k0，使得M+kN360，则称N为M的k系补周角如若M90，N45，则N为M的6系补周角（1）若H120，则H的4系补周角的度数为60（2）在平面内ABCD，点E是平面内一点
5、，连接BE，DE如图1，D60，若B是E的3系补周角，求B的度数如图2，ABE和CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足ABFnABE，CDFnCDE（其中n为常数且n1），点P是ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得BPD是F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）【解答】（1）60；（2）B75；当BG上的动点P为CDG的角平分线与BG的交点时，满足BPD是F的k系补周角，此时k2n【解析】（1）设H的4系补周角的度数为x，根据新定义得，120+4x360，解得，x60，H的4系补周角的度数为60，故答案为60；（2）过E作EFAB，如
6、图1，BBEF，ABCD，EFCD，D60，DDEF60，B+60BEF+DEF，即B+60BED，B是BED的3系补周角，BED3603B，B+603603B，B75；当BG上的动点P为CDE的角平分线与BG的交点时，满足BPD是F的k系补周角，此时k2n7已知ABCD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG（1）如图1，若GMGN，求AMG+CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分BMP，ND平分GNP，已知BMG40，求MGN+MPN的度数；（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分AME，NE平分CNG，2
7、MEN+MGN102，求AME的度数（直接写出结果）【解答】（1）90；（2）120；（3）52【解析】（1）如图1，过G作GHAB，ABCD，GHABCD，AMGHGM，CNGHGN，MGNG，MGNMGH+NGHAMG+CNG90；（2）如图2，过G作GKAB，过点P作PQAB，设GND，GKAB，ABCD，GKCD，KGNGND，GKAB，BMG40，MGKBMG40，MG平分BMP，ND平分GNP，GMPBMG40，BMP80，PQAB，MPQBMP80，ND平分GNP，DNPGND，ABCD，PQCD，QPNDNP，MGN40+，MPN80，MGN+MPN40+80120；（3）如图
8、3，过G作GKAB，过E作ETAB，设AMFx，GNDy，AB，FG交于M，MF平分AME，FMEFMABMGx，AME2x，GKAB，MGKBMGx，ETAB，TEMEMA2x，CDABKG，GKCD，KGNGNDy，MGNx+y，CND180，NE平分CNG，CNG180y，CNECNG90y，ETABCD，ETCD，TENCNE90y，MENTENTEM90y2x，MGNx+y，2MEN+G102，2（90y2x）+x+y102，x26，AME2x528问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60角的直角三角尺EFG（EFG90，EGF60）”为主题开展数学
9、活动操作发现（1）如图（1），小明把三角尺的60角的顶点G放在CD上，若221，求1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明AEF与FGC之间的数量关系；结论应用（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30角的顶点E落在AB上若AEG，则CFG等于 （用含的式子表示）【解答】（1）40；（2）AEF+GFC90（3）60【解析】（1）如图1，ABCD，1EGD，又221，22EGD，又FGE60，EGD（18060）40，140；（2）如图2，ABCD，AEG+CGE180，即AEF+FEG+EGF+FGC180，又FEG+
10、EGF90，AEF+GFC90；（3）如图3，ABCD，AEF+CFE180，即AEG+FEG+EFG+GFC180，又GFE90，GEF30，AEG，GFC180903060故答案为：609已知：如图1，ABCD，点E，F分别为AB，CD上一点（1）在AB，CD之间有一点M（点M不在线段EF上），连接ME，MF，试探究AEM，EMF，MFC之间有怎样的数量关系请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明（2）如图2，在AB，CD之间有两点M，N，连接ME，MN，NF，请选择一个图形写出AEM，EMN，MNF，NFC 存在的数量关系（不需证明）【解答】（1）见解析；（2）见解
11、析【解析】（1）EMFAEM+MFCAEM+EMF+MFC360证明：过点M作MPABABCD，MPCD43MPAB，12EMF2+3，EMF1+4EMFAEM+MFC；证明：过点M作MQABABCD，MQCDCFM+1180；MQAB，AEM+2180CFM+1+AEM+2360EMF1+2，AEM+EMF+MFC360；（2）如图2第一个图：EMN+MNFAEMNF C180；如图2第二个图：EMNMNF+AEM+NFC18010如图1，已知：ABCD，点E、F分别在AB、CD上，且OEOF（1）求1+2的度数；（2）如图2，分别在OE、CD上取点G、H，使FO平分CFG，OE平分AEH，
12、试说明FGEH【解答】（1）90；（2）见解析【解析】证明：（1）过点O作OMAB，则1EOM，ABCD，OMCD，2FOM，OEOF，EOF90，即EOM+FOM90，1+290；（2）ABCDAEH+CHE180，FO平分CFG，EO平分AEHCFG22，AEH21，1+290CFG+AEH21+22180，CFGCHE，FGEH11（1）如图1，CM平分ACD，AM平分BAC，MAC+ACM90，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；（2）如图2，当M90且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当直角顶点M移动时，问BAM与MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；（3）如图3，G为线
13、段AC上一定点，点H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外）CGH+CHG与BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由【解答】（1）ABCD；（2）BAM+MCD90；（3）见解析【解析】（1）CM平分ACD，AM平分BAC，BAC2MAC，ACD2ACM，MAC+ACM90，BAC+ACD180，ABCD；（2）BAM+MCD90；理由：如图2，过M作MFAB，ABCD，MFABCD，BAMAMF，FMCDCM，M90，BAM+MCD90；（3）过点G作GPAB，ABCDGPCD，BACPGC，CHGPGH，PGCCHG+CGH，BACCH
14、G+CGH12“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2，灯B转动的速度是每秒1假定主道路是平行的，即PQMN，且BAM：BAN2：1（1）填空：BAN ；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且ACB120，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为 秒【解答】（1）60；（2）当
15、t30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）140或100【解析】（1）BAM+BAN180，BAM：BAN2：1，BAN18060，故答案为：60；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，当0t90时，如图1，PQMN，PBDBDA，ACBD，CAMBDA，CAMPBD2t1（30+t），解得 t30；当90t150时，如图2，PQMN，PBD+BDA180，ACBD，CANBDAPBD+CAN1801（30+t）+（2t180）180，解得 t110，综上所述，当t30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）设灯A射线转动时间为t秒，CAN1802t，CBPt，又ACB120ACB
16、CAN+CBP1201802t+t，解得：t60，此时AC与BC共线，不符合题意，或1202t180+t，解得t100，如图4中，当ACB120时，ACBMAC+QBC，1203602t+180t，t140，综上所述，满足条件的t的值为140或100故答案为：140或10013【问题情境】：如图1，ABCD，PAB130，PCD120，求APC的度数小明的思路是：过P作PEAB，通过平行线性质来求APC（1）按小明的思路，求APC的度数；【问题迁移】：如图2，ABCD，点P在射线OM上运动，记PAB，PCD，当点P在B、D两点之间运动时，问APC与、之间有何数量关系？请说明理由；【问题应用】：
17、（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出APC与、之间的数量关系【解答】（1）110；（2）APC+；（3）CPA【解析】（1）过点P作PEAB，ABCD，PEABCD，A+APE180，C+CPE180，PAB130，PCD120，APE50，CPE60，APCAPE+CPE110（2）APC+，理由：如图2，过P作PEAB交AC于E，ABCD，ABPECD，APE，CPE，APCAPE+CPE+；（3）如图所示，当P在BD延长线上时，CPA；如图所示，当P在DB延长线上时，CPA14探究题已知：如图1，ABCD，CDEF求证：B+B
18、DF+F360老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小额用到的平行线性质可能是 （2）接下来，小颖用几何画板对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB、EF，然后在平行线间画了一点D，连接BD，DF后，用鼠标拖动点D，分别得到了图，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和中的B、BDF与F之间也可能存在着某种数量关系于是她利用几何画板的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：猜想图中B、BDF与F
19、之间的数量关系并加以证明：补全图，直接写出B、BDF与F之间的数量关系： （3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图2所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，若BCD150，则ABC 【解答】（1）两直线平行同旁内角互补；（2）BDFB+F；FD+B（答案不唯一）；（3）120【解析】（1）证明：如图1中，ABEF，CDEF，CDEF，B+CDB180，F+CDF180（两直线平行同旁内角互补），B+CDB+CDF+F360，B+BDF+F360，故答案为：两直线平行同旁内角互补（2）结论：BDFB+F理由：如图中，作DKABABDK，ABEF，DKEF，BBDK，FFDK，BDFBDK+FDKB+F如图中，结论：FD+B（答案不唯一）理由：ABEF，1F，1B+D，FD+B故答案为FD+F（3）如图2中，BAAE，BAE90，ABC+BAE+BCD360，BCD150，ABC360240120，故答案为120
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