1、高考综合复习曲线运动与万有引力复习专题二圆周运动、万有引力与运用第一部分 圆周运动 知识要点梳理知识点一描述圆周运动的物理量 知识梳理1描述圆周运动的物理量 描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等。比较如下表： 定义、意义 公式、单位 线速度 描述圆周运动的物体运动快慢的物理量（v）是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 单位：m/s 角速度 描述物体绕圆心转动快慢的物理量（）中学不研究其方向 单位：rad/s 周期和转速 周期是物体沿圆周运动一周的时间（T）转速是物体单位时间转过的圈数（n），也叫频率（f） 单位：sn的单位：r/s、r/min f的单位
2、：Hz 向心加速度 描述速度方向变化快慢的物理量（a）方向指向圆心 单位：向心力 作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小方向指向圆心 单位：N 相互关系 2速度的变化量v 从同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量和，从初速度矢量的末端到末速度矢量的末端作一个矢量，矢量就是速度的变化量。它的方向可能与速度的方向相同，也可能与速度方向相反，或成任意夹角。 的大小与、的大小关系是：。 疑难导析1正确理解描述圆周运动的快慢的物理量及其关系 线速度、角速度、周期和转速都可描述圆周运动的快慢，但意义不同。线速度描述做圆周运动的物体沿圆周运动的快慢，若比较两物体沿圆周运动的快慢
3、只看线速度大小即可；而角速度、周期和转速描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。由可知，越大，T越小，n越大，则物体转动得越快，反之越慢。三个物理量知其中一个，另两个也就成为已知量。2对公式及的理解 （1）由知r一定时，v与成正比；一定时，v与r成正比；v一定时，与r成反比。 （2）由知在v一定时，a与r成反比，在一定时，a与r成正比。3传动装置中各物理量之间的关系 在分析传动装置中各物理量的关系时，一定要明确哪个量是相等的，哪个量是不等的，同轴转动的物体上的各点角速度相等；皮带传动（或齿轮传动）的两轮在皮带不打滑的条件下，皮带上及两轮边缘各点的线速度大小相等。 、如图中，A、B为咬合传动的两齿
4、轮，则A、B两轮边缘上两点的：（ ） A角速度之比为2:1 B周期之比为1:2 C向心加速度之比为1:2 D转速之比为2:1 答案：C 解析：A、B两轮边缘上两点线速度相等。 由公式有：，A项错； 由公式有：，B项错； 由公式有：，C项正确； 由公式有：，D项错。知识点二匀速圆周运动 生活中的圆周运动 知识梳理一、匀速圆周运动 1特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的。 2性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动。 3加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度
5、大小不变，故仅存在向心加速度。因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合外力。 4质点做匀速圆周运动的条件 （1）物体具有初速度； （2）物体受到的合外力F的方向与速度v的方向始终垂直。 特别提醒：这个结论仅对匀速圆周运动才成立。在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间发生改变，其方向也不沿半径指向圆心，合外力沿半径方向的分力提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。二、向心力的性质和来源 向心力是按力的效果命名的，它可以是做圆周运动的物体受到的某一个力或是几个力的合力或是某一个力的分力，要视具体问题而定。 （1）在匀速圆
6、周运动中，由于物体运动的速率不变，动能不变，故物体所受合外力与速度时刻垂直、不做功，其方向指向圆心，充当向心力，只改变速度的方向，产生向心加速度。 （2）在变速圆周运动中，由于物体运动的速率在改变，动能在改变，故物体受到的合外力一般不指向圆心，即与速度不垂直，合外力要做功。合外力在半径方向的分力充当向心力，产生向心加速度，改变速度的方向；合外力在切线方向的分力产生切向加速度，改变速度的大小。 特别提醒：将做圆周运动的物体受到的所有力沿半径方向和切线方向正交分解，则沿半径方向的合力即为向心力。三、生活中的圆周运动 1火车转弯 在转弯处，若向心力完全由重力G和支持力的合力来提供，则铁轨不受轮缘的挤
7、压，此时行车最安全。火车临界速度为（R为转弯半径，为斜面的倾角），此式可由向心力公式推导而出。 ，所以。 （1）当时，即，重力与支持力的合力不足以提供向心力，则外轨对轮缘有侧向压力。 （2）当时，即，重力与支持力的合力大于所需向心力，则内轨对轮缘有侧向压力。 （3）当时，火车转弯时不受内、外轨对轮缘的侧向压力，火车行驶最安全。 2汽车过拱桥 如汽车过拱桥桥顶时向心力完全由重力提供（支持力为零），则据向心力公式得：（R为圆周半径），故汽车是否受拱桥桥顶作用力的临界条件为：，此时汽车与拱桥桥顶无作用力。 （1）当时，车受到桥顶的支持力，所以。 （2）当时，车不受桥顶的支持力，=0。 （3）当时，不
8、足以提供车做圆周运动的向心力，不仅车与桥之间无作用力，而且车将做离心运动，沿速度方向飞离桥面。 （4）当v=0时，车静止在桥顶上，桥对汽车的支持力=mg。 特别提醒：汽车过凹桥最低点时：当汽车过凹桥最低点时，汽车的支持力和重力的合力提供向心力，则：，支持力一定大于重力mg。 3航天器中的失重现象 航天员在航天器中绕地球做匀速圆周运动时，航天员只受地球引力，座舱对航天员的支持力为零，航天员处于完全失重状态。引力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力。 4离心运动 （1）离心现象条件分析 做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而
9、被限制着沿圆周运动，如图所示。 当产生向心力的合外力消失，F=0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图所示。 当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，即合外力不足提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动。如图所示。 （2）离心运动的应用和危害 利用离心运动制成离心机械。如：离心干燥器、洗衣机的脱水筒等。 汽车、火车转弯处，为防止离心运动造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度不能太大；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力。 特别提醒：若合外力大于所需的向心力，物体离圆心将越来越近，即为近心运动。 疑难导析一、匀速圆周运动和非匀速圆周运动的比较 做圆
10、周运动的物体，若在相等的时间里通过的圆弧长度相等，就是匀速圆周运动，否则是非匀速圆周运动。关于两种运动的性质、加速度、向心力比较如下表：项目 匀速圆周运动 非匀速圆周运动 运动性质 是速度大小不变而方向变化的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动 是速度大小、方向均变化的变速曲线运动，并且是加速度的大小、方向时刻变化的变加速曲线运动 加速度 加速度方向与线速度方向垂直。即只存在向心加速度，没有切向加速度 由于速度的大小、方向均变，所以不仅存在向心加速度且存在切向加速度，合加速度的方向一般不指向圆心 向心力 二、竖直平面内的圆周运动问题分析 竖直平面内的圆周运动，是典型
11、的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。 1绳约束物体做圆周运动 如图所示，细绳系着的小球或在圆轨道内侧运动的小球，当它们通过最高点时，有。因，所以。 （1）时，物体刚好通过轨道最高点，对轨道无压力。即为物体通过最高点的速度的临界值。 （2）时，物体能通过轨道最高点，对轨道有压力。 （3）时，物体没有达到轨道最高点便脱离了轨道。 2在轻杆或管的约束下的圆周运动 如图所示，杆或管对物体能产生拉力，也能产生支持力。当物体通过最高点时有，因为可为正（拉力），也可以为负（支持力），还可以为零，故物体通过最高点的速度可
12、为任意值。 （1）时，负号表示支持力。 （2）时，杆对物体无作用力 （3）时，杆对物体为支持力 （4）时，杆对物体产生拉力 3若是如图所示的小球当时，小球将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球无作用力。 特别提醒：解答竖直面内的圆周运动问题时，首先要搞清是绳模型还是杆模型，在最高点绳模型小球的最小速度是；而杆模型小球在最高点的最小速度为零，要注意根据速度的大小判断是拉力还是支持力。三、斜面、悬绳弹力的水平分力提供加速度的问题 如图中斜面体和光滑小球一起向右加速的共同加速度。 因为， 所以 此结论也适用于汽车拐弯时轨道提高的向心加速度和a的关系。如图，再用解决问题。 如图中加速小车中悬挂的小球、圆
13、锥摆的向心加速度、光滑锥内不同位置的小球，都有的关系。 四、圆锥面上的临界问题 如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角=，一条长为l的绳，一端固定在圆锥体的顶点O，另一端系一个质量为m的小球（视作质点），小球以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。 （1）临界条件：小球刚好对锥面没有压力时的速率为，小球受重力和绳子的拉力的合力提供向心力，则有，解得 （2）当时，小球除受到重力和绳子的拉力外， 还受到圆锥面的支持力如图所示，则有 速度越大，支持力越小。 （3）当时，小球离开锥面飘起来，设绳与轴线夹角为，则 速度越大，绳与轴线的夹角越大。 、杂技演员在表演
14、“水流星”的节目时（如图），盛水的杯子经过最高点杯口向下时，水也不洒出来对于杯子经过最高点时水的受力情况，下面说法正确的是：（ ） A水处于失重状态，不受重力的作用 B水受平衡力的作用，合力为零 C由于水做圆周运动，因此必然受到重力和向心力的作用 D杯底对水的作用力可能为零 答案：D 解析：当杯子在最高点时，有向下的加速度，因此处于失重状态，但仍受重力作用，故A错。又因圆周运动是曲线运动，其合外力必不为零。因此杯子不可能处于平衡状态，故B项错误。由于向心力并非沙立于重力、弹力、摩擦力、电场力等之外的另一种力。因此杯子不能同时受重力和向心力两个力作用，而是重力是向心力的一部分，还有可能受杯底对水
15、的作用力，故C错、D正确。典型例题透析题型1 描述圆周运动各物理量之间的关系 （1）解决圆周运动问题的基本关系有： （2）同轴转动的物体上各点相同，皮带传动或齿轮传动中轮缘上各点线速度大小相等，要根据这些隐含条件灵活选取上述关系式，分析v、a、r之间的关系 1、一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动，在圆盘上沿半径开有一条宽度为2mm的均匀狭缝。将激光器与传感器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于圆盘的上下两侧，且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动，激光器连续向下发射激光束。在圆盘转动过程中，当狭缝经过激光器与传感器之间时，传感器接收到一个激光信号，并将其输入计算机，经处理后画出相应图线。图（a
16、）为该装置示意图，图（b）为所接收的光信号随时间变化的图线，横坐标表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中s，s。 （1）利用图（b）中的数据求1s时圆盘转动的角速度； （2）说明激光器和传感器沿半径移动的方向； （3）求图（b）中第三个激光信号的宽度。 思路点拨：本题涉及了两个物体（圆盘以及激光器和传感器组成的整体）的两种不同的运动（圆周运动、匀速直线运动），会让考生看上去眼花燎乱。但仔细分析后，对两个物体的运动分别处理，问题会迎刃而解。同时注意两个物体运动间的关系，就会分析出激光器和传感器运动的方向。 解析： （1）由图线读得，转盘的转动周期T0.8s 角速度 （2）激光器和探测器沿
17、半径由中心向边缘移动（理由为：由于脉冲宽度在逐渐变窄，表明光信号能通过狭缝的时间逐渐减少，即圆盘上对应探测器所在位置的线速度逐渐增加，因此激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动）。 （3）设狭缝宽度为d，探测器接收到第i个脉冲时距转轴的距离为，第i个脉冲的宽度为，激光器和探测器沿半径的运动速度为v。 由、式解得：。 总结升华：题目所涉及的物理原理是基本的，创设的情景是新颖的，是一道很好的中等难度的题目。变式练习 【变式】如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为。若甲轮的角速度为，则丙轮的角速度为：（ ） A B C D 答案：A 解析：对甲轮边缘的线速度 对乙轮边缘
18、的线速度 对丙轮边缘的线速度 由各轮边缘的线速度相等得： 所以，A选项正确。题型2 向心力来源分析 向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种性质力，而是根据力的效果命名的。在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体所受的作用力（重力、弹力、摩擦力、万有引力等）以外再添加一个向心力。 向心力可能是物体受到的某一个力，也可能是物体受到的几个力的合力或某一个力的分力。 2、如图，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是：（ ） A绳的拉力 B重力和绳拉力的合力 C重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力 D绳的拉力和重力沿绳方向分力
19、的合力 解析：小球在竖直平面内做变速圆周运动，受重力和绳的拉力作用，由于向心力是指向圆心方向的合外力，因此它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力，故选C、D。 答案：CD 总结升华：只有当物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体所受所有力的合力。当物体做变速圆周运动时不能认为向心力一定是物体所受外力的合力。变式练习 【变式】质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为：（ ） A B C D不能确定 答案：C 解析：小球受重力和杆的作用力做匀速圆周运动这两个力
20、的合力充当向心力必指向圆心，如图用合成法可得杆的作用力。 题型3 圆周运动的临界问题 圆周运动中的临界问题的分析与求解方法不只是竖直平面内的圆周运动中存在临界问题，其他许多问题中也有临界问题。对这类问题的求解一般都是先假设某量达到最大、最小的临界情况，从而建立方程求出。 3、如图所示，把一个质量m=1 kg的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上A、B两个固定点相连接，绳a、b长都是1 m。AB长度是1.6 m，直杆和球旋转的角速度等于多少时，b绳上才有张力？ 思路点拨：抓住临界条件：当b绳刚好伸直还无张力时的角速度为球旋转的最小角速度。 解析：已知a、b绳长均为lm，即 在AOm中， 小球做圆周运
21、动的轨道半径 b绳被拉直但无张力时，小球所受的重力mg与a绳拉力的合力F为向心力， 其受力分析如图所示，由图可知小球的向心力为 根据牛顿第二定律得 解得直杆和球的角速度为 当直杆和球的角速度时，b中才有张力。 总结升华：抓住临界条件是解决本题的关键。圆周运动中临界问题的分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点，要特别注意分析某些力的大小和方向的变化，找出临界条件，结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程。求解范围类的极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围。变式练习 【变式】如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径。当主动
22、轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转轴的最大距离为：（ ） A B C D 答案：C 解析：由图可知，当主动轮A匀速转动时，A、B两轮边缘上的线速度相同，由，得 。由于小木块恰能在A边缘静止， 则由静摩擦力提供的向心力达最大值，得： 设放在B轮上能使木块相对静止的距B转轴的最大距离为r， 则向心力由最大静摩擦力提供，故 因A、B材料相同，故木块与A、B的摩擦因数相同，、式左边相等，故 所以选项C正确。题型4 圆周运动的综合应用 圆周运动不但可以与平抛运动相结合，而且可以与机械能守恒定律、能量守恒定律、电场
23、力、洛伦兹力等相结合。因此圆周运动规律是高中阶段中很重要的规律，也是在历年高考中考查的重点内容。 4、“翻滚过山车”的物理原理可以用如图所示装置演示。光滑斜槽轨道AD与半径为R=0.1m的竖直圆轨道（圆心为O）相连，AD与圆O相切于D点，B为轨道的最低点，。质量为m=0.1 kg的小球从距D点L=1.3m处由静止开始下滑，然后冲上光滑的圆形轨道（g=10，sin=0.6，cos=0.8）。求： （1）小球在光滑斜槽轨道上运动的加速度的大小； （2）小球通过B点时对轨道的压力的大小； （3）试分析小球能否通过竖直圆轨道的最高点C，并说明理由。 思路点拨：分析小球在料槽轨道上和在B点的受力情况，运
24、用牛顿第二定律求解。通过分析过C点的速度大小判断能否过C点。 解析： （1）在光滑抖槽上由牛顿第二定律得： 故 （2）小球由A至B，机械能守恒，则 又小球在B点，由牛顿第二定律得： 联立上述各式得：17 N 由牛顿第三定律得：小球过B点时时轨道的压力大小为17 N （3）小球要过最高点，需要的最小速度为，则 即m/s 又小球从A到C机械能守恒：所以 解之 故小球能过最高点C。 总结升华：此题易出现的错误有：（1）小球下落高度的计算；（2）根据牛顿第三定律过渡说明对轨道的压力；（3）过最高点的速度。 导致这些错误的主要原因是不细心和对过最高点的条件不理解造成的。变式练习 【变式】如图所示，光滑小
25、球从倾角为的光滑斜面上无初速滑下，为了使小球经光滑的水平面后，在半径为R的光滑圆环内侧做完整的圆周运动，小球至少应从多高处滑下？（斜面和水平面连结处不平滑） 解析：小球从料面滑到水平轨道B点的瞬间，轨道弹力由垂直斜面向上突然变为竖直向上，因而使小球速度的竖直分量在竖直方向的支持力的作用下在极短时间内变为零，只剩下水平分量，机械能有损失。 A到B机械能守恒： 速度分解： 由以上各式解得。第二部分 万有引力与运用知识要点梳理知识点一开普勒行星运动定律 知识梳理1开普勒第一定律 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。2开普勒第二定
26、律 对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这就是开普勒第二定律，又称面积定律。3开普勒第三定律 所以行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。这就是开普勒第三定律，又称周期定律。 若用a表示椭圆轨道的半长轴，T表示公转周期，则（k是一个与行星无关的常量）。 疑难导析1开普勒第一定律告诉我们行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在它的一个焦点上 由第一定律出发，行星运动时，轨道上出现了近日点和远日点。由第二定律可以知道，从近日点向远日点运动时，速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。由第三定律知道，而k值只与太阳有关，与行星无关。2开普勒定律的应用 （1
27、）行星的轨道都近似为圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心上，第三定律为 ； （2）开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，若把卫星轨道近似看作圆，第三定律公式为 ，这时由行星决定，与卫星无关。 当天体绕不同的中心星球运行时，中的值是不同的。 （3）对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律解决。卫星变轨问题，可结合提供的向心力和需要的向心力的关系来解决。 、关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是：（ ） A所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 B行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 C离太阳越近的行星的运动周期越长 D所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 答案：D
28、 解析：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳在一个焦点上，但并非在同一个椭圆上，故A、B错。由第三定律知离太阳越近的行星运动周期越小，故C错、D正确。知识点二万有引力定律 知识梳理1内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。2公式 为万有引力常量，。3适用条件 公式适用于质点间万有引力大小的计算。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。另外，公式也适用于均匀球体间万有引力大小的计算，只不过r应是两球心间的距离。4万有引力的特点 （1）普适性：不但存在于行星和太阳之间，也适合于宇宙中的任何天体，但地球上一般物体之间，
29、由于质量很小，所以人们很难感受或观察到。 （2）相互性：两物体间相互作用的引力是一对作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反。 （3）宏观性：通常情况下，万有引力很小，只有在质量巨大的天体间，其存在才有宏观物理意义。 疑难导析1重力和万有引力 重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。 如图所示，产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力；二是产生物体的重力。由于，随纬度的增大而减小，所以物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐增大；但一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，即常用来计算星球表面的重力加速
30、度。 在地球同一纬度处，g随物体离地面高度的增加而减小，因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小，即。 说明：和不仅适用于地球也适用于其他星球。 在赤道处，物体的分解的两个分力和mg刚好在一条直线上，则有。2万有引力定律是牛顿分析行星的运动学和动力学规律 应用开普勒第三定律和科学推理得出的，并且进行了月地检验。 、对于质量为和的两个物体间的万有引力的表达式，下列说法正确的是：（ ） A公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的 B当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大 C和所受引力大小总是相等的 D两个物体间的引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力 答案：AC
31、 解析：由基本概念、万有引力定律及其适用条件逐项判断。引力常量G值是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，所以选项A正确。万有引力表达式只适用于质点间的作用，当r趋于零时任何物体都不能再视为质点，公式不成立，此时两物体间的作用力并非无穷大，故B错误。两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确、D错误。知识点三应用万有引力定律分析天体的运动 知识梳理1基本方法 把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供 公式为 解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。2天体质量M、密
32、度的计算 测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由得 为中心天体的半径） 当卫星沿中心天体表面绕天体运动时，则。3天体（如卫星）运动的线速度、角速度、周期与轨道半径r的关系 （1）由得，所以r越大，v越小； （2）由得，所以r越大，越小； （3）由得，所以r越大，T越大。 疑难导析1应用万有引力定律列式的思路与技巧 应用万有引力定律列式时牵涉到三项；万有引力、重力G、向心力，就问题不同选取其中两项组成等式列方程。选取哪两项组成方程，是解决问题的关键。 一般情况下，凡是牵涉（已知或求）中心天体质量、密度等物质量时，用万有引力一项；凡是牵涉物体重力加速度时，用重力G一项，表达式为Gmg
33、，g应为天体（如卫星、宇宙飞船等）所在处的重力加速度；凡是牵涉天体做圆周运动的周期T、角速度、线速度v、向心加速度a等运动学量时用向心力一项，这一项表达形式多样，解题时选用要准确，公式不能写错三项中选准两项组建方程，解决问题就方便了。另外注意的应是明确各物理量的意义，不能含糊不清，甚至乱套公式。2黄金代换式的运用 在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和计算时，可以认为，且有。即用地球半径的平方与重力加速度的乘积代替地球质量与万有引力常量的乘积，这是一个常用的变换式。在应用万有引力定律分析天体运动问题时，常把天体的运动近似看成是做匀速圆周运动，其所需要的向心力由万
34、有引力提供，即,这样一来，我们便可以应用变换式来分析讨论天体的运动。3天体质量的几种计算方法（以地球质量M为例） （1）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r。 由得。 （2）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r。 由得。 （3）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T。 由及得。 （4）若已知地球半径R及表面的重力加速度g。 由得。 、从地球上观测到太阳的直径对地球的张角为，引力恒量，每年按365天计算，试求： （1）估算出太阳的平均密度； （2）如果太阳密度与地球密度之比为0.3，估算地球的半径。 解析： （1），又，太阳的平均密度 （2），联立方程并将代入
35、， 得地球的半径km。知识点四宇宙航行 人造地球卫星 知识梳理1宇宙速度 （1）第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度，又称环绕速度。 （R为地球半径），所以7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度。 （2）第二宇宙速度（脱离速度）：=11.2 km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 （3）第三宇宙速度（逃逸速度）：=16.7 km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。2近地卫星 近地卫星其轨道半径r近似地等于地球半径R，其运动速度7.9 km/s,是所有卫星的最大绕行速度；运行周
36、期T=85 min，是所有卫星的最小周期；向心加速度a=g=9.8是所有卫星的最大加速度。3地球同步卫星 地球同步卫星，是指位于赤道平面内相对于地面静止的，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运行的人造地球卫星，因为同步卫星主要用于通信等方面，故同步卫星又叫通信卫星。 （1）同步卫星具有以下特点： 周期一定：同步卫星在赤道上空相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，即T=24 h。 角速度一定：同步卫星绕地球运行的角速度等于地球自转的角速度。 轨道一定：由于同步卫星绕地球的运动与地球的自转同步，这就决定了同步卫星的轨道平面应与赤道平面平行。又由于同步卫星绕
37、地球运动的向心力是地球对卫星的万有引力，这又决定了同步卫星做圆周运动的圆心为地心。所以，所有同步卫星的轨道必在赤道平面内。如图所示，假设卫星在轨道B上跟着地球的自转同步地做匀速圆周运动，卫星运动的向心力由地球对它的引力的一个分力提供，由于另一个分力的作用将使卫星轨道靠向赤道故只有在赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行。 由得 （T为地球自转周期，M、R为地球质量、半径）代入数值得m。 即：同步卫星都在同一轨道上绕地球做匀速圆周运动，其轨道离地面的高度约为km。 环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08 km/s。 向心加速度大小一定：所有同步卫星由于到
38、地心距离相同，所以，它们绕地球运动的向心加速度大小都相同，约为0.22。 由此可知要发射同步卫星必须同时满足三个条件： a.卫星运动周期和地球自转相同（T=24 h=s），运动方向相同。 b.卫星的运行轨道在地球的赤道平面内。 c.卫星距地面高度有确定值（m）。 （2）同步卫星发射 变轨道发射发射同步卫星，一般不采用普通卫星的直接发射方法，而是采用变轨道发射（如图）。首先，利用第一级火箭将卫星送到180 km200 km的高空，然后依靠惯性进入停泊轨道（A）。 当到达赤道上空时，第二、三级火箭点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道（B），且轨道的远地点（D）为35 800 km。 当到达远
39、地点时，卫星启动发动机，然后改变方向进入同步轨道（C）。 这种发射方法有两个优点：一是对火箭推力要求较低；二是发射场的位置不局限在赤道上。 运行时，所具有的机械能越大，把卫星发射到离地球越远的轨道，在地面应具有的初动能越大，即发射速度越大。 疑难导析1物体随地球自转的向心加速度与环绕地球运行的公转向心加速度 放于地面上的物体随地球自转所需的向心力是地球对物体的引力的分力提供的；而环绕地球运行的卫星所需的向心力由地球对它的全部引力提供。两个向心力的数值相差很多，如质量为1kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034 N，而它所受地球引力约为9.8 N。 对应的两个向心加速度的计算方法也
40、不同： 物体随地球自转的向心加速度，式中T为地球自转周期，为地表物体到地轴的距离；卫星环绕地球运行的向心加速度，式中M为地球质量，r为卫星与地心的距离。2卫星的“超重”和“失重” “超重”：卫星进入轨道前的加速过程，卫星上物体“超重”，此种情况与“升降机”中物体超重相同。 “失重”：卫星进入轨道后，正常运转，卫星上物体完全“失重”（因为重力提供向心力），因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用。因失重故浮力不再有，水中的气泡不再上浮，体重计不能使用，但弹簧秤仍可使用，因其利用的胡克定律与重力无关，但不能用弹簧秤来测量重力了。3运行速度与发射速度 对于人造地球卫星，由得，该速度指
41、的是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小。但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，增大势能，且卫星在半径较大的轨道与在半径较小的轨道上正常运行时相比，增大的势能大于减小的动能，所以卫星在半径较大的轨道上运行时具有的机械能较大，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度越大。由，第一宇宙速度是把卫星送出地球的最小发射速度，也是卫星环绕地球运行的最大线速度。4直线运动的“追及”与航天器的“对接”有何不同？ 对地面物体的直线运动而言，当两个运动物体发生追赶运动时，只要“追赶物体”的速度大于“被追物体”的速度时即可追赶成功。且追赶成功时必有“追赶物体”与
42、“被追物体”相对于同一起点的位移相同。这是“追及问题”的必备条件。 对于航天飞机与宇宙空间站的“对接”，其实际上就是两个匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是人造天体的变轨运行问题。 要使航天飞机与宇宙空间站成功“对接”，必须让航天飞机在较低轨道上加速，通过速度v的增大所需向心力增大离心运动轨道半径r增大升高轨道，一系列变速、变轨过程而完成航天飞机与宇宙空间站的成功对接。图是航天飞机与宇宙空间站的对接轨道示意图。其中轨道1是地球卫星的一个环绕轨道（圆形轨道），轨道3是宇宙空间站的运行轨道，轨道2是一个长轴的两端点Q、P分别相切于轨道1与轨道3的椭圆轨道。航天飞机只有从预定的环形轨道1上的Q点
43、，以一定的速度和加速度沿轨道2的半个椭圆轨道运动，才能恰好在轨道3上的P点与宇宙空间站实现“对接”。 、关于人造地球卫星和第一宇宙速度，下列说法正确的是：（ ） 第一宇宙速度是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度 第一宇宙速度是发射人造卫星所需的最小速度 卫星离地面越高，运动速度越大，周期越小 同一轨道上的人造卫星，质量越大，向心加速度越大 A B C D 答案：A 解析：第一宇宙速度是所有地球卫星的最大绕行速度，是最小发射速度，卫星离地面越高，运动速度越小，周期越大，同一轨道上的卫星其向心加速度与卫星质量无关。综上所述只有A项正确。典型例题透析题型1 天体质量、密度的计算 （1）天体的运动
44、认为是匀速圆周运动。 （2）求解天体的质量：我们只能求中心天体的质量，找一个绕行体，只要知道绕行体的线速度、角速度、周期中的一个量及其轨道半径，即可求中心天体的质量。 （3）求解天体的密度：当求出天体的质量后，再求出天体的体积即可，其体积，计算时要注意r和R的区别，r一般指绕行体的轨道半径，R指中心天体自身的半径，只有当绕行体在中心天体表面做圆周运动时才有r=R。 1、已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期，地球的自转周期，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法： 同步卫星绕地心做圆周运动，由得。
45、（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如果不正确，请给出正确的解法和结果。 （2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。 思路点拨：本题主要考查怎样利用万有引力定律来估算天体的质量。解决本题的关键在于对天体或卫星的运动进行正确的分析。 解析： （1）上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略。 正确的解法和结果：由，得 （2）方法一：对月球绕地球做圆周运动，由，得。 方法二：在地面重力近似等于万有引力，由，得。 总结升华：解决天体运动问题的一条主线就是利用万有引力等于向心力，向心力公式可根据需要采用不同的表达式。再以黄金代换作为辅助。变式练习 【变式】一飞船在某行
46、星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行。认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量：（ ） A飞船的轨道半径 B飞船的运行速度 C飞船的运行周期 D行星的质量 答案：C 解析：万有引力提供向心力，则，由于飞行器在行星表面附近飞行，其运行半径r近似等于行星半径，所以满足，联立得：。题型2 比较分析卫星运行的轨道参量问题 （1）卫星（或行星）运行时做匀速圆周运动要牢记，万有引力提供向心力这一基本关系。 由根据题目已知条件灵活选用一种表达式， 要注意只与r有关。 同一轨道上的卫星大小是相同的，不同轨道上的卫星可列比例式分析计算。 （2）人造卫星的绕行速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系：
47、 2、土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别位km和km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示） （1）求岩石颗粒A和B的线速度之比。 （2）求岩石颗粒A和B的周期之比。 （3）土星探测器上有一物体，在地球上重为10N，推算出他在距土星中心km处受到土星的引力为0.38N。已知地球半径为km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？ 思路点拨：根据万有引力提供向心力。向心力公式选择有线速度的、周期的公式求比可得（1）、（2）两问。根据万有引力公式及万有引力和重力的关系可得（3）问。 解析： （1）设土星质量为，颗粒质量为
48、m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v， 根据牛顿第二定律和万有引力定律 解得。 对于A、B两颗粒分别有 和，得 （2）设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，则 对于A、B两颗粒分别有 和 得 （3）设地球质量为M，地球半径为，地球上物体的重力可视为万有引力， 探测器上物体质量为，在地球表面重力为，距土星中心=km处的引力为， 根据万有引力定律 由得：（倍）。 总结升华：本题考查考生对天体运动基本规律的认识和理解，考查理解能力，推理能力和应用数学处理物理问题的能力。根据所学的基本知识和基本规律即可解决。变式练习 【变式】最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周
49、所用时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍，假设该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有：（ ） A恒星质量和太阳质量之比 B恒星密度和太阳密度之比 C行星质量与地球质量之比 D行星运行速度与地球公转速度之比 答案：AD 解析：由天体运动的受力特点： 可得中心天体的质量表达式： 进一步可得恒星质量与太阳质量之比： 由周期和速度的关系： 可得行星运行速度与地球公转速度之比： 故选项A、D正确。题型3 双星问题 解决双星模型的问题时，应注意以下几点： 其一，两星之间的万有引力提供各自需要的向心力；其二，两星绕某一点做匀速圆周运动
50、的绕向相同、周期相同；其三，两星的轨道半径之和等于两星间的距离。 3、神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期。 （1）可见得A所受暗星B的引力可等效为位于O点处质量为的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为、。试求（用、表示）； （2）求暗星B的质量与可见星A的速率v、运行周期T
51、和质量之间的关系式； 思路点拨：根据双星的特征判断出A和B具有相同的角速度和周期，再根据万有引力提供向心力列式分析。 解析： （1）设A、B的轨道半径分别为，它们做圆周运动的周期T、角速度都相同，根据牛顿运动定律有 即 A、B之间的距离 根据万有引力定律 得 （2）对可见星A有 其中 得： 总结升华：此类题目容易错误地认为引力距离与运行半径相同，或认为A、B两星的轨道半径相等，等于引力距离的一半。出现这些错误的原因，主要是没有建立正确地运动模型。变式练习 【变式】两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必定以一定角速度绕二者连线上的某一点转动才不至于由于万有引力的作用而吸引在一起，已知两颗星的质量
52、分别为，相距为L，试求； （1）两颗星转动中心的位置； （2）这两颗星转动的周期。 解析：设两星球做圆周运动的轨道半径分别为，它们转动周期T相同，如图。 对： 对： 由得 又 由代入可得：。题型4 万有引力定律与抛体运动知识的综合应用 星球表面的重力加速度一方面与星球有关（），另一方面又可以从它与运动的关系（平抛运动、自由落体运动、竖直上抛运动）中求出重力加速度是运动学和万有引力、天体运动联系的纽带。 4、宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为L，已知两落地点在
53、同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M和密度。 思路点拨：在其他星球表面上做平抛运动，与地球上的平抛运动具有相同的运动规律，所以运用相同的分析方法，要注意两处的重力加速度不同。 解析：此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度。 根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为 设初始平抛小球的初速度为v，则水平位移为x=vt。有 当以2v的速度平抛小球时，水平位移为。所以有 在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G 联立以上三个方程解得 而天体的体积为，由密度公
54、式得天体的密度为。 总结升华：本题属于万有引力与抛体运动的题目，应抓住关键切入点即抛体运动的加速度就是天体表面的重力加速度，而后根据抛体运动规律运动的合成与分解，分两个方向分别研究，同时要注意结合万有引力定律求出该天体表面的重力加速度。变式练习 【变式】在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为的均匀球体。 解析：以表示火星表面附近的重力加速度，
55、M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有 设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为，水平分量仍为，有 由以上各式解得 。题型5 卫星的变轨问题 卫星绕地球稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由G，得，由此可知，轨道半径r越大，卫星的线速度v越小，当卫星由于某种原因速度v突然改变时，受到的万有引力G和需要的向心力不再相等，卫星将偏离原轨道运动。当G时，卫星做近心运动，其轨道半径r变小，由于万有引力做功，因而速度v越来越大。反之，当G时，卫星做离心运动，其半径r越来越大，速度v越来越小。 5、某人造卫星运
56、动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从慢慢变到，用、分别表示卫星在这两个轨道上的动能，则：（ ） A， B， C， D， 答案：B 解析：由于阻力作用，人造卫星的速度减小，从而其受到的万有引力大于其做圆周运动所需的向心力，故人造卫星将靠近圆心运动，到地心的距离将减小；根据卫星运行速度和轨道半径的关系，可知，所以卫星在这两个轨道上的动能。故B选项正确。 总结升华：本题中由于阻力作用会误认为，错选D。深刻理解速度是由高度决定的，加深“越高越慢”的印象，才能走出误区。变式练习 【变式】发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，
57、最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道l、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：（ ） A卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 C卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D卫星在圆轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度 答案：BD 解析：在卫星绕地球做匀速圆周运动的问题中，应明确轨道半径越大，速度越小，周期越长，角速度越小，而要想使卫星从低轨道上升至较高的轨道，则必须提供卫星更多的动能。高轨道和低轨道上的动能差用于克服引力做功，卫星在运行过程中的加速度的值应该用来计算。注意题中P点为2、3轨道的切点，Q点为1、2轨道的切点，“相切”隐含着两轨道在切点有瞬时相同的轨道半径，再结合。由上述分析可判断B、D选项正确
