1、专题03 分式【八大题型】【人教版】【题型1 分式有、无意义的条件】2【题型2 分式的值为0的条件】2【题型3 分式的基本性质的运用】3【题型4 分式的运算】3【题型5 分式的化简求值】4【题型6 分式运算的实际应用】4【题型7 分式中的规律探究】5【题型8 与分式运算有关的新定义问题探究】6【知识点 分式】1.分式的定义一般地，如果A.B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式。注：A.B都是整式，B中含有字母，且B0。2.分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；（C0）。3.分式的约分和通分定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分
2、母的公因式约去，叫做分式的约分。定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。4.分式的乘除乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。除法法则：。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式的乘方：。分式乘方要把分子.分母分别乘方。整数负指数幂：。5.分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。同分母分式的加减：；异分母分式的加法：
3、。注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。【题型1 分式有、无意义的条件】【例1】（2023吉林统考中考真题）若代数式1x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx0且a1Ba0Ca0且a1Da0【变式3-2】（2023山东济南中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A2+xx-yB2yx2C2y33x2D2y2(x-y)2【变式3-3】（2023安徽芜湖统考二模）化简：a2-2a+11-a2 【题型4 分式的运算】【例4】（2023内蒙古赤峰统考中考真题）化简4x+2+x-2的结果是（）A1Bx2x2-4Cxx+2Dx2x+2【变
4、式4-1】（2023贵州统考中考真题）化简a+1a-1a结果正确的是（）A1BaC1aD-1a【变式4-2】（2023黑龙江绥化统考中考真题）化简：x+2x2-2x-x-1x2-4x+4x-4x2-2x= 【变式4-3】（2023湖北统考中考真题）关于式子x2-9x2+6x+9xx+3，下列说法正确（）A当x=3时，其值为0B当x=-3时，其值为2C当0x3时，其值为正数D当xa0(1)再往杯中加入mm0克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了用数学关系式可以表示为_(2)请证明（1）中的数学关系式【变式6-1】（2023福建福州校考模拟预测）福州的市花是茉莉花“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为a
5、米(a1)的正方形去掉一块边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基地是边长为a-1米的正方形，两块实验种植基地的茉莉花都收获了300千克请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？【变式6-2】（2023江苏统考中考真题）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油”（油箱未加满）而小张则说：“师傅，帮我把油箱加满！”，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱设小王和小张第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升(1)用含 x，y的代数式表示分别表示小王和小张两次所加油的平均单价；(2)小王和小
6、张的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由，【变式6-3】（2023浙江杭州模拟预测）甲乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间（2）若甲从A地出发，先以12V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲乙谁先到达B地?（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为100-ax千米，乙距离终点为100-bx千米分式100-ax100-bx对一切有意义的
7、x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件【题型7 分式中的规律探究】【例7】（2023安徽中考真题）观察以下等式：第1个等式：11+02+1102=1，第2个等式：12+13+1213=1，第3个等式：13+24+1324=1，第4个等式：14+35+1435=1，第5个等式：15+46+1546=1，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：_；（2）写出你猜想的第n个等式：_(用含n的等式表示)，并证明【变式7-1】（2023山东中考真题）观察下列各式：a1=23,a2=35,a3=107,a4=159,a5=2611,， 根据其中的规律可得an= （用含n的式子表示）【变式7-
8、2】（2023湖北恩施统考一模）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f2=21+2=23，f3=31+3=34，f12=121+12=13，f13=131+13=14利用以上的规律计算：f12023+f12022+f12021+f12+f1+f2+f2021+f2022+f2023= 【变式7-3】（2023安徽合肥合肥市第四十二中学校考模拟预测）观察下列各式：12+22+3212+22+2=2，22+32+5222+32+6=2，32+42+7232+42+12=2，42+52+9242+52+20=2，；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：_；(2)写出你猜想的第n个等式：
9、_（用含n的等式表示），并证明.【题型8 与分式运算有关的新定义问题探究】【例8】（2023浙江杭州模拟预测）规定一种新的运算“x+JXAB”，其中A和B是关于x的多项式，当A的次数小于B的次数时x+JXAB=0；当A的次数等于B的次数时，x+JXAB的值为A、B的最高次项的系数的商，当A的次数大于B的次数时，x+JXAB不存在，例如：x+JX2x-1=0，x+JXx2+22x2+3x-1=12，若AB=2-3x-14x2-10xx2-1，则x+JXAB的值为 【变式8-1】（2023河北统考二模）对于代数式a，b，c，d规定一种运算：abcd=ad-bc，按照此规定，x-1x+1x+1化简的
10、结果为（）Ax2Bx+1xCx+1x-1D1【变式8-2】（2023江苏盐城统考一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N分式”例如.分式3x+1 与 3x1+x互为“三分式”(1)分式 12+x3+2x 与_互为“六分式”；(2)若分式aa+4b2 与2ba2+2b互为“一分式”（其中a，b为正数），求ab的值；(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式5xx+y2 与 5xx2+y 互为“五分式”【变式8-3】（2023四川统考中考真题）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+2x-1，2x-3x+1=2x+2-5x+1=2x+2x+1+-5x+1=2+-5x+1，则x+1x-1和2x-3x+1都是“和谐分式”(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：_（填序号）；x+1x2+x2x+2x+1y2+1y2(2)将“和谐分式”a2-2a+3a-1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a2-2a+3a-1=_+_；(3)应用：先化简3x+6x+1-x-1xx2-1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数
