1、专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.2.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa 对称；一般的，若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线x对称(2)若函数yf(xa)是奇函数，即f(xa)f(xa)0恒成立，
2、则函数yf(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(ax)f(ax)2b恒成立，则yf(x)的图象关于点(a，b)对称.3. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想ysinx，ycosx的对称轴、对称中心和周期之间的关系)4. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.【典型题示例】例1 （2022全国乙理T12） 已知函数的定义域均为R，且，若的图像关于直线对称，则（
3、 ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.【解析】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D例2 （2022新高考卷T8） 若函数的定义域为R，且，则（ ）A. B. C. 0D. 1【答案】A【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出【解析】因为，令可得，所以，令可得，即，所以函数为偶函数，令得，即有
4、，从而可知，故，即，所以函数的一个周期为因为，所以一个周期内的由于22除以6余4，所以故选：A例3 （2021新高考全国卷8）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【解析】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，所以，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.例4 （2021全国甲卷理12）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】通过是奇函数和是偶函数条
5、件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案【解析】因为是奇函数，所以；因为是偶函数，所以令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以思路一：从定义入手所以思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期所以故选：D例5 已知函数f (x)对任意的xR，都有f f ，函数f (x1)是奇函数，当x时，f (x)2x，则方程f (x)在区间3,5内的所有根之和为_. 【答案】4【分析】由f f 对任意的xR恒成立，得f (x)关于直线x对称，由函数f (x1)是奇函数，f (x)关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x)的周期为2，作出函数f
6、 (x)的图象即可.【解析】因为函数f (x1)是奇函数，所以f (x1)f (x1)，又因为f f ，所以f (1x)f (x)，所以f (x1)f (x)，即f (x2)f (x1)f (x)， 所以 函数f (x)的周期为2，且图象关于直线x对称作出函数f (x)的图象如图所示，由图象可得f (x)在区间3,5内有8个零点，且所有根之和为244.例6 已知函数是上的奇函数，对任意，都有（2）成立，当，且时，都有，则下列结论正确的有A（1）（2）（3）B直线是函数图象的一条对称轴C函数在，上有5个零点D函数在，上为减函数【分析】根据题意，利用特殊值法求出（2）的值，进而分析可得是函数的一条
7、对称轴，函数是周期为4的周期函数和在区间，上为增函数，据此分析选项即可得答案【解答】解：根据题意，函数是上的奇函数，则；对任意，都有（2）成立，当时，有（2），则有（2），则有，即是函数的一条对称轴；又由为奇函数，则，变形可得，则有，故函数是周期为4的周期函数，当，且时，都有，则函数在区间，上为增函数，又由是上的奇函数，则在区间，上为增函数；据此分析选项：对于，则（1）（2）（3）（4）（1）（3） （2）（4），（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4） （1）（2）（3）（2），正确；对于，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则 是函数的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线是函
8、数图象的一条对称轴，正确；对于，函数在，上有7个零点：分别为，0，2，4，6；错误；对于，在区间，上为增函数且其周期为4，函数在，上为增函数，又由为函数图象的一条对称轴，则函数在，上为减函数， 正确；故选：例7 已知函数，则关于x的方程的实数根之和为_；定义区间，长度均为，则解集全部区间长度之和为_【答案】8 3【分析】根据题意得以函数关于点对称，进而利用导数研究函数性质，作出简图，树形结合求解即可得关于x的方程的实数根之和；令整理得方程的实数根满足，再数形结合得解集为，最后根据定义求解区间长度的和即可.【解析】因为，所以函数关于点对称，由于，所以函数在上单调递减， 由于时，且时，.故作出函数
9、简图如图：根据图像可知，函数与函数图像共有4个交点，且关于点对称，所以的实数根之和为；令，整理得，由图像知方程有三个实数解，不妨设为，所以由三次方程的韦达定理得，由函数图像得解集为 所以全部区间长度之和为.故答案为：；.【巩固训练】1已知函数关于对称,则的解集为_.2已知定义在上的函数满足，且的图象与的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于_.3.已知函数满足，且时，则（ ）A0B1CD4. 已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x1)f(x3)，f(1x)f(3x)，当0x2时，f(x)x2x，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的周期为4B.函数f(x)图象关于直线x2对称C.
10、当0x4时，函数f(x)的最大值为2D.当6x8时，函数f(x)的最小值为5.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间0，2上是增函数，若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根，则 6(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x1)与f(x2)都为奇函数，则()A.f(x)为奇函数 B.f(x)为周期函数C.f(x3)为奇函数 D.f(x4)为偶函数7.若定义在R上的函数满足，是奇函数，现给出下列4个论断：是周期为4的周期函数；的图象关于点对称；是偶函数； 的图象经过点；其中正确论断的个数是_.8. (多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)2f(2x)，且f(x)是偶函数，下列
11、说法正确的是()A.f(x)的图象关于点(1，1)对称 B.f(x)是周期为4的函数C.若f(x)满足对任意的x0，1，都有0) 6【答案】ABC【解析】法一由f(x1)与f(x2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(x)f(2x)0，f(x)f(4x)0，所以f(2x)f(4x)，即f(x)f(2x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数.又f(x1)与f(x2)都为奇函数，所以f(x)，f(x3)，f(x4)均为奇函数.故选ABC.法二由f(x1)与f(x2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(x)的周期为2|21|
12、2，所以f(x)与f(x2)，f(x4)的奇偶性相同，f(x1)与f(x3)的奇偶性相同，所以f(x)，f(x3)，f(x4)均为奇函数.故选ABC.7.【答案】3【解析】命题：由，得：，所以函数的周期为4，故正确；命题：由是奇函数，知的图象关于原点对称，所以函数的图象关于点对称，故正确；命题：由是奇函数，得：，又，所以，所以函数是偶函数，故正确；命题：，无法判断其值，故错误.综上，正确论断的序号是：.8. 【答案】ABC【解析】根据题意，f(x)的图象关于点(1，1)对称，A正确；又f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)f(x)，则2f(2x)f(x)，f(x)2f(x2)，从而f(x2)
13、2f(x4)，所以f(x)f(x4)，B正确；由0可知f(x)在0，1上单调递增，又f(x)的图象关于点(1，1)对称，所以f(x)在1，2上单调递增，因为f(x)的周期为4，所以f(x)在3，2上单调递增，C正确；因为f(x)f(x)，x2，1时，x1，2，所以f(x)f(x)ln(x)1，x2，1，因为f(x)的周期为4，f(x)f(x4)，x2，3时，x42，1，所以f(x)f(x4)ln(4x)1，x2，3，D错误.综上，正确的是ABC.9.【答案】B【解析】f(x)f(x)2，y1.函数yf(x)与y的图象都关于点(0，1)对称，xi0，yi2m.10.【答案】C【分析】同例1得f
14、(x)的周期为4，故f (1) f (2) f (3) f (4)f (5) f (6) f (7) f (8) f (45) f (46) f (47) f (48)，而f (1)2，f (2)f (0)0（f(1x)f(1x)中，取x1）、f (3)f (1) f (1)2、f (4)f (0)0，故f (1) f (2) f (3) f (4)f (5) f (6) f (7) f (8) f (45) f (46) f (47) f (48) 0，所以f (1) f (2) f (3) f (50) f (47) f (48) f (1) f (2) 2.11.【答案】【解析】设，则为定义在上的单增的奇函数而，故其图象关于点（1,0）中心对称又因为|AB|BC|，所以B的坐标为（1,0）为使运算更简单，问题可转化为过坐标原点的直线与交于一点D，且OD=，求实数k的值不妨设（），则解之得，所以.
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