1、专题02 整式的加减 知识点1 代数式1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.2.代数式的书写格式：代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作；数字与数字相乘，一般仍用“”号，即“”号不省略；在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4（a-4）应写作；注意：分数线具有除号和括号的双重作用；在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米.知识点2：单项式
2、1.单项式定义由数或字母的积组成的式子叫做单项式（ 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式）.2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况.如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即431=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0；（2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.如单项式的次数是234=9而不是13次；（3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般
3、不讨论它的次数；（4）在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或.（5）在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.知识点3：多项式（1）定义：几个单项式的和叫多项式.（2）多项式的项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项.（3）多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.（4）多项式的项数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.（5）常数项：多项式里，不含字母的项叫做常数项.知识点4：整式（1）单项式和多项式统称为整式.（2）单项式或多项式都是整式.（3）整式不一定是单项式.（4）整式不一定是多项式
4、.（5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式.知识点5：同类项1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.2.合并同类项：（1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.（2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变.（3）合并同类项步骤：a准确的找出同类项.b逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变.c写出合并后的结果.（4）在掌握合并同类项时注意：a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.b.不要漏掉不能合并的项.c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单
5、项式，也可能是多项式）.说明：合并同类项的关键是正确判断同类项.知识点6：去括号（1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； （2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.知识点7：整式的加减几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接；（2）按去括号法则去括号；（3）合并同类项.考点剖析考点一：代数式及列代数式【典例1】下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ）ABCD【变式1-1】下列各式中，符合代数式书写要求的是（ ）ABCD【典例2】苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，假如现在要买1千克，那
6、么需要付费（ ）A元B元C元D元【变式2-1】一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（ ）ABCD考点二：单项式及多项式的概念【典例3】下列说法中，正确的是（）A单项式的系数是，次数是3B关于的多项式是三次二项式C都是单项式，也都是整式D是多项式的项【变式3-1】单项式的系数和次数分别是（）A3，3BC3，4D【变式3-2】对于多项式的描述正确的是（）A此多项式的次数为2B 是该多项式的一项C它是三次三项式D它是三次四项式【变式3-3】多项式中不含的项，则k的值为（）A3B4C5D6【变式3-4】若多项式是关于a的二次二项式，则的值是（）AB8CD9考点三：同类项及合并同类项
7、【典例4】计算：(1)；(2)【变式4-1】下列运算结果正确的是（）ABCD【变式4-2】下列各式中，与是同类项的是（）ABCD考点四：整式的加减化简（求值）【典例5】先化简再求值：(1)，其中；(2)，其中，【变式5-1】先化简，再求值：，其中【变式5-2】先合并同类项，再求值：(1)，其中；(2)，其中，；考点五：代数式求值-整体法【典例6】若，则的值是（）A4B5C6D7【变式6-1】已知的值为，则代数式的值为（）A0BCD3【变式6-2】代数式的值是1，则的值 考点六：代数式求值-面积问题【典例7】【知识学习】学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”通常的解
8、题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则(1)【理解应用】若关于的多项式的值与的取值无关，求的值；(2)已知，且的值与的取值无关，求的值(3)【能力提升】有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系【变式7-1】小明家的房屋平面结构如图，这家房子的主人打算把卧室以外的部分全部都铺上地砖(1)用含x，y的代数式表示房屋地面的总面积；(2)如果米，米，并且每平方米地砖的造
9、价至少需要200元，你能帮小明算算至少要准备多少钱吗？【变式7-2】为培养良好卫生习惯，营造良好寝室文化环境，展现宿舍团结精神，这个学期学校开展“最美寝室”评比活动，小林寝室窗户的窗帘如图1所示，它是由两个半径相同的四分之一圆组成的(1)用代数式表示窗户能射进阳光的面积（即空白面积）（结果保留）(2)出于美观考虑，小林寝室的同学们重新将房间的窗帘设计成如图2所示（由两个半径相同的四分之一圆和一个半圆组成），请用代数式表示该种设计下窗户能射进阳光的面积（结果保留）(3)当时，比较哪种设计射进阳光的面积更大，大多少（取3）考点七：代数式求值-方案设计问题【典例8】某商场销售一种西装和领带，西装每套
10、定价元，领带每条定价元国庆节期间商场决定开展促销活动方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的付款现某客户要到该商场购买西装套，领带条(1)若该客户按方式一购买，需付款_元（用含的式子表示）；若该客户按方式二购买，需付款_元（用含的式子表示）(2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？(3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算出所需费用【变式8-1】为发展校园篮球运动，某城区四个校区决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球服和篮球，已知每套篮球服元，每个篮球元，经洽谈，甲商场的优惠方案是：每购买套
11、篮球服，送一个篮球；乙商场的优惠方案是：若购买篮球服超过套，则购买篮球打八折(1)若该城区四校联合购买套篮球服和个篮球，则到甲商场购买所花的费用为 元，到乙商场购买所花的费用为 元；(2)若该城区四校联合购买套篮球服和个篮球，请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买所花的费用；(3)在（2）的条件下，当时，在哪家商场购买篮球服和篮球更优惠？考点八：代数式求值-分段计费问题【典例9】某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：一次性购物优惠办法少于200元不予优惠低于500元但不低于200元八折优惠500元或超过500元其中500元部分给予八折优惠，超过500元部分给予七折优惠(1)周老师一次
12、性购物400元，他实际付款_元；(2)若周老师在该超市一次性购物x元，当x小于500但不小于200时，他实际付款_元；当大于或等于500时，他实际付款_元（用含的式子表示）；(3)如果周老师两次购物货款合计880元，其中第一次购物的货款为a元，请用含的式子表示两次购物周老师实际一共付款多少元【变式9-1】杭州市2023年自来水收费标准如下表：月用水量不超过216米的部分超过216米不超过300米的部分超过300米的部分收费标准（元/米）2.93.836.7备注：每月居民用水缴费包括实际用水的水费和污水处理费两部分；以上表中的价格均已包括1元/米的污水处理费，(1)某用户9月份用水220米，则该
13、用户需缴水费多少元？(2)某用户月用水量为米，请用含的代数式表示该用户月所缴的水费过关检测一、选择题1下列各式中，符合代数式书写格式的是（）ABCD2下列去括号正确的是（）ABCD3下列各组式子中，是同类项的是（）A2023与2024B与C与D与4已知单项式与的和为单项式，则等于（）ABCD5在一次数学考试中，七年级（）班名男生平均得分，名女生平均得分，则这个班全体同学的平均分是（）ABCD6下列说法正确的是（）A单项式的系数是3B的次数是5C与是同类项D是五次三项式7若，则的值为（）A1B4C9D258周长为的长方形教具，其中一边长为，则另一边长为（ ）ABCD9若关于x的多项式与的和不含二
14、次项，则（）A2BC4D10单项式的系数和次数分别是（）ABCD11如图，观察图中的图形，则第n个图形中三角形的个数y与n之间的关系式是（）A B C D 二、填空题12某种桔子的售价是每千克x元，用面值为100元的人民币购买了6千克，应找回 元13单项式的系数是 ，次数是 14已知是关于的三次二项式，则 ， 15若多项式中不含项，则k的值为 16若，则代数式 三、解答题17计算：(1)；(2)18化简或求值：(1)化简：；(2)先化简，再求值：，其中，19先化简，再求值：，其中，20已知，(1)当，时，求的值；(2)试判断M、N的大小关系并说明理由21已知多项式，(1)若与的和为单项式，试求
15、的值；(2)若式子的值与无关，求的值22我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示其中大圆的半径为，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间(1)请用含的式子表示图中阴影部分的面积（结果保留）；(2)当时，求图中阴影部分的面积（结果保留）23某品牌饮水机厂生产一种饮水机和饮水机桶，饮水机每台定价350元，饮水机桶每个定价50元，厂方开展促销活动期间，可以同时向客户提供两种优惠方案：方案一：买一台饮水机送一个饮水机桶；方案二：饮水机和饮水机桶都按定价的九折付款现某客户到该饮水机厂购买饮水机20台，饮水机桶x（超过20）个(1)若该客户按方案一购买，求客户需付款钱数（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，求客户需付款钱数（用含x的式子表示）(2)若，通过计算说明此时客户按哪种方案购买较合算(3)当时，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出所需的钱数
