1、第八章 平面解析几何第五节 椭 圆基础梳理1椭圆的定义(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离_等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆这两个定点叫作椭圆的_，两焦点间的距离叫作椭圆的_之和焦点焦距(2)集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为常数且 a0，c0.当 2a|F1F2|时，M 点的轨迹为椭圆；当 2a|F1F2|时，M 点的轨迹为线段 F1F2；当 2ab0)_(ab0)x2a2y2b21y2a2x2b21范围axabybbxbaya对称性对称轴：_对称中心：_顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2
2、(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴 A1A2 的长为_；短轴 B1B2 的长为_焦距|F1F2|2c离心率eca_性质a，b，c 的关系a2_坐标轴原点2a2b(0，1)b2c21e 与ba：因为 eca a2b2a1ba2，所以离心率 e 越大，则ba越小，椭圆就越扁；离心率 e 越小，则ba越大，椭圆就越圆2点与椭圆的位置关系已知点 P(x0，y0)，椭圆x2a2y2b21(ab0)，则(1)点 P(x0，y0)在椭圆内x20a2y20b21；(2)点 P(x0，y0)在椭圆上x20a2y20b21；(3)点 P(x0，y0)在椭圆外x20a2y20b21.3设椭圆x2a2y2
3、b21(ab0)上任意一点 P(x，y)，则当 x0 时，|OP|有最小值 b，这时，P 为短轴端点；当 xa 时，|OP|有最大值 a，这时，P 为长轴端点4若点 P 是椭圆x2a2y2b21(ab0)上任意一点，F1、F2 是椭圆的左、右焦点，且F1PF2，则 SPF1F2b2tan2.5过椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦点 F 作 x 轴的垂线，交椭圆于 A，B，则|AB|2b2a.6椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别是 F1、F2，P(x0，y0)是椭圆上任意一点，则|PF1|aex0，|PF2|aex0.7若 P 为椭圆x2a2y2b21(ab0)上任意一点，则 a
4、c|PF|ac.四基自测1(易错点：椭圆的概念)下列说法中正确的个数是()平面内到两定点距离之和为常数是动点的轨迹是椭圆的必要不充分条件；椭圆的离心率越大，椭圆越接近圆；若方程 x25k y2k31 表示椭圆，则(5k)(k3)0；椭圆离心率 e(0，1)A1 B2C3 D.0答案：B2(基础点：椭圆的定义)已知椭圆x225y2161 上一点 P 到椭圆一个焦点 F1 的距离为3，则 P 到另一个焦点 F2 的距离为()A2 B3C5 D.7答案：D3(基础点：椭圆的方程与性质)已知椭圆的一个焦点为 F(1，0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为_答案：x24 y2314(易错点：椭圆方程的特
5、征)已知椭圆 x2m2y210m1 的焦点在 x 轴上，焦距为 4，则 m 等于_答案：8考点一 椭圆的定义及应用挖掘 1 利用椭圆定义求方程/自主练透例 1(1)已知圆 C1：(x4)2y2169，圆 C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为()A.x264y2481 Bx248y2641C.x248y2641 D.x264y2481解析 设圆 M 的半径为 r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆，且 2a16，2c8，故所求的轨迹方程为x264y2481.答案 D(2
6、)已知动圆 M 过定点 A(3，0)并且与定圆 B：(x3)2y264 相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_解析 因为点 A 在圆 B 内，所以过点 A 的圆与圆 B 只能内切，因为定圆圆心坐标为 B(3，0)，所以|AB|6.所以|BM|8|MA|，即|MB|MA|8|AB|，所以动点 M 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，即 a4，c3.故 b27.即椭圆方程为x216y271.答案 x216y271挖掘 2 椭圆定义的应用/互动探究例 2(1)(2020郑州第二次质量预测)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为23，过 F2 的直线 l 交 C
7、于 A，B 两点，若AF1B 的周长为12，则椭圆 C 的标准方程为()A.x23 y21 Bx23 y221C.x29 y241 D.x29 y251解析 由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以AF1B 的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a12，所以 a3.因为椭圆的离心率 eca23，所以c2，所以 b2a2c25，所以椭圆 C 的方程为x29 y251，故选 D.答案 D(2)已知点 P(x，y)在椭圆x236 y21001 上，F1，F2 是椭圆的两个焦点，若PF1F2 的面积为 18，则F1PF2 的余弦值为_解析 椭圆x236 y21001
8、的两个焦点为 F1(0，8)，F2(0，8)，由椭圆的定义知|PF1|PF2|20，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|202，由余弦定理得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2162，两式相减得 2|PF1|PF2|(1cosF1PF2)144，又 SPF1F212|PF1|PF2|sinF1PF218，所以 1cosF1PF22sinF1PF2，解得 cosF1PF235.答案 35破题技法 椭圆定义应用技巧思路应用解读求方程条件转化后满足椭圆定义，直接求轨迹方程求焦点三角形求焦点三角形周长或面积，根据椭圆定义、正、余弦定理，其中|PF1|PF2|2
9、a.平方是常用技巧求最值利用|PF1|PF2|2a 为定值，利用基本不等式求|PF1|PF2|最值或利用三角形求最值如 ac、ac考点二 椭圆的标准方程及应用挖掘 求椭圆方程的方法/自主练透例(1)(2020宁德模拟)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.x28 y261 Bx216y261C.x24 y221 D.x28 y241解析 设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由点 P(2，3)在椭圆上知 4a2 3b21.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则
10、|PF1|PF2|2|F1F2|，即 2a22c，ca12，又 c2a2b2，联立 4a2 3b21，c2a2b2，ca12，得a28，b26，故椭圆方程为x28 y261.答案 A(2)(2020成都模拟)与椭圆x24 y231 有相同离心率且经过点(2，3)的椭圆方程为_解析 因为 eca a2b2a1b2a213412，若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为x2m2y2n21(mn0)，则 1nm214，从而nm234，nm 32.又 4m2 3n21，所以 m28，n26.所以方程为x28 y261.若焦点在 y 轴上，设方程为y2h2x2k21(hk0)，则 3h2 4k21，且kh
11、32，解得 h2253，k2254.故所求方程为y2253x22541.答案 x28 y261 或y2253x22541(3)已知椭圆 C1：x24 y21，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率求椭圆 C2 的方程解析 法一：(待定系数法)：由已知可设椭圆 C2 的方程为y2a2x24 1(a2)，其离心率为 32，故 a24a 32，解得 a4，故椭圆 C2 的方程为y216x24 1.法二：(椭圆系法)：因椭圆 C2 与 C1 有相同的离心率，且焦点在 y 轴上，故设 C2：y24x2k(k0)，即y24kx2k 1.又 2 k22，故 k4，故 C2 的方程为y
12、216x24 1.破题技法 求椭圆标准方程的方法方法解读适合题型定义法根据题目的条件，判断是否满足椭圆的定义，若满足，求出相应的 a，b，c 的值，即可求得方程涉及两焦点的距离问题待定系数法(1)如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 a，b，c 的方程组，解出 a2，b2，从而写出椭圆的标准方程；(2)当焦点位置不确定时，可以分类讨论，也可以设椭圆方程为 mx2ny21(mn0)能够明确椭圆的焦点位置椭圆系法根据共同特征设出椭圆的标准方程，再根据其他条件确定方程.具有某共同特征的椭圆求标准方程考点三 椭圆的几何性质挖掘 1 求离心率(范围
13、)/自主练透例 1(1)(2018高考全国卷)已知椭圆 C：x2a2y241 的一个焦点为(2，0)，则 C 的离心率为()A.13 B12 C.22 D.2 23解析 a24228，a2 2，eca 22 2 22.故选 C.答案 C(2)(2018高考全国卷)已知 F1、F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 36 的直线上，PF1F2 为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为()A.23B12C.13D.14解析 如图，作 PBx 轴于点 B.由题意可设|F1F2|PF2|2，则 c1，由F1F2P120，可得
14、|PB|3，|BF2|1，故|AB|a11a2，tanPAB|PB|AB|3a2 36，解得 a4，所以 eca14.故选 D.答案 D(3)设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，椭圆 C 上的两点 A、B 关于原点对称，且满足FAFB 0，|FB|FA|2|FB|，则椭圆 C 的离心率的取值范围是()A.22，53B53，1C.22，31D.31，1)解析 设椭圆左焦点为 F，连接 AF、BF.由椭圆的对称性可知，四边形 AFBF为平行四边形，又FAFB 0，即 FAFB，故平行四边形 AFBF为矩形，所以|AB|FF|2c.设|AF|n，|AF|m，则在直角三角形 AFF
15、 中，mn2a，m2n24c2，得 mn2b2，得mnnm2c2b2，令mnt，得 t1t2c2b2.又由|FB|FA|2|FB|得 1|FA|FB|2，则mnt1，2，t1t2c2b2 2，52，又2c2b2 2c2a2c2 2e21e2，则可得 22 e 53，即离心率的取值范围是22，53.故选 A.答案 A破题技法 求椭圆离心率的关键点(1)分析题设中所给量与离心率有什么关系(直接的或间接的)(2)转化条件，求离心率所用的量若直接可求出 a、b、c 的具体值，用公式 eca1（ba）2.构造 a、b、c 之间的齐次关系，进而求ca或ba的整体值若求 e 的具体值，构造方程，若求 e 的
16、范围，构造不等式根据 e(0，1)进行取舍挖掘 2 根据椭圆性质求值或范围/互动探究例 2(1)(2020广东七校 4 月联考)已知点 P 为椭圆x216y2121 上的动点，EF 为圆 N：x2(y1)21 的任一直径，则PEPF的最大值和最小值分别是()A16，124 3B17，134 3C19，124 3D.20，134 3解析 EF 是圆 N 的直径，|NE|NF|1，且NF NE，则PE PF(PN NE)(PN NF)(PN NE)(PN NE)PN 2NE 2PN 21，设 P(x0，y0)，则有x2016y20121，即 x201643y20，又 N(0，1)，|PN|2x20
17、(y01)213(y03)220，又y02 3，2 3，当 y03 时，|PN|2 取得最大值 20，则(PEPF)max20119.当 y02 3时，|PN|2 取得最小值 134 3，则(PEPF)min124 3.综上，PEPF的最大值和最小值分别为 19，124 3，故选 C.答案 C(2)(2020山东烟台模拟)已知 F(2，0)为椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点，过 F 且垂直于 x 轴的弦长为 6，若 A(2，2)，点 M 为椭圆上任一点，则|MF|MA|的最大值为_解析 设椭圆的左焦点为 F，由椭圆的右焦点为 F(2，0)，得 c2，又过 F 且垂直于 x 轴的弦长为
18、6，即2b2a 6，则a2c2aa24a3，解得 a4，所以|MF|MA|8|MF|MA|8|MA|MF|，当 M，A，F三点共线时，|MA|MF|取得最大值，(|MA|MF|)max|AF|2，所以|MF|MA|的最大值为 8 2.答案 8 2考点四 椭圆的综合应用挖掘 椭圆中的综合问题/自主练透例(2020湖南永州二模)已知动点 M 到两定点 F1(m，0)，F2(m，0)的距离之和为 4(0m2)，且动点 M 的轨迹曲线 C 过点 N3，12.(1)求 m 的值；(2)若直线 l：ykx 2与曲线 C 有两个不同的交点 A，B，且OA OB 2(O 为坐标原点)，求 k 的值解析(1)由
19、 0m2，得 2m4，可知：曲线 C 是以两定点 F1(m，0)，F2(m，0)为焦点，长半轴长为 2 的椭圆，所以 a2，设曲线 C 的方程为x24 y2b21，把点 N3，12 代入得34 14b21，解得 b21，由 c2a2b2，解得 c23，所以 m 3.(2)由(1)知曲线 C 的方程为x24 y21，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得x24 y21，ykx 2，消去 y 得14k2 x22 2kx10，则有 4k210，得 k214.x1x2 8 2k14k2，x1x2414k2，则OA OB x1x2y1y2x1x2(kx1 2)(kx2 2)(1k2)x1x2 2k(x1x2)264k214k22.得 k21314，所以 k 的值 33.破题技法 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单2设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|（1k2）（x1x2）24x1x21 1k2（y1y2）24y1y2(k 为直线斜率)提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式