1、专题02第一章 三角函数(知识梳理) 学习目标1.了解任意角、弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性. 4.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2的性质(如单调性、最大值和最小值以及图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间的单调性.5.同角三角函数的关系.6.了解函数yAsin(x)的实际意义；函数yAsin(x)图象的变换(平移变换与伸缩变换).7.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数
2、解决一些简单的实际问题.1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：y叫做的正弦，记作sin ，即sin y；x叫做的余弦，记作cos ，即cos x；叫做的正切，记作tan ，即tan (x0).2.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan .3.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k(kZ)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数ysin xy
3、cos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R对称性对称轴：xk(kZ)；对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)；对称中心：(kZ)对称中心(kZ)，无对称轴奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性最小正周期：2最小正周期：2最小正周期：单调性在2k，2k (kZ)上单调递增；在 (kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在开区间(kZ)内递增最值在x2k(kZ)时，ymax1；在x2k(kZ)时，ymin1在x2k(kZ)时，ymax1；在x2k(kZ)时，ymin1无最值5.A，对函数yAsin(x)的图象变化的影响(1)对函数ysin(x)，
4、xR的图象的影响：(2)(0)对ysin(x)的图象的影响：(3)A(A0)对yAsin(x)的图象的影响：类型一三角函数的概念例1已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y .答案8解析r，且sin ，所以sin ，所以为第四象限角，解得y8.反思与感悟1.已知角的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.(2)在的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r0).则sin ，cos .已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便.2.当角的终
5、边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1若角的终边在直线y3x上，且sin 0，又P(m，n)是终边上一点，且|OP|，求sin ，cos ，tan .解sin 0，且角的终边在直线y3x上，角的终边在第三象限，又P(m，n)为终边上一点，m0，n0.又sin ，cos ，tan 3.类型二同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例2已知关于x的方程2x2(1)xm0的两根为sin ，cos ，(0,2).求：(1)；(2)m的值；(3)方程的两根及此时的值.解由根与系数的关系得：sin cos ，sin cos .(1)原式sin cos .(2)由s
6、in cos ，两边平方可得：12sin cos ，121，m.(3)由m可解方程：2x2(1)x0，得两根和. 或 (0,2)，或.反思与感悟1.牢记两个基本关系式sin2cos21及tan ，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin cos 的值，可求cos sin .注意应用(cos sin )212sin cos .2.诱导公式可概括为k(kZ)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.跟踪训练2已知f().(1)化简f()；(2)若f()，且，求cos sin 的值；(3)若，求f()的值.解(1)f()s
7、in cos .(2)由f()sin cos 可知，(cos sin )2cos22sin cos sin212sin cos 12，又，cos sin ，即cos sin 0，求a、b的值.解令tsin x，则g(t)t2atb12b1，且t1,1.下面根据对称轴t0与区间1,1的位置关系进行分类讨论.当1，即a2时，解得当10，即0a2时，解得或都不满足a的范围，舍去.综上所述，a2，b2.反思与感悟转化与化归的思想方法是数学中最基本的数学思想方法.数学中一切问题的解决都离不开转化与化归.上述解答将三角函数问题转化为熟悉的二次函数在闭区间上的最值问题.跟踪训练5已知定义在(，3上单调减函数f(x)使得f(1sin2x)f(a2cos x)对一切实数x都成立，求a的取值范围.解根据题意，对一切xR都成立，有：a1.
